2023年北京市朝阳区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年北京市朝阳区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )A. 长方体
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 圆柱
 2.  我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖人左右，将用科学记数法表示应为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，若数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  如图，直线，相交于点，若，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 5.  经过某路口的汽车，只能直行或右转若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  正六边形的外角和是(    )A.  B.  C.  D. 7.  某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图若该校有名学生，估计喜欢木工的人数为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  下面的三个问题中都有两个变量：
矩形的面积一定，一边长与它的邻边长；
某村的耕地面积一定，人均耕地面积与全村总人口；
汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用形如为常数，的式子表示的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是           ．10.  分解因式：______．11.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．12.  方程的解为______ ．13.  在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 ______ ．14.  如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，则的周长为______ ．
15.  如图，在矩形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点若，，，则的长为______ ．
 16.  一个人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚元，三人间每晚元说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元
若该旅游团一晚的住宿房费为元，则他们租住了______ 间一人间；
若该旅游团租住了间一人间，且共有名男士，则租住一晚的住宿房费最少为______ 元三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
解不等式组：．19.  本小题分
已知，求代数式的值．20.  本小题分
下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，在中，求证：．
 方法一
证明：如图，作的中线．
 方法二
证明：如图，作的角平分线．
  21.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，求证：四边形是矩形．
22.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与轴交于点．
求该一次函数的表达式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．23.  本小题分
如图，是的弦，过点作，垂足为，过点作的切线，交的延长线于点，连接．
求证：；
延长交于点，连接，，若，，求的长．
24.  本小题分
某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了名学生，获得了他们平均每天阅读时间单位：，并对数据进行了整理、描述，给出部分信息．
七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：

九年级学生平均每天阅读时间：

七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数： 年级七八九平均数根据以上信息，回答下列问题：
抽取的名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是______ ；
求三个年级抽取的名学生平均每天阅读时间的平均数；
若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为______ ．25.  本小题分
一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离单位：与滑行时间单位：近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种测得一些数据如下： 滑行时间滑行距离是的______ 函数填“一次”、“二次”或“反比例”；
求关于的函数表达式；
已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离单位：与滑行时间单位：近似满足函数关系记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则 ______ 填“”，“”或“”．26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
求的值；
求抛物线的对称轴用含的式子表示；
点，，在抛物线上，若，求的取值范围．27.  本小题分
如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，点在线段上不与点，重合，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
直接写出线段与之间的数量关系，并证明；
连接并延长，分别交，于点，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，，点与点不重合，给出如下定义：若，且，则称点为点关于点的“关联点”．
已知点，点，的半径为．
在点，，中，是点关于点的“关联点”的为______ ；
点关于点的“关联点”的坐标为______ ；
点为线段上的任意一点，点为线段上任意一点不与点重合．
若上存在点关于点的“关联点”，直接写出的最大值及最小值；
当时，上不存在点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围：______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，
故该几何体是长方体．
故选：．
该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是由三视图判断几何体，涉及三视图的相关知识，解题时要有丰富的空间想象力．
 2.【答案】 【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：由数轴得点是个正数，而是负数，
选项A不正确．
，而和都在和之间，
选项B、不正确．
，
选项D正确．
故选：．
根据数轴判断，只有满足题意．
本题考查了无理数的估计，用数轴表示点是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：，，
．
故选：．
由对顶角的性质得到度数，而，即可求出的度数．
本题考查对顶角，角的计算，关键是掌握对顶角的性质．
 5.【答案】 【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中经过该路口的两辆汽车都直行的概率，
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，找出两辆汽车都直行的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 6.【答案】 【解析】解：六边形的外角和是．
故选：．
根据任何多边形的外角和是度即可求出答案．
本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是度，外角和与多边形的边数无关．
 7.【答案】 【解析】解：人，
答：估计喜欢木工的人数为人，
故选：．
计算出木工所占的比例然后估算即可．
本题考查了用样本估计总体，正确地列出算式是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：矩形的面积一定，一边长与它的邻边长，解析式为：，
某村的耕地面积一定，人均耕地面积与全村总人口，解析式为：，
汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间，解析式为：，
故选：．
根据矩形的面积公式、人均耕地面积与全村总人口的关系以及行驶路程与行驶时间的关系得出解析式，进而解答即可．
此题考查矩形的性质，反比例函数的性质，关键是根据矩形的面积公式、人均耕地面积与全村总人口的关系以及行驶路程与行驶时间的关系得出解析式解答．
 9.【答案】 【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 13.【答案】 【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数系数得到，即，即可得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数得到是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长．
故答案为：．
由线段的垂直平分线的性质可得，，从而可得答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 16.【答案】   【解析】解：设该旅游团租住了间一人间，间三人间，
根据题意得：，
，
又，均为自然数，且，
，
他们租住了间一人间．
故答案为：；
当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．
人，间，人，间，间，
租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的间一人间里面间住男士，间住女士，另租住间三人间，
此时租住一晚的住宿房费为元，
租住一晚的住宿房费最少为元．
故答案为：．
设该旅游团租住了间一人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住一人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论；
由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 17.【答案】解：


． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 19.【答案】解：


，
，
，
则原式． 【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 20.【答案】方法一：
证明：如图，作的中线，
，
在和中，
，
≌，
．
方法二：
证明：如图，作的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】方法一：作的中线，则，可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
方法二：作的角平分线，则，可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，根据所作的辅助线适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
≌，
，
四边形为平行四边形；
，，
，
，
，
，
由可知，，，
，
平行四边形是矩形． 【解析】由平行四边形的性质得，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；证，再证，然后证，即可得出结论．
此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质定理是解题的关键．
 22.【答案】解：一次函数的图象经过点，，
，
解得，
该一次函数的表达式为，
令，得，
，
；
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
．

 【解析】先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为时对应的函数值得到点坐标；
当函数与轴的交点在点含点上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
 23.【答案】证明：如图，连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，在中，，，

，
，
，
，
为的直径，
，
在中，，
在中，根据勾股定理得． 【解析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 24.【答案】  【解析】解：被抽取的名九年级学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的数是，
故抽取的名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是．
故答案为：；
，
答：三个年级抽取的名学生平均每天阅读时间的平均数为；
由题意可知，八年级的数据在至波动，波动幅度最小；九年级的数据在至波动，波动幅度最大；七年级的数据的波动幅度在八年级和九年级之间，
．
故答案为：．
估计中位数的定义解答即可；
估计加权平均数的计算方法解答即可；
估计三个年级的数据的波动情况判断即可．
本题考查了方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了加权平均数和中位数．
 25.【答案】二次   【解析】解：利用表中数据，可以判断与既不满足一次函数也不满足反比例函数，
故判断是的二次函数，
故答案为：二次；
设关于的函数表达式为，
把，；，；，代入得：
，
解得，
关于的函数表达式为；
由表中数据可知，，，
两位滑雪者滑行距离相同，
，
解得或舍去，
，
，
故答案为：．
根据表中数据，按一次函数和反比例函数的性质判断即可得出结论；
设关于的函数表达式为，用待定系数法求出函数解析式即可；
由两位滑雪者滑行距离都为米，可求出和，比较即可．
本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
 26.【答案】解：由题意得：，
解得：；
，
，
抛物线的对称轴为：直线；
当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是． 【解析】代入点即可求解；
利用对称轴公式即可求解；
利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 27.【答案】解：结论：．
理由：平分，
，
，
，
，
，
由题意，，，
，
在和中，
，
≌，
，
；

结论：．
理由：在上截取，连接．
≌，
，，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点．
，
，，
，
，
． 【解析】结论：证明，可得结论，再证明≌，即可解决问题；
结论：在上截取，连接证明≌，推出，，
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 28.【答案】  或   【解析】解：如图中，观察图象可知，点是点关于点的“关联点”．
故答案为：；

点关于点的“关联点”的坐标为或．
故答案为：或；

如图中，

由题意，，
，
当时，，
，
，
假设关于点的“关联点为，则，
，
的半径的最大值为，最小值为；

如图中，过点作交于点，过点作轴于点，连接．

，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，负根已经舍去，
，，
此时与重合，与重合，，
观察图象可知，满足条件的的取值范围为：．
利用图象法，画出图形判断即可；
根据“关联点”的定义求解，注意有两种情形；
确定的取值范围，可得结论；
求出特殊位置的值点与重合，点与重合，判断即可．
本题属于圆综合题，考查了圆的有关性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题．