北师大版七年级数学下册专题5.3简单的轴对称图形专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题5.3简单的轴对称图形专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了3简单的轴对称图形专项提升训练，5x，∠BDC＝90°﹣0，6　．等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80°B．20°C．80°或20°D．以上都不对
2．（2023秋•平桂区 期末）在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．46°C．50°D．60°
3．（2023秋•苍溪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80B．40C．20D．10
4．（2023秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则EC的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
5．（2023秋•龙江县校级期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30B．36C．45D．37.5
6．（2023秋•望花区期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．（2023秋•桂平市期中）已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，点N是OB边上的任意一点，那么下列选项中正确的是（ ）
A．MN＜8B．MN＞8C．MN≤8D．MN≥8
8．（2023秋•离石区月考）黄河社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形ABC（ ）
A．三个角的平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
9．（2023秋•立山区期中）如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，点E在OA上，∠AOB＝50°，∠OPE＝30°．则∠PEC的度数是（ ）
A．50°B．55°C．45°D．60°
10．（2023秋•临潼区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，AM为△ABC的角平分线，D为AB中点，过点D作DE垂直AM于E，过点E作EN∥AC交AB于N，则下列说法：①∠1+∠2＞90°，②∠ADE＝∠EDC+∠ACD，③N为AD中点，④S△BPC＝S△APC，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•南平期中）如果等腰三角形的两边长分别为5和7，那么它的周长为 ．
12．（2023秋•全南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D．若BD的长为6cm，则CD的长为 ．
13．（2023春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
14．（2023秋•越秀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，若∠DBC＝30°，则∠A的度数为 ．
15．（2023秋•离石区月考）如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，若BC＝16，AB＝AC＝10，点A到BC的距离为6，则DM+DN＝ ．
16．（2023秋•横县期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，AD＝4，BD⊥CD，∠ABC＝∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．
18．（2023秋•同心县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：点D在∠BAC的角平分线上．
19．（2023秋•历城区期末）如图，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E，若AB＝10，BC＝12，求△ABD的周长．
20．（2023秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长．
21．（2023•佛山模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G．
（1）设△AEG的周长为P，当P＝12时，求BC的长；
（2）若∠BAC＝125°，求∠EAG的度数．
22．（2023秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
23．（2023秋•福清市月考）（1）如图，△ABC的两条角平分线CE，BD相交于点F．
求证：∠BFC＝90°+∠A．
（2）如图，△ABC的两边的垂直平分线DE、FG相交于点H．
求证：△ABC的三边垂直平分线DE、FG、PQ相交于点H．
24．（2023秋•宁县期末）如图，在△ABC中，∠A＝40°，分别在边AB，AC上取点D，E，使得BD＝CE，∠BCD＝∠BDC，连结CD，BE．
（1）△BCD是何种特殊的三角形；
（2）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（3）直接写出∠BEC与∠BDC之间的关系．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题5.3简单的轴对称图形专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80°B．20°C．80°或20°D．以上都不对
分析：80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可．
【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：C．
2．（2023秋•平桂区 期末）在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．46°C．50°D．60°
分析：利用等腰三角形的三线合一性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：B．
3．（2023秋•苍溪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80B．40C．20D．10
分析：作DE⊥AB于E，根据角平分线性质可得，DE＝CD，进而得出结果．
【解答】解：如图，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴S△ABD＝＝＝40，
故选：B．
4．（2023秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则EC的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
分析：根据线段垂直平分线的性质解决此题．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝6（cm）．
∴EC＝AC﹣AE＝8﹣6＝2（cm）．
故选：C．
5．（2023秋•龙江县校级期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30B．36C．45D．37.5
分析：可设∠A＝x，根据在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．
【解答】解：在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，
设∠A＝x，则∠QDP＝∠QPD＝2x，∠BQD＝3x，
