2024年北京市朝阳区九年级中考一模数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市朝阳区九年级中考一模数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为( )
A. 74.87×109B. 7.487×108C. 7.487×1010D. 0.7487×1011
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=50∘，∠DOE=15∘，则∠BOE的度数为( )
A. 15∘B. 30∘C. 35∘D. 65∘
4.如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是( )
A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥
5.若aA. −a<−bB. 2a2b+1
6.正十边形的内角和为( )
A. 144∘B. 360∘C. 1440∘D. 1800∘
7.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
8.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在AB,BC的延长线上，且BE=CF，设AD=a,AE=b,AF=c.给出下面三个结论：①a+b>c；②2ab2a.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子 x−14在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
10.分解因式：3x2+6xy+3y2=__________.
11.方程23x=14x−5的解为__________.
12.关于x的一元二次方程x2+5x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________.
13.某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量(单位：千克)，数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为__________.
14.在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度(如图所示)，当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB=1.6m，同时测得BC=2.4m，CE=9.6m，则教学楼高度DE=__________m.
15.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB=8，DE=2，则BC的长为__________.
16.甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间(单位：分钟)如下表所示：
(1)如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为__________分钟；
(2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是__________.
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算： 8+|1− 2|+(2−π)0−2sin 45∘
18.解不等式组：2x−4<3(x−1),x−3四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知x+2y+2=0，求代数式(x−4y2x)⋅2xx−2y的值．
20.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，AB=AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E.
(1)求证：四边形 ACDE是菱形；
(2)连接CE，若AB=5,tan B=2，求CE的长．
21.(本小题6分)
燕几(即宴几)是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少尺？
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=mxm≠0的图象和反比例函数y=kxk≠0的图象都经过点A(2,4).
(1)求该正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)当x>3时，对于 x的每一个值，函数y=mx+n(m≠0)的值都大于反比例函数y=kx(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
23.(本小题5分)
某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度(单位：cm)，数据整理如下：
a.两批月季花树高度的频数：
b.两批月季花树高度的平均数、中位数、众数(结果保留整数)：
(1)写出表中m，n的值；
(2)在这两批花树中，高度的整齐度更好的是________________(填“第一批”或“第二批”)；
(3)根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm和149cm的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是__________ cm和_______ cm.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC⌢的中点，AD的延长线与过点B的切线交于点E，AD与BC的交点为F.

