宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试卷（120分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A．B．C．D．
2．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．15个B．20个C．30个D．35个
3．随机抛掷两个均匀的骰子（六个面标记的数字分别是1，2，3，4，5，6），两个骰子点数之和是10的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
6．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65B．90C．95D．125
7．如图，圆O的直径为4，点C在圆O上，的平分线交圆O于点D，连接，则的长等于（ ）

A．2B．3C．D．
8．已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是 ，（填序号）
①守株待兔 ②瓮中捉鳖 ③百步穿杨 ④水中捞月
10．已知点，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为 ．
11．抽屉里放着黑、白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不到的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是 ．
12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
13．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是 ．
14．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为
15．如图，在Rt中，∠ACB=90°，∠A=α，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是
三、解答题（共72分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．
19．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
20．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
21．如图，有一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸片，在四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，折成一个无盖的盒子，如果纸盒的底面积是450平方厘米，那么小正方形的边长是多少？

22．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作于点．
（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为，，求阴影部分的面积．
23．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．
(1)点A坐标为 ，点B坐标为 ；
(2)抛物线顶点坐标为 ；
(3)当x为何值时，？ ；
(4)若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是 ．
24．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
25．如图，四边形是矩形，、两点在轴的正半轴上，、两点在抛物线上．设，矩形的周长为．
(1)求与的函数解析式；
(2)求当为何值时，周长最大，最大值是多少．
26．如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，，．点从点出发，沿轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．当以点为圆心、为半径的与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据顶点式解析式特点即可解答．
【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为，
∵顶点为，
∴抛物线为，
∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同，
∴，
即抛物线解析式为，
∴C选项正确，
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出白球个数，再求黄球数即可．
【详解】解：设袋子中白球有个，
根据题意，得：
，
解得：，
则（个），
即布袋中黄球可能有个，
故选：B．
3．C
【分析】根据题意列表求概率．
【详解】解：列表如下：
共36种情形，其中和为10的有3种，
故两个骰子点数之和是10的概率是．
故选C．
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
4．D
【分析】根据每个班都要参加（x-1）场比赛，再由每两个班要进行一场比赛，所以比赛的总场数为，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：所列方程为；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
5．C
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理可得，然后勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
，
设OA=r，则OD=r-2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，
解得：r=5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
6．C
【分析】先根据三角形内角和求出∠A，根据平行线性质与旋转的性质及题意易得∠ACE的度数即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB═180°﹣55°﹣30°＝95°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△CDE，
∴∠BCD＝∠ACE＝n°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=95°，
∴n=95
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，三角形内角和，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解．
7．C
【分析】利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是直径，
∴．
∵平分，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，
故选：C.
8．B
【分析】先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴A点关于对称轴的对称点是：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．
9．④
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：①守株待兔，是随机事件；
②瓮中捉鳖，是必然事件；
③百步穿杨，是随机事件；
④水中捞月，是不可能事件；
故答案为：④．
10．相离
【分析】先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴的位置关系．
【详解】解∶∵，以点为圆心，个单位长度为半径作圆，
∴点到轴的距离为，
∴与轴相离，
故答案为∶相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴的距离．
11．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解∶画树状图得：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，
∴它们恰好同色的概率是： =．
故答案为．
12．．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据二次函数的性质和图象中的数据，可以得到该函数与x轴的两个交点的坐标，从而可以写出一元二次方程的解．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
由图象可知：二次函数与x轴的一个交点为，
∴该函数与x轴的另一个交点为，
∴当时，对应的x的值为或1，
故答案为：．
13．12cm
【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．
【详解】设圆锥的母线长为Rcm，由题意得
解得R=12，
故答案为：12cm．
【点睛】此题考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长．
14．
【详解】此图象告诉：函数的对称轴为x=1，且过点（3，0）；用待定系数法求b，c的值即可．
解：据题意得
解得
∴此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，考查了数形结合思想．
15．2α
【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，
∴∠B=90°﹣α．
由旋转的性质可得：CB=CD，
∴∠CDB=∠B=90°﹣α．
∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α，
即旋转角的大小为2α．
故答案为：2α．
16．D（，1）
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°−120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（−2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（−，1）．
故答案为（−，1）．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）用公式法求解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
∴
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴或
∴，．
18．（1）如图所示，即为所求，见解析，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求．见解析.
【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求，其中点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19．(1)随机
(2)
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
20．
【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系等知识，连接、，过点P作轴于Q，证明是等边三角形，求出，然后利用含的直角三角形的性质求出、，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接、，过点P作轴于Q，
∵六边形是正六边形，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴中心的坐标为．
21．5厘米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为厘米，宽为厘米，根据纸盒的底面面积是450平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为厘米，宽为厘米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：小正方形的边长为5厘米．
22．（1）相切，见解析；（2）
【分析】（1）如图所示，连接OD，证明，即可求解；
（2）根据S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE即可求解．
【详解】解：（1）相切，
证明：如图，连，，
是的直径，
，
又，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
是的切线．
（2）解：，，
，
，
连接，则，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．
23．(1)
(2)
(3)或
(4)k的取值范围是
【分析】（1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令 可得再解方程即可；
（2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案；
（3）先求解时，的值，再结合函数图象可得答案；
（4）结合（3）中图象解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴
∴抛物线为：
令 则
∴
解得：
∴
（2）∵
∴抛物线的顶点坐标为：
（3）令
∴
整理得：
解得：
如图，
当时，或
（4）由（3）的图象可得：当过抛物线的顶点时，
此时二次函数的图象与直线有1个交点，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，
则k的取值范围是
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象解决函数的交点问题”是解本题的关键．
24．（1）；（2）存在，，
【分析】（1）把点AB的坐标代入即可求解；
（2）分点P在轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
当点P在轴下方时，
如图，设AP与轴相交于E，

令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45，
∵∠PAB=∠ABC=45，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为，
把A(-1，0)代入得：，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(4，)；
当点P在轴上方时，
如图，设AP与轴相交于D，

同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，点P的坐标为(2，)或(4，)
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．
25．(1)l与m的函数解析式：；
(2)1的最大值为20．
【分析】（1）先求出的长，根据对称性得出，表示出的长，再用周长公式表示出l与m的函数解析式；
（2）根据二函数的性质求出l的最大值．
【详解】（1）
解：令，
得，
或，
，
，
，
根据对称性得出，
，
把代入，
得，
，
；，
∴l与m的函数解析式：；
（2），，
，
时，l有最大值：20，
∴1的最大值为20．
【点睛】此题考查了结合特殊四边形求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、矩形的性质，掌握这几个知识点的综合应用，其中根据表示出的长是解题关键．
26．1或4或
【分析】若与四边形的边相切时，有以下三种情况：
①当与相切于点C时，有，
②当与相切于点C时，有，即点P与点O重合，
③当与相切时，由题意，得，分别求解即可；
【详解】由题意知，若与四边形的边相切时，有以下三种情况：
①当与相切于点C时，有，
从而，得到，此时；
②当与相切于点C时，有，即点P与点O重合，此时；
③当与相切时，由题意，得，
∴点A为切点，
如图4，，，
于是，
即，
解得：，
∴t的值为1或4或．
【点睛】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12