热点题爆破13 圆锥曲线-【考前冲刺】2024年新高考数学考前三轮复习热点题精讲（新高考通用）

这是一份热点题爆破13 圆锥曲线-【考前冲刺】2024年新高考数学考前三轮复习热点题精讲（新高考通用），文件包含热点题爆破13圆锥曲线原卷版docx、热点题爆破13圆锥曲线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
热点题爆破13 圆锥曲线
1．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
【答案】C
【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误.
【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.
当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于，
即，即，同理，圆与圆内切也等价于；
当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
即和，即和.
所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.
下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；
若，则圆与圆外切，圆与圆内切.
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，
而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；
若，则，此时“圆与圆外切”等价于，
而根据双曲线定义，对应的轨迹为，
仅仅是双曲线的半支，D错误.
故选：C.
2．（2024·广东佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出椭圆轨道的长半轴长及半焦距即可计算得出.
【详解】设此椭圆的长半轴长为，半焦距为，月球半径为，地球半径为，
月球中心与地球中心距离为，则，
，于是，，
所以离心率为．
故选：
3．（2024·湖北·模拟预测）抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得∥，取弦，的中点分别为，设直线的方程为：代抛物线，由韦达定理可得，，，从而得在直线上，根据切线方程可得，作出图象，可得，，再根据求解即可.
【详解】解：由，，可知∥，
设弦，的中点分别为，
设直线的方程为：，
代入，得，
则， ，
所以，，
同理可得，
由抛物线的几何意义可知点在直线上，
所以，
因为，所以，，
所以物线在处的切线为，即，
，即
同理可得物线在处的切线为，即,
由，解得，
综上，，,
所以四点共线，且所在直线平行于轴，

由，得，
则，，
又，
所以有，
又，
化简得，
同理有，
由两式知直线的方程为：
，
因为，
所以，
又直线过点，
代入得，
，
整理得，
即，
由题可得，
所以，
所以，
解得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解.
4．（2024·广西贺州·一模）“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点作垂直的延长线于H，则
【答案】ACD
【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.
【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得，
于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确.
B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误.
C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确.
D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，因此.故D正确.
故选：ACD
5．（2024·湖北·二模）已知抛物线，过y轴正半轴上任意一点的直线交抛物线于，，抛物线在A，B处的切线、交于点Q，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．如果P为定点，那么Q为定点
C．，的斜率之积为定值
D．如果P为定点．那么的面积的最小值为
【答案】AD
【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A，利用导数可得切线方程进而可判断C，利用两点坐标点关系可判断B，求出面积表达式可判断D.
【详解】显然直线AB的斜率存在，设，与联立得，
由韦达定理得，，，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确；
因为对于抛物线，，所以，即，
同理，即，
所以，的斜率之积为，所以C错误；
因为过点，所以有，同理有，
这表明，在直线上，即直线AB的方程为，
又因为AB经过点P，所以，解得，
又因为Q是直线，的交点，所以，所以，
所以，当P为定点时，Q在直线上，所以B错误；
因为，到直线AB的距离，
所以的面积，显然如果m为定值．
那么当时，S有最小值，且最小值为，所以D正确．
故选：AD
6．（2024·福建漳州·一模）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．
C．D．
【答案】AB
【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，，利用余弦定理结合，，进而可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为直线：，
可知直线过右焦点，斜率，
设直线的倾斜角为，则，可得，
设，
由，可得，，，故B正确；
在中，可知，
由余弦定理可得：，
即，解得或（舍去），
可得双曲线的离心率为，，故A正确，D错误；
在中，可知，
由余弦定理，
即，解得，故C错误；
故选：AB.
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法，求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2.焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
7．（2024·河北沧州·一模）已知双曲线：的焦距为，双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，则 ．
【答案】/
【分析】先用导数求在处切线的斜率，根据垂直关系，求出双曲线渐近线的斜率，进而得到双曲线的标准方程，再设直线与双曲线联立，求出，的坐标，即可得到答案.
【详解】因为，所以.
因为双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，
所以双曲线C的一条渐近线的斜率为：.
对双曲线，，所以双曲线C的标准方程为：.
如图：
M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，
设直线的方程为：，
由，所以.
又，用代替，可得.
所以
故答案为：.