∵DQ＝QB，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x，∠BDC＝90°﹣0.5x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣0.5x，
∴BD＝BC，
∴BD＝BQ＝QD，
∴△BDQ为等边三角形，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x＝60°，
故x＝20°，
∴∠ABC＝80°，
∴∠QCB＝50°，
∴∠PCQ＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
6．（2023秋•望花区期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
分析：根据等腰三角形的定义、三角形外角的性质求出∠EDF＝∠EFD＝∠A+∠CED＝60°，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠ECD＝∠CED＝∠A+∠CDB＝45°，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠A+∠CED＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：A．
7．（2023秋•桂平市期中）已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，点N是OB边上的任意一点，那么下列选项中正确的是（ ）
A．MN＜8B．MN＞8C．MN≤8D．MN≥8
分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为8，再根据垂线段最短，即可得出结论．
【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，
∴点M到OB的距离为8，
∵点N是OB边上的任意一点，
∴MN≥8．
故选：D．
8．（2023秋•离石区月考）黄河社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形ABC（ ）
A．三个角的平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
分析：根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【解答】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形ABC三个角的平分线的交点处，
故选：A．
9．（2023秋•立山区期中）如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，点E在OA上，∠AOB＝50°，∠OPE＝30°．则∠PEC的度数是（ ）
A．50°B．55°C．45°D．60°
分析：利用角平分线的性质定理的逆定理可得OP平分∠AOB，从而利用角平分线的定义可得∠AOP＝∠AOB＝25°，然后利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，
∴OP平分∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠AOP＝∠AOB＝25°，
∵∠OPE＝30°，
∴∠PEC＝∠AOP+∠OPE＝55°，
故选：B．
10．（2023秋•临潼区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，AM为△ABC的角平分线，D为AB中点，过点D作DE垂直AM于E，过点E作EN∥AC交AB于N，则下列说法：①∠1+∠2＞90°，②∠ADE＝∠EDC+∠ACD，③N为AD中点，④S△BPC＝S△APC，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④
分析：①由三角形外角定理得∠2＝∠ACD+∠PAC，再由三角形内角和定理∠ACD+∠CAD＝90°，便可判断①的正误；
②延长DE与AC交于点K，由∠1＝∠EAK，∠AED＝∠AEK＝90°，根据三角形内角和定理与三角形外角定理得∠ADE＝∠AKE＝∠EDC+∠ACD，便可判断②正确；
③由平行线的性质证明∠AEN＝∠CAM＝∠1，再由互余角性质得∠EDN＝∠DEN，便可得DN＝EN＝AN，故③正确；
④证明△ACP≌△BCP（SAS），得S△BPC＝S△APC，故④正确．
【解答】解：①∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠ACD+∠PAC，
∴∠1+∠2＝∠ACD+∠PAC+∠1＝∠ACD+∠CAD＝180°﹣∠ADC＝90°，
故①错误；
②延长DE与AC交于点K，如图，
∵∠1＝∠EAK，∠AED＝∠AEK＝90°，
∴∠ADE＝∠AKE＝∠EDC+∠ACD，
故②正确；
③∵EN∥AC，
∴∠AEN＝∠CAM＝∠1，
∴AN＝EN，
∵∠1+∠EDN＝∠AEN+∠DEN＝90°，
∴∠EDN＝∠DEN，
∴DN＝EN＝AN，
∴N是AD的中点，
故③正确；
④∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CP＝CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴S△BPC＝S△APC，
故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•南平期中）如果等腰三角形的两边长分别为5和7，那么它的周长为 17或19 ．
分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：若5为腰长，7为底边长，
由于5+5＞7，则三角形周长＝5+5+7＝17，
若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+5＝19．
故答案为：17或19．
12．（2023秋•全南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D．若BD的长为6cm，则CD的长为 6cm ．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD为BC的中线，继而可得出CD的长度．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝6cm．
故答案为：6cm．
13．（2023春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 2或 ．
分析：分两种情况讨论，根据两部分的差值为2，结合△ABC的周长为10列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意，
①当AB﹣BC＝2时，3BC+4＝10，解得BC＝2，
则2，4，4能够组成三角形，
所以底边长为2；
②当BC﹣AB＝2时，3BC﹣4＝10，解得BC＝，
则，，能够组成三角形，
所以底边长为，
综上所述，底边长为2或．
故答案为：2或．
14．（2023秋•越秀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，若∠DBC＝30°，则∠A的度数为 40° ．
分析：设∠A的度数为x，根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，用x表示出∠ABC、∠C的度数，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：设∠A的度数为x，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠A＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝30°+x，
∴30°+x+30°+x+x＝180°，
解得x＝40°．
故答案为：40°．
15．（2023秋•离石区月考）如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，若BC＝16，AB＝AC＝10，点A到BC的距离为6，则DM+DN＝ 9.6 ．
