宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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试卷总分：120分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共24分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B. 抛出的篮球会下落是随机事件
C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
【答案】D
【解析】
【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘以单项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
3. 把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为，
故选：C．
4. 从以下个图形：圆、等边三角形、正方形、平行四边形、正六边形中随机抽取一个，抽到的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件的概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键．
【详解】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的有圆、正方形、正六边形，共种，
∴随机抽取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，
故选：．
5. 将一副三角板如图放置，使点在上，，则的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和求出，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
6. 我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，列出方程组即可，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只，
由题意得，，
故选：．
7. 如图②是图①正三棱柱的三视图，若用S表示面积，， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图的有关知识，实数的运算，先根据主视图的面积求出三棱柱的高，再根据俯视图的面积求出上底面等边三角形的高即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该三棱柱的高为，且上底面等边三角形的边长为，
∴上底面等边三角形的高的长为，
∴，
故选：D．
8. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．
详解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选C．
点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 当x=____________时，分式的值为零．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分式为0的条件列出方程组,即可解答．
【详解】解：由题意得：

解得x=-1
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式为零的条件，即分式为零的条件为分子为零，分母不为零．
11. 如图所示，，数轴上点表示的数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理求出线段的长，结合数轴即可．
【详解】解：点到数轴的线段交于点．
由图可知点到数轴的距离为，点距离点的横向距离为．
在中，
点表示的数为
故答案为：．
12. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．
【答案】0或1##1或0
【解析】
【详解】分类讨论：
①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，
根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．
∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点．
故答案为：0或1
13. 如图，在平面直角坐标系中，将向右平移得到与相交于点．已知点，，的面积为，则平移的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，相似三角形的判定和性质，过点作于，求出的面积，得到，再由平行得到，得出，进而可得，求得，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵将向右平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离为，
故答案为：．
14. 如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长，由扇形弧长公式得，再由圆的周长公式即可求解；理解扇形的弧长与圆的周长之间的关系，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：；
故答案：．
15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
【答案】10
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
16. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在网格的格点，给出下列结论：其中正确结论的序号是______．

①连接，则为轴对称图形；
②连接，则；
③连接，则
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形判定；根据勾股定理逆定理求得各边长，即可判断①②，根据勾股定理求得各边长，结合网格的特点得出，进而根据相似三角形的判定定理，即可判断③，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∴
∴是等腰三角形，是轴对称图形，故①正确；
如图所示，，

∴，
∴
∴是等腰直角三角形，且即；故②正确；
如图所示，连接，

∴
∴
∴，
∴，故③正确；
故答案为：①②③．
三、解答题（共6道题，每题6分，共计36分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的化简运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，并在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
解集在数轴上表示：
19. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？
【答案】（1）乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元
（2）该图书馆最多可以购买10本甲图书
【解析】
【分析】（1）利用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
【小问1详解】
解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
则，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
【小问2详解】
解：设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
答：该图书馆最多可以购买10本甲图书．
20. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
21. 某新能源汽车区域销售部希望确定一个适当的季度目标，对完成目标的员工进行奖励，以调动员工的积极性．现对名员工某季度的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：．
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：______，______．
（2）若将万元作为销售目标，则有______名员工获得奖励．
（3）销售部对数据分析后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲反应：“我这个季度的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过了一半的员工，为什么我没有拿到奖励？”请你从数学的角度给出合理的回复．
【答案】（1），；
（2）；
（3）见解析．
【解析】
【分析】()利用频数和中位数的定义解答即可；
()利用表格一的信息解答即可；
()利用中位数的定义解答即可；
本题考查了数据与统计，数据的分析与整理，平均数，众数，中位数与频数，熟练掌握上述数据的特征是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
将个数据按由大到小的顺序排列如下： ， 位置在中间的两个数为，它们的平均数为，
∴这组数据的中位数为，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由个数据可知，不低于万元的个数为，
∴若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由()可知，名员工的销售额的中位数为万元，
∴名员工的销售额有一半的人，即人超过万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，
而员工甲销售额是万元，低于万元，
∴员工甲不能拿到奖励．
22. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．

（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）
【答案】（1）km
（2）km
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键．
（1）用正弦三角函数求解即可．
（2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
．
【小问2详解】
，
．
四、解答题（第23，24题每题8分，第25，26题每题10分，共计36分）
23. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E．作于点F，于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理：
（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的判定方法可得，进而得到，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）判断四边形是矩形，进而得到，根据垂径定理得到，再利用半径的代数式表示，由勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形矩形，，
∴，
设半径为，即，，
在中，
∵，即，
∴，
答：的半径为5．
24. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25. 如图所示，某设计公司在半径为的圆形水池中心安装调试喷水器，设垂直于水平面的喷水管高出地面，在处喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与抛物线对称轴成的角，抛物线最高点与喷水头的落差为，水流的水平落点为．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）水流落点是否落在水池外？请说明理由；
（3）在水压不变的情况下，请问如何调整喷头位置可使水流恰好落在池内？
【答案】（1）
（2）水流落点落在水池外，理由见解析
（3）将喷头向下平移
【解析】
【分析】（1）依据题意，过点作，垂足为，由点坐标为，，从而求得点坐标为，再设抛物线的函数解析式为，即可得解；
（2）依据题意，由点为抛物线 的图像与轴的交点，可令时，即，从而根据求得进行判断即可得解；
（3）依据题意，设将喷头沿铅垂方向调整米，从而可得新的函数解析式为，再将坐标代入，得，进而得解．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为，
由题知：，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
水流落点落在水池外．
理由：∵点为抛物线的图像与轴的交点，
∴当时，得：，
解得：，（舍去），
∵，
∴水流落点落在水池外；
【小问3详解】
设将喷头沿铅垂方向调整米，根据题意，得：
新的函数解析式为，
将坐标代入解析式，得：
，
解得：，
答：将喷头向下平移可使水流恰好落在池内．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与轴的交点坐标的应用，由函数值求自变量的值的应用，二次函数的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，求出二次函数的解析式是解题的关键．
26. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
（2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
【答案】（1）详见解析
（2）①DE=；②
【解析】
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
【小问1详解】
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
【小问2详解】
①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．销售额/万元
频数
平均数
众数
中位数