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是双曲线上关于原点对称的两点，动点在双曲线上，且，的斜率之积为（e为双曲线的离心率），则 ．
【答案】
【分析】设，利用点在双曲线上建立方程组借助点差法变形，再结合斜率坐标公式列式解方程即得.
【详解】设，则，依题意，，
而，两式相减得，即，
即，因此，所以.
故答案为：
9．（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
则，又.
所以C的离心率的取值范围是.
故答案为：
10．（2024·山东·二模）已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）的最大值为
【分析】（1）根据椭圆的离心率与椭圆上的点列方程组求解即可得椭圆方程；
（2）（i）设，则直线，与圆方程联立可得点坐标，求解计算斜率，从而可得的值；（ii）设直线，与椭圆方程联立得交点坐标关系，利用坐标运算可得，从而可得最大值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，将代入椭圆方程可得，，解得，
所以得面积为，又，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设，
则直线与联立，
可得，
解得，
带入可得，
所以，
同理可得，，
所以，
所以；
（ii）设直线，与椭圆方程联立，
可得，所以，
，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为,；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
11．（2024·山西·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，，，，分别是椭圆上不同的四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点，且，，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）因为，所以点在椭圆内，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消得，
设，
则，
所以
，
同理，
所以
，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
综上所述，实数的最大值为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
12．（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；
（2）①易知当时；当时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线、方程，联立方程组，化简计算求出点T的坐标，即可求解点T的轨迹方程；②利用面积公式建立关于的方程，化简计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①：由（1）知，，设，则，
易知当时，，，此时，
由，解得，即；
当时，，，设直线的斜率为，
则，
所以直线方程为，又直线方程为，
由，得，即，
解得，
将代入直线方程，得，即，
又，所以，
故点的轨迹方程为；
②：由，得，
又，所以，得，
整理得，又，所以，
整理得，即，
由，解得.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点与直线的斜率之间的关系，即是求出直线方程的解题关键，表示出的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.
一、单选题
1．（2024·浙江丽水·二模）已知椭圆为左､右焦点，为椭圆上一点，，直线经过点.若点关于的对称点在线段的延长线上，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到点与点关于对称，从而，在中，利用正弦定理得到，结合，即可求解.
【详解】由直线，且点关于的对称点在线段的延长线上，
如图所示，可得点与点关于对称，且,
故在中，则,故
又的倾斜角为，则，
故在中，有，，，
又由，可得，
即，
又因为，
，
所以.
故选：B.
2．（2024·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，根据，设，求出的最小值，进而利用倍角公式求的最小值.
【详解】因为，，
设，则
当时，，此时最大，最小，
且.
故选：D.
3．（2024·河北邢台·一模）倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用焦半径公式将所求弦长用三角函数表示，再利用三角函数性质求出取值范围即可.
【详解】
首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，
如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，
则，
解得，同理可得，
如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，
则，
而，可得，故，故A正确，
故选：A
4．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得、，结合可判断两者大小.
【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为，如图所示，
则，解得，
所以，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为，如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点的切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：A.
5．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案.
【详解】解：如图，设与的交点为，，
因为，所以，
所以，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入数据整理得：，
所以，双曲线的离心率为：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得.
二、多选题
6．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．设到直线的距离分别为，则
D．若直线的斜率分别为，则
【答案】BD
【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式可判断A；根据重心相关性质即可判断B；根据抛物线的定义可判断C；根据题意求得直线的斜率，代入等式计算可判断D.
【详解】对于A，因为为抛物线上任意三点，且，
所以F为的重心，，
所以
又，即，故A错误；
对于B，延长交于点，
因为为的重心，所以，且是的中点，
因为，在中，有，所以，故B正确；
对于C，抛物线方程为，所以抛物线的准线为，
所以到直线的距离之和，
因为三点不一定共线，所以，
即，故C错误；
对于D，因为，，
两式相减,得：,
所以,
同理可得,,
所以，故D正确.
故选：BD.
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，点是椭圆上任意一异于顶点的点，连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）
A．为定值
B．
C．当四边形的面积最大时，直线的斜率为1
D．点的纵坐标没有最大值
【答案】ABD
【分析】根据给定的椭圆方程，设点，结合斜率坐标公式计算判断AB；取点在第一象限，求出面积最大时的斜率判断C；观察图形分析判断D.