(1)求证：BE=BF；
(2)若⊙O的半径是2，BE=3，求AF的长．
25.(本小题5分)
某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100∘C后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50∘C水壶不加热；若水温降至50∘C,水壶开始加热，水温达到100∘C时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a(单位：L)，水温T(单位： ∘C)与时间t(单位：分)进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表1从20∘C开始加热至100∘C水量与时间对照表
表2 1 L水从20∘C开始加热，水温与时间对照表
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数．
(1)写出表中m的值；
(2)根据表2中的数据，补充完成以下内容：
①在下图中补全水温与时间的函数图象；
②当t=60时，T=_______；
(3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L温度为20∘C的水，当水加热至100∘C后立即关闭电源．出门前，他_______(填“能”或“不能”)喝到低于50∘C的水．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bxa>0上有两点x1,y1,x2,y2，它的对称轴为直线x=t.
(1)若该抛物线经过点4,0，求t的值；
(2)当0①若t>1，则y1__________0；(填“>”“=”或“<”)
②若对于x1+x2=2，都有y1y2>0，求t的取值范围．
27.(本小题7分)
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120∘，E是CD边上一点(不与点C，D重合).将线段AE绕点A逆时针旋转60∘得到线段AF，连接DF，连接BF交AC于点G.
(1)依据题意，补全图形；
(2)求证：GB=GF；
(3)用等式表示线段BC，CE，BG之间的数量关系．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l的对称图形是⊙O的弦P′Q′(P′,Q′分别为P，Q的对应点)，则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”.
(1)如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y=x+1的“对称弦”的是___________ ；
(2)CD是⊙O关于直线y=kxk≠0的“对称弦”，若点C的坐标为−1,0，且CD=1，求点D的坐标；
(3)已知直线y=− 33x+b和点M3,2 3，若线段MN是⊙O关于直线y=− 33x+b的“对称弦”，且MN=1，直接写出b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：74870000000=7.487×1010.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180∘能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D.
3.【答案】C
【解析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角相等得∠BOD=∠AOC=50∘，根据∠BOE=∠BOD−∠DOE即可求解．
【详解】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=50∘，
∴∠BOD=∠AOC=50∘，
∵∠DOE=15∘，
∴∠BOE=∠BOD−∠DOE=50∘−15∘=35∘.
故选：C.
4.【答案】B
【解析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．
【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意；
长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意；
圆柱的两个底面是圆，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意；
正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意．
故选：B.
5.【答案】B
【解析】本题主要考查不等式的基本性质．
【详解】解：A、若a−b，故本选项不符合题意；
B、若aC、若a1−b，故本选项不符合题意；
D、若a故选：B.
6.【答案】C
【解析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算．
【详解】解：正十边形的内角和为180∘×(10−2)=180∘×8=1440∘.
故选C.
7.【答案】D
【解析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件A的概率PA=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
∴向上一面的点数为5的概率是16，
故选：D.
8.【答案】A
【解析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△DAE≌△ABF，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=90∘，
∵BE=CF，
∴AE=BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE=c，
∵AD+AE>DE，
∴a+b>c；故①正确；
∵AD2+AE2=DE2，即a2+b2=c2，
∴b−a2=a2−2ab+b2=c2−2ab>0，
∴2ab∵ a2+b2=c，且E,F为动点，
∴无法确定c和2a的关系，故③错误；
故选A.
9.【答案】x≥14
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵式子 x−14在实数范围内有意义，
∴x−14≥0，
解得x≥14.
故答案为x≥14.
10.【答案】3(x+y)2
【解析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【详解】3x2+6xy+3y2=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2.
故答案为3(x+y)2
11.【答案】x=2
【解析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得出答案．
【详解】解：23x=14x−5
去分母，得24x−5=3x.
去括号，得8x−10=3x.
移项，得8x−3x=10.
合并同类项，得5x=10.
系数化为1，得x=2.
检验：当x=2时，3x4x−5≠0，
∴原分式方程的解为x=2.
故答案为x=2.
12.【答案】m<254
【解析】根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式>0，即可求解本题．
【详解】解：∵方程x2+5x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=52−4×1×m>0，
解得：m<254，
故答案为：m<254.
13.【答案】680
【解析】本题考查了频数(率)分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用1000乘水果产量不低于75千克的果树的棵数百分比即可求解．
解：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为1000×20+12+250=680(棵).
故答案为680.
14.【答案】6.4
【解析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：∵由题意，可知AB//DE，结合物理上反射角等于入射角，
∴△ABC∽△DEC，
∴ABDE=BCCE，即1.6DE=2.49.6，
解得DE=6.4.
则教学楼高度DE=6.4m.
故答案为6.4.
15.【答案】6
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得AD=BD=12AB=4，∠ADO=∠BDO=90∘，则可得OD是△ABC的中位线，设半径为r，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，求出r=5即可求解．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4，∠ADO=∠BDO=90∘，
∵OA=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=12BC，即BC=2OD.
设半径为r，则OD=OE−DE=r−2，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，
∴r2=r−22+42，解得r=5，
∴OD=r−2=3，
∴BC=2OD=6.
16.【答案】35
B→C→A→D

【解析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算.
1根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可；
2由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B，再结合各自所需时间排序即可．
解：(1)甲先拼装A需9分钟，乙开始上色A，与此同时甲可以拼装B和2分钟的C，乙给B上色时，甲可以继续拼装C和3分钟D，乙为C上色5分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要4分钟为C上色，接着为D上色3分钟，时间分解如图，(其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间)
故总时长最少为9+7+7+5+4+3=35 (分钟).
故答案为35.
(2)甲先拼装B需5分钟，乙开始上色B，与此同时甲可以拼装C和1分钟的A，乙给C上色时，甲可以继续拼装A和1分钟D，乙为A上色7分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要3分钟为D上色，时间分解如图，选择B→C→A→D这种方案即可用时最少．(其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间)
故答案为B→C→A→D.
17.【答案】解： 8+1− 2+2−π0−2sin45∘
=2 2+ 2−1+1−2× 22
=2 2+ 2−1+1− 2
=2 2.

