北师大版七年级数学下册专题4.2与三角形有关的角专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题4.2与三角形有关的角专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了2与三角形有关的角专项提升训练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
2．（2023秋•平南县期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
3．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＞∠ACDB．∠B＝∠ACDC．∠B＜∠ACDD．无法确定
4．（2023秋•辛集市校级期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形或锐角三角形
5．（2023秋•盐津县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝26°，∠B＝64°B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠B＝90°﹣∠AD．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
6．（2023秋•平南县期末）在△ABC中，∠A＝60°，直线MN∥BC，MN分别与AB，AC相交于点D，E，若∠ADM＝139°，则∠C的度数是（ ）
A．75°B．79°C．81°D．83°
7．（2023秋•定陶区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝20°，则∠EDC等于（ ）
A．42°B．66°C．65°D．75°
8．（2023秋•阳东区期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．（2023秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．42°B．40°C．38°D．35°
10．（2023秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（ ）
A．B．C．30°﹣D．45°﹣α
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•昭阳区期中）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为 ．
12．（2023秋•临高县期中）如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 ．
13．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠EDF分别交AC，AB于点E，F，且∠EDF＝∠B，∠BFD＝30°，∠C＝55°，则∠DEC＝ ．
14．（2023秋•望花区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝30°，P是AC边上的动点，当△BCP为直角三角形时，∠ABP的度数是 ．
15．（2023秋•三穗县校级期末）如图1所示，△ABO与△CDO称为对角“三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，在图2中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠G＝ ．
16．（2023秋•高安市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．
18．（2023秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．
19．（2023秋•谷城县期中）在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
20．（2023春•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，求∠BFC的度数．
21．（2023秋•绥宁县期中）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．
22．（2023秋•碑林区校级期中）如图，已知△ABC，∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；
（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．
23．（2023秋•盐津县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．
24．（2023•天津模拟）如图1，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，通过分析发现∠BPC＝90°+∠A，理由如下：
∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）．
又∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．
（1）①如图2中，H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，若∠A＝100°，则∠BHC＝ ．
②若∠A＝n°，则∠BHC＝ （用含n的式子表示）．请说明理由．
（2）如图3中，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，过点P作DP⊥PC，交AC于点D．△ABC外角∠ACF的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与∠ADP相等的角是 ；（填选项）
A．∠APC
B．∠APB
C．∠BPC
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题4.2与三角形有关的角专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
分析：先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
2．（2023秋•平南县期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
分析：利用普吉岛定义，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：由题意
解得∠2＝55°．
故选：D．
3．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＞∠ACDB．∠B＝∠ACDC．∠B＜∠ACDD．无法确定
分析：利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠B＜∠ACD．
故选：C．
4．（2023秋•辛集市校级期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形或锐角三角形
分析：根据外角求出它的内角，即可判断该三角形是什么三角形．
【解答】解：根据题意得：等腰三角形的一个外角是90°，
则该角相邻的内角为90°．
则该三角形一定是直角三角形．
故选：C．
5．（2023秋•盐津县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝26°，∠B＝64°B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠B＝90°﹣∠AD．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
分析：利用三角形内角和定理及各角之间的关系，可求出各三角形中最大角的度数，取不是90°的选项即可得出结论．
【解答】解：A．在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝64°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣26°﹣64°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
C．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝90°﹣∠A，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
D．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴∠C＝180°×＝80°＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，选项D符合题意．
故选：D．
6．（2023秋•平南县期末）在△ABC中，∠A＝60°，直线MN∥BC，MN分别与AB，AC相交于点D，E，若∠ADM＝139°，则∠C的度数是（ ）
A．75°B．79°C．81°D．83°
分析：根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN＝∠C计算即可．
【解答】解：∵∠ADM＝139°，∠A＝63°，
∴∠ADE＝41°，
∴∠AEN＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣41＝79°，
∵MN∥BC，
∴∠C＝∠ADE＝79°，
故选：B．
7．（2023秋•定陶区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝20°，则∠EDC等于（ ）
A．42°B．66°C．65°D．75°
分析：求出∠B，∠DCB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
由折叠可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，∠BDC＝∠EDC
∴∠EDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故选：C．
8．（2023秋•阳东区期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
分析：利用折叠可以得到∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED进而解题．
【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2×150°
＝60°．
故选：D．
9．（2023秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．42°B．40°C．38°D．35°
分析：根据AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，得出，，根据∠P＝70°，得出∠PAC+∠PCA＝110°，根据∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝140°，最后根据三角形的内角和，得出∠B＝40°．
【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，
∴，，
∵∠P＝70°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确．
故选：B．
10．（2023秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（ ）
A．B．C．30°﹣D．45°﹣α
分析：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM，则AE平分∠MAD，根据角平分线的性质得EM＝EN，再由CE平分∠ACB得到EM＝EH，则EN＝EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，再根据三角形外角性质解答即可．
【解答】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图，
∵∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，
∴∠EAM＝90°﹣，
∴AE平分∠MAD，
∴EM＝EN，
∵CE平分∠ACB，
∴EM＝EH，
∴EN＝EH，
∴DE平分∠ADB，
∴∠1＝∠ADB，
由三角形外角可得：∠1＝∠DEC+∠2，
∵∠2＝∠ACB，
∴∠1＝∠DEC+∠ACB，
而∠ADB＝∠DAC+∠ACB，
∴∠DEC＝∠DAC＝α，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•昭阳区期中）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为 60° ．