【详解】依题意，，设，
对于A，，A正确；
对于B，直线的方程为，它与直线的交点，
因此，B正确；
对于C，不妨令，四边形的面积
，当且仅当时取等号，此时点，
直线的斜率为，C错误；
对于D，当点无限接近点时，点的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，
因此没有最大值，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：椭圆上的点的坐标可以设为.
8．（2024·广东·二模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】联立直线与抛物线方程由韦达定理可得，，，即可根据两点距离分别结合选项求解.
【详解】由已知，，设过点的直线方程为：，
设点，则，，
由，得，
所以，，，
，所以，故A正确，
，故B错误，
，
,故，C正确，
，
由选项C可知，所以，故,D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
9．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线的斜率为
C．为等腰三角形
D．
【答案】ACD
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数值，求出离心率即可判断A，先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B，利用椭圆的定义得到边相等，证明是等腰三角形判断C，求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可.
【详解】对于A，连接，，，
，，
，
在中，，
故有，解得，则，
而在中，，，故A正确，
对于B，而的倾斜角为，而，
则，故B错误.
对于C，由已知得，是等腰三角形，故C正确，
对于D，因为，则，故，
易知的方程为，设，
联立方程组，解得或，
故，又，即，
由两点距离公式得，
而，，故D正确.
故选：ACD.
10．（2024·浙江嘉兴·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与准线相交于点，则三点共线
B．若直线与准线相交于点，则平分
C．
D．若直线的方程为，则
【答案】ACD
【分析】对A，设直线，与抛物线联立，可得，验证得解；对B，假设，又由抛物线定义得，可得，即，这与和相交于A点矛盾，可判断；对C，结合A选项有，，根据，运算可得解；对D，可求得点的坐标，进而求出，利用向量夹角公式运算得解.
【详解】对于选项A，因为直线经过焦点，设，，直线，
与抛物线联立得，，
由题意得，，
所以，
即三点共线，故A正确；
对于选项B，假设，又，
所以，所以，这与和相交于A点矛盾，故B错误；
对于选项C，与距离等于与距离，又结合A选项，则，
所以，故C正确；
对于选项D，由题意可得，，
，
，
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：A选项，判断三点共线，即转化为验证，设出直线的方程与抛物线联立，求出点坐标，表示出的斜率判断；B选项，利用反证法，假设，结合抛物线定义可得与条件矛盾；C选项，根据题意可得，结合A选项的结论可判断；D选项，求出点的坐标，进而求出，利用向量夹角公式运算.
三、填空题
11．（2024·湖南·二模）已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据椭圆方程和题设条件得到将双曲线的离心率表达式整理成的形式，换元成，研究函数的单调性并求得其值域即可得到离心率的范围.
【详解】依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，.
不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增，
故，即，故双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
12．（2024·辽宁鞍山·二模）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据条件，列出关于，，的齐次式，从而求双曲线的离心率.
【详解】如图：

因为轴，且在双曲线上，所以，
又，所以为中点.
因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为，
圆心，
由
.
故答案为：
13．（2024·山西长治·一模）已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为
【答案】
【分析】设直线AB方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.
【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去x得：，，
则，由得：，
即，而，于是，
直线的方程为，则点纵坐标，同理点纵坐标，
又，
由，得，则，，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.
14．（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意直线的方程为，
令可得，即，
由，消去得，解得或，
又，在轴的两侧，所以，则，所以，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
故答案为：
15．（2024·湖北·二模）函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ．
【答案】
【分析】首先得到双曲线的两条渐近线方程分别为，，根据双曲线的对称性可得渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得.
【详解】由对勾函数的性质可在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称，
双曲线的方程为，
双曲线的两条渐近线方程分别为，，
渐近线与实轴的夹角为，，
，解得或（舍去），
，
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是得到双曲线的两条渐近线方程，从而得到渐近线与实轴的夹角.