分析：连接AD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据已知可得AE＝6，然后根据△ABD的面积+△ADC的面积＝△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵点A到BC的距离为6，
∴AE＝6，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，BC＝16，AB＝AC＝10，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝△ABC的面积，
∴AB•DM+AC•DN＝BC•AE，
∴AB•DM+AC•DN＝BC•AE，
∴10DM+10DN＝16×6，
∴DM+DN＝9.6，
故答案为：9.6．
16．（2023秋•横县期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，AD＝4，BD⊥CD，∠ABC＝∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 ．
分析：根据垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，然后根据已知条件得三角形全等，从而得出PD的长度．
【解答】解：由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
∵BD⊥CD，∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴DP＝AD＝4（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．
分析：如图，首先证明∠C＝∠B＝32°，进而求出∠BAC＝116°，问题即可解决．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，
∴∠C＝∠B＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠DAC＝116°﹣42°＝74°．
18．（2023秋•同心县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：点D在∠BAC的角平分线上．
分析：连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰△ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线．
【解答】证明：如图，连接AD．
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD平分∠BAC，
19．（2023秋•历城区期末）如图，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E，若AB＝10，BC＝12，求△ABD的周长．
分析：根据DA＝DC，三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+12＝22．
20．（2023秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长．
分析：运用含30°角的直角三角形的性质得CE＝2CD＝6，从而得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠C＝60°，
∵CD＝3，
∴CE＝2CD＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4．
21．（2023•佛山模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G．
（1）设△AEG的周长为P，当P＝12时，求BC的长；
（2）若∠BAC＝125°，求∠EAG的度数．
分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B，∠GAC＝∠C，然后根据角的和差关系即可得出结论．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，GA＝GC．
∵BC＝BE+EG+GC，
∴BC＝AE+EG+AG＝△AEG的周长＝P＝12．
（2）∵∠BAC＝125°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣125°＝55°，
∵EB＝EA，GA＝GC，
∴∠BAE＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAG＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠GAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝125°﹣55°＝70°．
22．（2023秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
分析：（1）先利用AB＝AC，可得∠B＝∠C，同理可得∠ADE＝∠AED，再利用外角性质可得∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，而∠ADC＝∠ADE+∠CDE，等量代换可得∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，化简得2∠CDE＝20°°，解即可；
（2）、（3）、同（1）．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，
∴2∠CDE＝20°，
∴∠CDE＝10°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴2∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD＝40°；
故答案为：40°．
（3）2β＝α，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，
即∠C+β+β＝∠B+α，
∴2β＝α．
23．（2023秋•福清市月考）（1）如图，△ABC的两条角平分线CE，BD相交于点F．
求证：∠BFC＝90°+∠A．
（2）如图，△ABC的两边的垂直平分线DE、FG相交于点H．
求证：△ABC的三边垂直平分线DE、FG、PQ相交于点H．
分析：（1）利用角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，然后利用三角形的内角和定理以及等量代换，进行计算即可解答；
（2）连接HA，HB，HC，利用线段垂直平分线的性质可得HA＝HB＝HC，从而可得点H在AB的垂直平分线上，即可解答．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A；
（2）连接HA，HB，HC，
∵HD是AC的垂直平分线，
∴HA＝HC，
∵HF是BC的垂直平分线，
∴HB＝HC，
∴HA＝HB，
∴点H在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的三边垂直平分线DE、FG、PQ相交于点H．
24．（2023秋•宁县期末）如图，在△ABC中，∠A＝40°，分别在边AB，AC上取点D，E，使得BD＝CE，∠BCD＝∠BDC，连结CD，BE．
（1）△BCD是何种特殊的三角形；
（2）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（3）直接写出∠BEC与∠BDC之间的关系．
分析：（1）根据等角对等边可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答】解：（1）△BCD是等腰三角形，理由如下：
∵∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BD＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（3）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．