【解析】此题主要考查了实数运算，解题的关键是直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零整数指数幂的性质分别化简得出答案．
18.【答案】解：{2x−4<3(x−1)①x−3解不等式①，得x>−1；
解不等式②，得x<2.
∴不等式组的解集为−1
【解析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
19.【答案】解：x−4y2x⋅2xx−2y
=x2−4y2x⋅2xx−2y
=x−2yx+2yx⋅2xx−2y
=2x+2y，
∵x+2y+2=0，
∴x+2y=−2，
∴原式=2(x+2y)=2×(−2)=−4.

【解析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简所求式子，再根据x+2y+2=0，可以得到x+2y=−2，代入化简后的式子计算即可．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵DE//AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵AB=AC，
∴CD=AC，
∴平行四边形ACDE是菱形.
(2)如图，设AD与CE交于点F.
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠ACB=∠B，
由(1)可知，四边形ACDE是菱形，
∴AF=DF，CF=EF，AD⊥CE，
∴∠AFC=90∘，
∴tan ∠FAC=CFAF=tan B=2，
∴CF=2AF.
设AF=x，则CF=2x，
在Rt△AFC中，由勾股定理，得x2+(2x)2=52，
解得：x= 5，
∴CF=2 5，
∴CE=2CF=4 5，
即CE的长为4 5.

【解析】(1)由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，再证明四边形ACDE是平行四边形，进而证明CD=AC，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)设AD与CE交于点F，证明∠FAC=∠ACB=∠B，再由菱形的性质得AF=DF，CF=EF，AD⊥CE，进而由锐角三角函数定义得CF=2AF，设AF=x，则CF=2x，然后在Rt△AFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
21.【答案】解：设每张桌面的宽为x尺，
根据图形，可得小桌的长为2x尺，中桌的长为3x尺，长桌的长为4x尺．
故可得2×4x2+2×3x2+3×2x2=61.25，
解得：x1=74，x2=−74(舍去)，
∴4x=7，
答：长桌的长为7尺．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．
22.【答案】解：(1)∵正比例函数y=mx(m≠0)的图象和反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(2,4)，
∴m=42=2，k=4×2=8，
∴正比例函数解析式为y=2x，反比例函数解析式为y=8x.
(2)当x=3时，y=mx+n=2x+n=6+n，y=8x=83，
∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx+n(m≠0)的值都大于反比例函数y=kx(k≠0)的值，
∴6+n>83，
解得n>−103.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：
(1)将A点坐标代入两个函数解析式求出m,k值即可；
(2)当x=3时，y=mx+n=2x+n=6+n，y=8x=83，根据题意6+n>83，解出不等式解集即可．
23.【答案】解：(1)∵在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是140cm，即n=140.
把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，
则中位数是140+1442=142(cm)，即m=142.
(2)第一批．
(3)131，135.

【解析】本题考查了众数，中位数，平均数等．
(1)根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；
(2)从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；
(3)根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．第二批去掉了高度为135cm和149cm的两棵花树后的平均数为：141×12−135−14910=140.8(cm)，第一批花树的平均数为140cm，去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是131cm，135cm.
24.【答案】(1)证明：∵D是BC⌢的中点，
∴BD⌢=CD⌢，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90∘，
∴∠CAD+∠AFC=90∘，
∵∠AFC=∠EFB，
∴∠CAD+∠EFB=90∘，
∵BE与⊙O相切于点B，
∴∠ABE=90∘，
∴∠E+∠BAD=90∘，
∴∠E=∠EFB，
∴BE=BF.
(2)解：连接BD，如图．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠EAB+∠ABD=90∘，
∵∠ABE=∠EBD+∠ABD=90∘，
∴∠EAB=∠EBD.
∵⊙O的半径是2，
∴AB=4，
∵BE=3，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 42+32=5，
∴sin∠EBD=sin∠EAB=DEBE=BEAE=35，
∴ED=BE⋅sin∠EBD=3×35=95，
∵BE=BF，BD⊥EF，
∴EF=2DE=2×95=185，
∴AF=AE−EF=5−185=75.

