2023-2024学年湖南省衡阳市蒸湘区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市蒸湘区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在函数y= x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≥0C. x≥2D. x>2
2.将直线y=x−1平移，向上平移2个单位长度，则平移后的直线为( )
A. y=x−2B. y=x+1C. y=−x−2D. y=x+2
3.下列分式是最简分式的是( )
A. 9y12xB. x+yx2+y2C. x−y2x−2yD. x+yx2−y2
4.分式xx−1+11−x可化简为( )
A. x+1x−1B. 1C. −1D. x+11−x
5.已知a=(−5)2，b=(−5)−1，c=(−5)0，那么a，b，c之间的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b
6.下列运算正确的是( )
A. am+bm=a+b2mB. xx+y+yx+y=1
C. 1+1a=2aD. ax−y−ay−x=0
7.将ab2a+5b中的a，b都扩大4倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大4倍C. 扩大8倍D. 扩大16倍
8.已知一次函数y=−2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是( )
A. 0B. 3C. −3D. −7
9.一次函数y=ax−a与反比例函数y=ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m⩾−4B. m⩾−4且m≠−3
C. m>−4D. m>−4且m≠−3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.点P(−3,4)在第______象限．
12.人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 0077米，用科学记数法表示为______米．
13.若关于x的分式方程x+1x+3=kx+3有增根，则k的值是______．
14.在反比例函数y=−1x的图象上有(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)三点，若x1>x2>0>x3，则y1，y2，y3的大小关系是______．
15.已知ax+4+bx−4=8xx2−16，则ab的算术平方根是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，B(2,4)，直线y=12x+1上有一动点P，当PA=PB时，点P的坐标是______．
17.如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(m)与时间t(min)的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y=k1x(k1≠0)，BC所在直线的表达式为y=k2x+b(k2≠0)，则k2−k1= ______．
18.如图，△OAB是面积为4的等腰三角形，底边OA在x轴上，若反比例函数图象过点B，则该反比例函数的表达式为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程：x−1x+1−2x2−1=1．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：(1−1X+1)÷x2−xx+1．
21.(本小题8分)
已知一次函数y=(m−1)x+m2−1(m≠1)．
(1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？
(2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
22.(本小题8分)
某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比、销售数量相同，销售总额增加25%.今年A、B两种型号车的进价和售价如表：
(1)求今年A型车每辆售价多少元？
(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
23.(本小题9分)
泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
24.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)交于A(−m,3m)，B(4,−3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式ax+b−kx<0的解集．
25.(本小题10分)
如图，直线y1=2x−2的图象与y轴交于点A，直线y2=−2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
(1)方程组2x−y=22x+y=6的解是______；
(2)当y1>0与y2>0同时成立时，x的取值范围为______；
(3)在直线y1=2x−2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，求出点P的坐标．
26.(本小题10分)
请用学过的方法研究一类新函数y=kx2(k为常数，k≠0)的图象和性质．
(1)在给出的平面直角坐标系中画出函数y=6x2的图象；
(2)对于函数y=kx2，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
(3)在坐标系中画出函数y=34x的图象，并结合图象，求当34x<6x2时，x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数都必须是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=x−1向上平移2个单位所得函数的解析式为y=x−1+2，即y=x+1．
故选：B．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、该代数式的分子与分母存在公因式数3，不是最简分式，不符合题意；
B、该代数式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
C、该代数式的分子与分母存在公因式(x−y)，不是最简分式，不符合题意；
D、该代数式的分子与分母存在公因式(x+y)，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
根据最简分式的定义逐项进行分析判断即可．
本题考查了最简分式，分子与分母没有公因式的分式是最简分式．