分析：根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再根据∠B﹣∠C＝30°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠B，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B﹣（90°﹣∠B）＝30°，
解得∠B＝60°，
故答案为：60°．
12．（2023秋•临高县期中）如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 45° ．
分析：利用三角形的外角性质，即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠DCA是△ABC的外角，
∴∠DCA＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠DCA﹣∠B＝100°﹣55°＝45°．
故答案为：45°．
13．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠EDF分别交AC，AB于点E，F，且∠EDF＝∠B，∠BFD＝30°，∠C＝55°，则∠DEC＝ 95° ．
分析：根据各角之间的关系，可得出∠CDE＝∠BFD，再在△CDE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠DEC的度数．
【解答】解：∵∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠CDE＝∠BFD＝30°．
在△CDE中，∠CDE＝30°，∠C＝55°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C＝180°﹣30°﹣55°＝95°．
故答案为：95°．
14．（2023秋•望花区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝30°，P是AC边上的动点，当△BCP为直角三角形时，∠ABP的度数是 50°或20° ．
分析：分两种情况讨论：①当∠BPC为直角时；②当∠PBC为直角时，结合三角形的内角和定理及三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：①当∠BPC为直角时，
∵∠BPC为△ABP的外角，∠A＝40°，
∴∠ABP＝∠BPC﹣∠A＝50°；
②当∠PBC为直角时，
∵∠A＝40°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝20°．
故答案为：50°或20°．
15．（2023秋•三穗县校级期末）如图1所示，△ABO与△CDO称为对角“三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，在图2中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠G＝ 540° ．
分析：先连接BE，构造“对顶三角形”，得出∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，再根据五边形内角和为540°，得出∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，进而得到∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°．
【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，
∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，
即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
故答案为：540°．
16．（2023秋•高安市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 80° ．
分析：根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【解答】解：∵α＝40°，
∴β＝2α＝80°，
∴第三个角的度数＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴最大内角的度数80°．
故答案为：80°．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．
分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，进而根据直角三角形的锐角互余求出∠ADE即可．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．
18．（2023秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．
分析：首先利用三角形的内角和定理求出∠ABC，然后利用三角形的高的定义及三角形的外角与内角的关系即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝86°，∠C＝58°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝36°，
又∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠ABC＝18°．
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AOB＝∠OBD+∠ADB＝18°+90°＝108°．
19．（2023秋•谷城县期中）在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
分析：根据三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝100°，根据∠C＝2∠B＝100°，即可求出∠B＝50°，进而求出∠A＝30°．
【解答】解：∵∠A+∠B＝80°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝100°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠B＝100°，
∴∠B＝50°，
∴∠A＝30°．
即∠A，∠B，∠C的度数分别为30°，50°，100°．
20．（2023春•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，求∠BFC的度数．
分析：根据角平分线可求出∠FBC和∠FCB，进而根据内角和定理可得答案．
【解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠ABC＝42°，∠ACB＝78°，
∴∠ABE＝∠CBE＝21°，∠ACD＝∠BCD＝39°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣21°﹣39°＝120°，
21．（2023秋•绥宁县期中）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．
分析：利用三角形的外角性质，可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义，可得出∠ACE的度数，由AF∥CE，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠CAF的度数，再将其代入∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF中，即可求出∠BAF的度数．
【解答】解：∵∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝100°﹣30°＝70°．
∵∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD＝×100°＝50°．
∵AF∥CE，
∴∠CAF＝∠ACE＝50°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝70°﹣50°＝20°．
22．（2023秋•碑林区校级期中）如图，已知△ABC，∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；
（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．
分析：（1）由补角的定义可得∠ACD＝110°，由角平分线的定义可求得∠CBO＝30°，∠DCO＝55°，再利用三角形的外角性质即可求∠BOC的度数；
（2）由三角形外角的性质可得∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，再由角平分线的定义可得∠DCO＝∠ACD，∠CBO＝∠ABC，则可求得∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO，从而可得到∠BAC与∠BOC的关系．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝110°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∠ABC＝60°，
∴∠CBO＝∠ABC＝30°，∠DCO＝∠ACD＝55°，
∵∠ACD是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝25°；
（2）∠BOC＝∠BAC，理由如下：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠DCO＝∠ACD，∠CBO＝∠ABC，
∵∠DCO是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠BAC．
23．（2023秋•盐津县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．
分析：（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．
24．（2023•天津模拟）如图1，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，通过分析发现∠BPC＝90°+∠A，理由如下：
∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）．
又∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．
（1）①如图2中，H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，若∠A＝100°，则∠BHC＝ 40° ．
②若∠A＝n°，则∠BHC＝ ， （用含n的式子表示）．请说明理由．
（2）如图3中，在△ABC中，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，过点P作DP⊥PC，交AC于点D．△ABC外角∠ACF的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与∠ADP相等的角是 B ；（填选项）
A．∠APC
B．∠APB
C．∠BPC
分析：（1）①先根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠NCB的值，再根据角平分线得出∠HBC+∠HCB的值，最后求得∠BHC；
②借助题中的结论和角平分线的性质得出∠PBH＝90°、∠PCH＝90°，进而在四边形PBHC中得出结论
（2）借助角三角形外角的性质得到，，对等角进行等量代换即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝80°，
∠MBC+∠NCB
＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝360°﹣80°
＝280°，
∵BH和CH是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线，
∴，
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40°；
②若∠A＝n°，则．
理由：由图1结论可得，，
∵H是外角∠MBC与外角∠NCB的平分线BH和CH的交点，P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，
∴，
同理可得∠PCH＝90°，
∴四边形PBHC中，
．
故答案为：；
（2）由题意可得，，
∵DP⊥PC，CP是∠ACB的平分线，
∴∠DPC＝90°，，
又∵，
∴∠ADP＝∠APB．
故选：B．