【解析】(1)根据圆周角定理和切线的性质得到∠E=∠EFB，进而根据等角对等边解答．(2)先根据圆周角定理得到∠EAB=∠EBD，然后根据勾股定理的锐角三角函数的定义得到sin ∠EBD=sin ∠EAB=35，最后利用(1)的结论计算．
25.【答案】(1)解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30，
30÷3=10(∘C)，
∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10，
∴10m−6=100−80，
∴m=8.
(2)解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：
②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100.
在这个过程中每2分钟，水温升高5，则每1分钟水温升高5÷2=2.5(∘C)，
由此得2.5t−26=100−60，
解得t=42，
60−42=18(分)，
根据表2的数据可知，T=100经过18分后水温降到了60，
∴当t=60时，T=60.
故答案为：60；
(3)解：由表1可知，2.5L的水从20加热到100需要18.5分，30−18.5=11.5(分)，
由表2可知，水温从100降到50需要22−8=14(分)，
∵11.5<14，
∴出门前，他不能喝到低于50的水．
故答案为：不能．

【解析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．
(1)在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；
(2)①描点并连线即可；
②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100.在这个过程中每2分钟，水温升高5，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；
(3)由表1可知，2.5L的水从20加热到100需要18.5分，此时离出门还剩30−18.5=11.5(分)；根据表2，计算水温从100降到50需要的时间，将这个时间与11.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．
26.【答案】解：(1)将点4,0代入y=ax2+bx(a>0)，得16a+4b=0，解得b=−4a，
∴x=−b2a=−−4a2a=2，
则t=2 .
(2)①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，
∵t>1，0∴y1<0.
故答案为<.
②∵x1+x2=2，0∴1∵y1y2>0恒成立，
∴点x1,y1,x2,y2在x轴的同一侧，
则t≥1或t≤0.

【解析】本题主要考查二次函数的性质.
1将点代入抛物线求得b=−4a，结合对称轴定义即可求得；
2①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得y1<0；
②由已知求得10恒成立，则有点x1,y1,x2,y2在x轴的同侧即可．
27.【答案】(1)解：如图．
(2)证明：连接BD，与AC相交于点O，如图．
∵线段AE绕点A逆时针旋转60∘得到线段AF，
∴∠EAF=60∘，AE=AF，
∵在菱形ABCD中，∠BAD=120∘，
∴AB=BC，∠BAC=∠CAD=12∠BAD=60∘，BO=OD，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACD=60∘，
∴∠CAE=∠DAF，
∴△ACE≌△ADF，
∴∠ADF=∠ACD=60∘，
∴DF//AC，
∴BGGF=BOOD，
∵BO=OD，
∴GB=GF.
(3)解：3BC2+CE2=4BG2，理由如下：
∵DF//AC，BD⊥AC，
∴DF⊥BD.
在Rt△BFD中，BD2+DF2=BF2=2BG2=4BG2，
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC，
∴∠OBC=12∠ABC=30∘，
∵cs30∘=cs∠OBC=OBBC= 32，
∴BC=2 33OB，
则BC2=43BO2，
则3BC2=4BO2=2BO2=BD2，
∴3BC2+CE2=BD2+DF2=4BG2，
即3BC2+CE2=4BG2.