4.【答案】B
【解析】解：原式=xx−1−1x−1
=1，
故选B．
变形后变成同分母的分式，根据同分母的分式加减法则，分母不变，分子相加减，进行计算即可．
本题考查了分式的通分和分式的加减法则的应用，能熟练地运用法则进行计算和化简是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：a=25，b=−15，c=1，
∴b故选：B．
先将各数化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案．
本题考查实数大小比较，解题的关键是正确化简原数，本题属于基础题型．
6.【答案】B
【解析】解：Aam+bm=a+bm，所以A选项错误；
Bxx+y+yx+y=x+yx+y=1，所以B选项正确；
C1+1a=aa+1a=a+1a，所以C选项错误；
Dax−y−ay−x=ax−y−a−(x−y)=ax−y+ax−y=2ax−y，所以D选项错误．
故选：B．
应用分式的加减法则对每个选项逐一进行计算．
本题主要考查分式的加减法则，熟练应用法则计算是解决本题的关键，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．本题属于基础运算题，比较简单．
7.【答案】B
【解析】解：将ab2a+5b中的a，b都扩大4倍，则4a⋅4b2×4a+5×4b=4×ab2a+4b，
所以将ab2a+5b中的a，b都扩大4倍后分式的扩大4倍．
故选：B．
把原分式中的a、b分别用4a、4b代换得到新分式，然后约分可得到新分式与原分式的关系．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数性质有关知识，由于一次函数y=−2x+3中k=−2<0，由此可以确定y的值随x的增减性，然后利用解析式即可取出在0≤x≤5范围内的函数最大值．
【解答】
解：∵一次函数y=−2x+3中，k=−2<0，
∴y的值随x的值增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，
x=0时，函数值最大为−2×0+3=3．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：当a>0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A符合题意；
当a<0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的．
故选：A．
分别根据a>0和a<0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，解分式方程m+32x−1=1，得：x=m+42，
∵2x−1≠0，
∴x≠12，即m+42≠12，解得：m≠−3，
∵x⩾0，
∴m+42⩾0，解得：m⩾−4，
综上，m的取值范围是m⩾−4且m≠−3，
故选：B．
先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出m的取值范围．
本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0．
11.【答案】二
【解析】解：∵−3<0，4>0，
∴点P(−3,4)在第二象限．
故答案为：二．
根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0是解题的关键．
12.【答案】7.7×10−6
【解析】解：0.0000077=7.7×10−6；
故答案为：7.7×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】−2
【解析】解：两边都乘以x+3，得：x+1=k ①，
∵分式方程有增根，
∴增根为x=−3，
将x=−3代入①，得：−3+1=k，
解得k=−2，
故答案为：−2．
先将方程两边都乘以x+3得到整式方程，再将分式方程的增根x=3代入整式方程求解可得．
本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出关于k的一元一次方程是解题关键．
14.【答案】y2【解析】解：由反比例函数y=−1x的可知，k=−1<0，当x>0时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>0时，则0>y1>y2，
又C(x3,y3)在第二象限，y3>0，
∴y2故答案为y2由反比例函数y=−1x的可知，k=−1<0，函数的图象在二四象限，y随x的增大而增大，由此进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是根据反比例函数的增减性解题．
15.【答案】4
【解析】解：∵ax+4+bx−4=8xx2−16，
∴a(x−4)+b(x+4)(x+4)(x−4)=8xx2−16，
即a(x−4)+b(x+4)=8x，
∴(a+b)x−4(a−b)=8x，
∴a+b=8a−b=0，
解得a=4b=4，
∴ab=4×4=16，
ab的算术平方根为4．
故答案为：4．
计算ax+4+bx−4，然后根据ax+4+bx−4=8xx2−16，列出方程求出ab的值，并进一步求ab的算术平方根即可．
本题考查了分式的加减以及算术平方根，解题的关键是根据掌握异分母分式是运算法则．
16.【答案】(1,32)
【解析】解：因为A(0,4)，B(2,4)，
所以AB/​/x轴
因为PA=PB，
所以点P在线段AB的垂直平分线上，
所以点P的横坐标为1，
因为点P在直线y=12x+1上，
所以y=12+1=32，即点P(1,32)
由A，B两点坐标，可知AB/​/x轴，从而点P在线段AB的垂直平分线上，从而可得点P的横坐标，再代入直线y=12x+1即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、熟练利用线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
17.【答案】50
【解析】解：把(12,600)代入y=k1x得：k1=60012=50；
把(20,600)，(28,1400)代入y=k2x+b得：
20k2+b=60028k2+b=1400，
解得k2=100b=−1400，
∴k2−k1=100−50=50．
故答案为：50．
用待定系数法求出k1，k2即可．
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
18.【答案】y=−4x
【解析】解：作BD⊥x轴，垂直为点D，
∵△OAB是等腰三角形，底边OA在x轴上，S△AOB=4，
∴S△OBD=12S△AOB=2，
∴|k|=2S△OBD=2×2=4，
∵反比例函数图象在第四象限，
∴k=−4，
故反比例函数解析式为：y=−4x，
故答案为：y=−4x．
