2023-2024学年山东省济南市莱芜区莲河学校七年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市莱芜区莲河学校七年级（上）期中数学试卷，共17页。

A．3B．4C．5D．6
2．（4分）下列各数中，平方根等于它本身的数是（ ）
A．4B．3C．2D．0
3．（4分）在下列结论中，正确的是（ ）
A．B．x2的算术平方根是x
C．﹣x2一定没有平方根D．的平方根是
4．（4分）若a、b为实数，且，则ab的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．±1
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣6是﹣36的算术平方根
B．5是（﹣5）2的算术平方根
C．64的立方根是±4
D．|﹣a|一定是正数
6．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．±B．C．D．
7．（4分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（4分）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=（ ）
A．45米B．48米C．50米D．52米
9．（4分）已知△ABE≌△ECD，AB⊥BC，下列四个结论：①AE⊥DE；②AB∥CD；③BC=AB+CD；④∠A=∠D．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
10．（4分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=50°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
11．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
12．（4分）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．有下列结论：①∠B=∠C；②ED=FD；③AC=BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）若＝2.938，＝6.329，则＝ ．
14．（4分）已知2a﹣1和a﹣2分别是一个正数的两个平方根，3a+2b﹣1的立方根为2，则b的值为 ．
15．（4分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为 ．
16．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件：①∠A与∠B互余；②（a+b）（a-b）=c2；③∠A：∠B：∠C=1：2：1，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
17．（4分）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6，则PD= ．
18．（4分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE=3，则△ADB的周长是 ．
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
20．（10分）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m,将秋千AD往前推送3m,到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m,秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
21．（10分）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求AB、BC的长度；
（2）用勾股定理的知识证明：∠ABC＝90°．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC=9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC=130°，求∠EAG的度数．
（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
24．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
25．（10分）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离．已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案．方案1：沿A→C→B爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2．（π取3）
（1）当R=1，h=4时，哪种方式的爬行距离更近？
（2）当R=1，h=1时，哪种方式的爬行距离更近？
（3）当R与h满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
26．（12分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，BC=4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x,求x的值．
2023-2024学年山东省济南市莱芜区莲河学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．【答案】B
【解答】解：在数中，
理数有，，﹣，0.303030…．
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：0的平方根等于其本身，
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A.，故错误；
B．x5的算术平方根是|x|，故错误；
C．﹣x2，当x＝0时，平方根为3；
D.的平方根为±．
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，
解得a＝5，b＝﹣1，
则ab＝﹣1，
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：选项A中，﹣36无平方根，不符合题意；
选项B中，（﹣5）2＝25，25的算术平方根是2，符合题意；
选项C中，64的立方根是4，不符合题意；
选项D中，a的值可能为0，不一定是正数，不符合题意．
故选：B．
6．【答案】D
【解答】解：∵＝±3，
∴A不符合题意．
∵＝2，
∴B不符合题意．
∵（a≥0），
∴C不符合题意．
∵28＝8，
∴＝2．
∴D符合题意．
故选：D．
7．【答案】D
【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝48米，
故选：B．
9．【答案】C
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∵△ABE≌△ECD，
∴AB＝EC，BE＝CD，∠BAE＝∠CED，
∵∠A+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE，故①正确；
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故②正确；
∵BC＝BE+CE，
∴BC＝AB+CD，故③正确；
④无法证出∠A＝∠D，故④错误．
故选：C．
10．【答案】A
【解答】解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE，
∴∠B＝∠FDE＝50°，
故选：A．
11．【答案】A
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即AE是∠DAE的平分线，
故选：A．
12．【答案】C
【解答】解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC＝∠FAB+∠BAC，
即∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C，AC＝AB，
故①正确；
∵∠E＝90°，
∴AB＞BE，
∴AC＞BE，
故③错误；
如图，连接AD，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∵ED⊥AE，FD⊥AF，
∴ED＝FD，
故②正确；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝
＝×100
＝2.938×100
＝293.8．
故答案为：293.7．
14．【答案】3．
【解答】解：∵2a﹣1和a﹣6分别是一个正数的两个平方根，
∴2a﹣1+a﹣2＝0，
∴a＝1，
∵8a+2b﹣1的立方根为8，
∴3+2b﹣2＝23，
∴b＝3．
故答案为：3．
15．【答案】2．
【解答】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为7ab2+b2＝16，小正方形面积为16﹣4ab，
∵（a+b）2＝30，
∴a2+5ab+b2＝30，
∵大正方形的面积为16，
∴2ab＝30﹣16＝14，
∴小正方形的面积为16﹣14＝8，
故答案为：2．
16．【答案】3．
【解答】解：①∵∠A与∠B互余，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2﹣b4＝c2，即a2＝c4+b2，
∴△ABC是直角三角形，故②正确；
③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：5：1，
∴∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确；
综上所述，可以判定△ABC是直角三角形的有①②③，
故答案为：3．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE＝PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠BOP＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠OPC＝30°，
∴PC＝OC＝6，∠PCE＝60°．
∴PE＝OC•sin60°＝3．
∴PE＝PD＝3
故答案为：8．
18．【答案】18．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+BC+AC＝24，
∴AB+BC＝24﹣7＝18，
∴△ADB的周长是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18，
故答案为：18．
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，
又∵CD＝5，DA＝1，
∴AC2+DA4＝8+1＝8，CD2＝9，
∴AC4+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB的度数为135°．
20．【答案】（1）1.6，3，1；
（2）5m；
（3）4．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝5m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝7.6﹣0.2＝1（m），
故答案为：1.7，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为x m，
则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣7）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB7，
即（x﹣1）2+22＝x2，
解得：x＝2（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.8m时，CE＝2.6m，
∵DE＝2.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.8﹣0.6＝3（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣5＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：6．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：如图1，
在Rt△ABE中，AE＝3，
∴AB＝＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝5，
∴BC＝＝＝；
（2）证明：如图2，连接AC，
在Rt△ACG中，AG＝5，
∴AC＝＝＝，
结合（1）可得AB5+BC2＝（）2+（）4＝26＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
22．【答案】（1）9；
（2）80°．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
23．【答案】（1）见解析；
（2）32．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
24．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），
∴∠OBE＝∠OCD，
∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）解：在△BEO与△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE＝OD，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．
25．【答案】（1）方案2爬行距离更近；
（2）方案1爬行距离更近；
（3）当R＝h时，两种方式的爬行距离同样远．
【解答】解：（1）方案1：爬行距离＝AC+BC＝4+7＝6，方案2：爬行距离＝AB＝，
故方案2爬行距离更近；
（2）方案1：爬行距离＝AC+BC＝4+2＝3，方案7：爬行距离＝AB＝＝，
故方案1爬行距离更近；
（3）根据题意得，h+8R＝，
解得R＝h，
答：当R＝h时．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝．
（2）在Rt△ABD中AD2＝32﹣x2＝16﹣x4，
在Rt△ADC中AD2＝58﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x4，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得＝．