【解析】(1)根据题意连线即可；
(2)连接BD，与AC相交于点O，根据旋转的性质可得∠EAF=60∘，AE=AF，根据菱形的性质可得AB=BC，∠BAC=∠CAD=12∠BAD=60∘，BO=OD，根据等边三角形的判定和性质可得AC=AD，∠ACD=60∘，根据全等三角形的的判定和性质可得∠ADF=∠ACD=60∘，根据平行线的判定得出DF//AC，根据平行线分线段成比例定理即可证明；
(3)根据勾股定理可得BD2+DF2=4BG2，根据等边三角形的性质可得∠OBC=30∘，根据锐角三角函数可求得BC=2 33OB，推得3BC2=BD2，即可求解．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得DF//AC.
28.【答案】(1)解：如图所示．
∴⊙O关于直线y=x+1的“对称弦”的是线段A1B1.
故答案为A1B1.
(2)解：设点C，D关于直线y=kxk≠0的对称点为C′，D′，
∴直线y=kxk≠0垂直平分CC′，DD′，
∵CD是⊙O关于直线y=kxk≠0的“对称弦”，
∴C′，D′在⊙O上，
∴点C的坐标为−1,0，即点C在⊙O上．
又直线y=kxk≠0经过圆心O，
∴点D也在⊙O上，
∵CD=1，
故点D在以点C为圆心，CD为半径的圆上，如图，⊙C与⊙O交于点D1与点D2.
∵OC=CD1=OD1，即△OCD1是等边三角形，
故点D1的横坐标为−12，点D1的纵坐标为 12−122= 32.
同理，点D2的横坐标为−12，点D2的纵坐标为− 12−122=− 32.
综上，点D的坐标为−12,− 32或−12, 32 .
(3)解：设点M关于直线y=− 33x+b的对称点为M1，
∴直线y=− 33x+b垂直平分MM1.
∵线段MN是⊙O关于直线y=− 33x+b的“对称弦”，
∴M1在⊙O上．
由(2)可得点N1在以点M1为圆心，MN为半径的圆上，
又MN=1，∴OM1=1.
令直线y=− 33x+b与x，y轴交于点P，Q，过点O作OO′⊥直线y=− 33x+b交于点H，过点O′作O′E⊥x轴交于点E，如图．
令x=0，则y=b，即点Q0,b，OQ=b.
令y=0，则x= 3b，即点P 3b,0，OP= 3b.
则PQ= OP2+OQ2= 3b2+b2=2b，
则OH=OQ⋅OPPQ=b⋅ 3b2b= 32b，
∴OO′=2OH= 3b.
∵∠OQP+∠QOH=90∘，∠OQP+∠QPO=90∘，
∴∠QOH=∠QPO.
∵OQ//O′E，
∴∠OO′E=∠QOH=∠QPO，
∵sin∠QPO=OQPQ=12，cs∠QPO=OPPQ= 32，
∴sin∠OO′E=OEOO′=12，cs∠OO′E=O′EOO′= 32，
∴OE=OO′⋅sin∠OO′E= 32b，O′E=OO′⋅cs∠OO′E=32b，
即点O′的坐标为 32b,32b .
∵M3,2 3，O′M=OM1=1，
∴O′M= 3− 32b2+2 3−32b2=1，
整理得：3b2−9 3b+20=0，
解得：b=5 33或b=4 33，
故b的值为5 33或4 33.

【解析】(1)根据题中定义即可画图得出；
(2)根据题意可得直线y=kxk≠0垂直平分CC′，DD′，结合点C的坐标，推得点D在⊙O上，即可得出点D是⊙C与⊙O交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点D1、D2的坐标；
(3)结合(2)可得点N1是点⊙M1与⊙O交点，先求出直线y=− 33x+b与x，y轴的交点坐标，结合三角形的面积求得OH的值，根据锐角三角函数可求得点O′的坐标 32b,32b，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．
水果产量
x<50
50≤x<75
75≤x<100
100≤x<125
x≥125
果树棵数
1
15
20
12
2
A
B
C
D
甲
9
5
6
8
乙
7
7
9
3
131
135
136
140
144
148
149
第一批
1
3
0
4
2
2
0
第二批
0
1
2
3
5
0
1
平均数
中位数
众数
第一批
140
140
n
第二批
141
m
144
a
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
4.5
8
11.5
15
18.5
22
煮沸模式
保温模式
t
0
3
6
m
10
12
14
16
18
20
22
24
26
…
T
20
50
80
100
89
80
72
66
60
55
50
55
60