作BD⊥x轴，根据条件可得S△OBD=12S△AOB=12×4=2，所以丨k丨=2S△OBD=2×2=4，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：x−1x+1−2x2−1=1，
x−1x+1−2x−1x+1=1，
方程两边同时乘(x+1)(x−1)，
得整式方程(x−1)2−2=x2−1，
即x2−2x+1−2=x2−1，
所以−2x=0，
解得：x=0，
检验：当x=0时，(x+1)(x−1)≠0．
所以原分式方程的解为x=0．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
20.【答案】解：原式=x+1−1x+1⋅x+1x(x−1)
=xx(x−1)
=1x−1．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)y=(m−1)x+m2−1(m≠1)．
∵函数为正比例函数，
∴m2−1=0，且m−1≠0，
解得：m=−1，
答：当m=−1时，这个函数为正比例函数；
(2)一次函数y=(m−1)x+m2−1(m≠1)．
∵函数y的值随着x值的增大而减小，
∴m−1<0，
∴m<1，
答：当m<1时，函数y的值随着x值的增大而减小．
【解析】(1)根据正比例函数的性质得出m2−1=0，求出方程的解即可；
(2)根据一次函数的性质得出不等式m−1<0解答即可．
本题主要考查对解一元一次方程，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为(x−200)元，
根据题意得：16000x−200=16000(1+25%)x，
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原分式方程的解．
答：今年A型车每辆售价为1000元．
(2)设购进A型车m辆，则购进B型车(50−m)辆，
根据题意得：800m+950(50−m)≤43000，
解得：m≥30．
销售利润为(1000−800)m+(1200−950)(50−m)=−50m+12500，
∵−50<0，
∴当m=30时，销售利润最多．
答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【解析】(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为(x−200)元，根据数量=总价÷单价结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A型车m辆，则购进B型车(50−m)辆，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据销售利润=单辆利润×购进数量即可得出销售利润关于m的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的最值以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量关系，找出销售利润关于m的函数关系式．
23.【答案】解：(1)停止加热时，设y=kx，
由题意得：50=k18，
解得：k=900，
∴y=900x，
当y=100时，解得：x=9，
∴C点坐标为(9,100)，
∴B点坐标为(8,100)，
当加热烧水时，设y=ax+20，
由题意得：B点得坐标是(8,100)，代入上式得100=8a+20，
解得：a=10，
∴当加热烧水，函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式为y=100(8(2)把y=90代入y=900x，得x=10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10−8=2分钟．
【解析】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
(1)将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)将y=90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
24.【答案】解：(1)∵点B(4,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴−3=k4．
∴k=−12．
∴反比例函数的表达式为y=−12x．
∵A(−m,3m)在反比例函数y=−12x的图象上，
∴3m=−12−m．
∴m1=2，m2=−2 (舍去)．
∴点A的坐标为(−2,6)．
∵点A，B在一次函数y=ax+b的图象上，把点A(−2,6)，B(4,−3)分别代入，得−2a+b=64a+b=−3，
∴a=−32b=3．
∴一次函数的表达式为y=−32x+3．
(2)∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC=3．
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12⋅OC⋅|xA|+12⋅OC⋅|xB|
=12×3×2+12×3×4
=9．
(3)由题意得，−24．
【解析】(1)根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
(2)根据三角形面积的和差，可得答案；
(3)根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
25.【答案】x=2y=2 1【解析】解：(1)如图所示：方程组2x−y=22x+y=6的解是为：x=2y=2；
故答案为：x=2y=2；
(2)如图所示：当y1>0与y2>0同时成立时，
x取何值范围是：1故答案为：1(3)令P(x0,2x0−2)，则S△ABP=12×8×|x0|=8，
∴x0=±2．
∵点P异于点C，
∴x0=−2，2x0−2=−6．
∴P(−2,−6)．
(1)根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
(2)利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
(3)利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．
26.【答案】解：(1)函数y=6x2的图象，如图所示，

(2)①k>0时，当x<0，y随x增大而增大，x>0时，y随x增大而减小．
②k<0时，当x<0，y随x增大而减小，x>0时，y随x增大而增大；
(3)由图象可知，当34x<6x2时，x的取值范围是x<0或0【解析】(1)利用描点法可以画出图象．
(2)分k<0和k>0两种情形讨论增减性即可；
(3)画出函数y=34x的图象，根据图象即可求得．
本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．A型车
B型车
进价(元/辆)
800
950
售价(元/辆)
今年售价
1200