四、解答题
16．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且当的斜率为1时，．
(1)求的方程；
(2)设与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先设的方程为，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；
（2）先设出，进而可求的坐标，可得直线轴，求出的范围，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）不妨先设的方程为，，，
代入，可得，
所以，，
则，
由题意可知当斜率为1时，，又，即，
解得，所以的方程为；
（2）由（1）知，直线的方程为，抛物线方程，
，
所以的纵坐标，
将的纵坐标代入，得，所以的坐标，
易知抛物线的准线为,又因为与的准线交于点，
所以的坐标，则直线的方程为，
把代入，得，即或，
因为点异于原点，从而的纵坐标为，
把代入，得，所以，
因为的坐标，所以，的纵坐标相同，
所以直线轴，且，
所以面积，
因为，
所以，
所以，
因为点异于原点，所以，所以，
因为，所以，
所以，即面积的取值范围为.
17．（2024·湖北·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，上顶点为的外接圆半径为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线，，，的斜率分别为，，，，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助椭圆离心率可得，，结合正弦定理可得，即可得解；
（2）设出直线PQ方程：，将其与曲线联立，借助韦达定理结合题目条件计算可得，表示出的面积之后，借助韦达定理化简计算即可得解.
【详解】（1）椭圆的离心率，，，，
在直角中，，，
，在中，，，
设R为，的外接圆半径，
则由正弦定理得，
，，，
椭圆的方程为；
（2）PQ的斜率存在，且PQ与x轴的交点在椭圆内，显然PQ的斜率不为零，
设PQ：，，代入椭圆方程，
得，
，，设，
，，
由题意得，同理可得，
又，，，
PQ与x轴不垂直，，，
，，
即，
整理可得，
，，解得，
即直线PQ与x轴的交点为，，
的面积，
，
，面积的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程；
（2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由原点到直线的距离为定值1，得，再联立方程组，由弦长公式求最值.
【详解】（1）因为的周长为8，
所以，解得，
焦距为，，所以，
所以椭圆E的方程为．
（2）

当直线斜率不存在时，为或，
当时，，则，
当时，同理，
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
因为原点到直线的距离为定值1，所以，则，
设，
联立椭圆于直线方程，
消元得，
所以，
由，得,
,
令，
则，
由，所以当时，，
所以的最大值
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．（2024·河北沧州·一模）已知点是椭圆上在第一象限内的一点，A，B分别为椭圆的左、右顶点．
(1)若点的坐标为，的面积为1．
（i）求椭圆的方程；
（ii）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与交于C，D两点，与交于E，G两点，若，求实数的值．
(2)若椭圆的短轴长为2，直线AQ，BQ与直线分别交于M，N两点，若与的面积之比的最小值为，求此时点的坐标．
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）根据，求出，再由点在椭圆上，求出，即可求解；（ii）直曲联立，利用韦达定理分别求出、,求出的值，再分与方向相同和与方向相反两种情况求解即可.
（2）由三点共线分别求出、，从而表示出，利用换元得，结合二次函数的性质求出最小值，得到方程解出，进一步求解点的坐标即可.
【详解】（1）（i）根据已知条件，有，解得，
又在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程有：，解得，
所以椭圆的方程为：.
（ii）因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线方程为；
直线与椭圆联立，整理有：，
由韦达定理得：，，
；
直线与抛物线联立，整理得，
由韦达定理得：，，
；
，若与方向相同，则，
若与方向相反，则，故.
（2）椭圆的短轴长为2，所以椭圆方程为：，
因为，，三点共线，
所以，解得；
同理：，，三点共线，
所以，解得；
设，此时，
，
因为，所以，
所以；
又设，，所以，
因为，令，，此时，
所以，
其中，，因为，所以
为开口向下，对称轴为，
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为：，
所以有最小值为，令，解得或，
因为，所以（舍去），所以，解得，
此时，，又，所以，
所以点坐标为.
【点睛】关键点点睛：关键为求出，利用换元法将化为，结合二次函数单调性求解.
20．（2024·浙江嘉兴·二模）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质求出即可；
（2）设直线，直曲联立，把坐标结合韦达定理用表示出来，利用由三点共线和解得，然后由弦长公式和点到直线的距离表示出四边形的面积，令，构造函数，求导后分析单调性，得到最值.
【详解】（1）由题意可知，
又浙近线方程为，所以，
易知双曲线的标准方程为.
（2）
设，联立方程得，
且，
由三点共线得①，
由得，即②，
由①②解得.
由可知，四边形是平行四边形，所以，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
【点睛】方法点睛：求双曲线等圆锥曲线内四边形面积时常用韦达定理结合弦长公式表示，求面积的最值时常构造函数求导分析.