新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，请把答案填涂在答题卷中相应的方格)
1. 下列各式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：，
根据二次根式的定义可知，四个选项中只有A选项中的式子是二次根式，
故选：A．
2. 下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A. 2， 3， 4B. 3， 4， 5C. 6， 8， 11D. 5， 12， 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为6，8，11的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为5，12，12的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 在中，， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质．解题的关键是掌握：平行四边形的对角相等，邻角互补．据此列式解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4. 下列计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A. 12B. 13C. 144D. 194
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，
∴，
∴，
∴字母B代表的正方形的面积是144，
故选C．
【点睛】本题主要考查了以直角三角形三边为边长的正方形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6. 下列说法正确的有（ ）个
①矩形的对角线互相平分且相等，②有一组邻边相等的四边形是菱形，③平行四边形的对角相等，④有一个角是直角的菱形是正方形
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：①矩形的对角线互相平分且相等，原说法正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误；
③平行四边形的对角相等，原说法正确；
④有一个角是直角的菱形是正方形，原说法正确；
∴说法正确的有3个，
故选：C．
7. 请计算式子 的值（ ）
A B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，求一个数的立方根，先计算立方根和化简二次根式，再计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】解：
故选：D．
8. 如图所示， 已知是的中位线，， 点F是延长线上的一点， 且， 求线段的长为 （ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据三角形中位线等于第三边长的一半得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，点D为的中点，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卷中相应的横线上)
9. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键．
10. 如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为________.

【答案】 ；
【解析】
【分析】树高等于AC＋BC，在直角△ABC中，用勾股定理求出BC即可.
【详解】由勾股定理得，BC＝，所以AC＋BC＝1+.
故答案为().
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形.
11. 已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC的形状为_______三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】试题分析：根据二次根式和偶次方的非负性求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵+（b﹣3）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC直角三角形，
故答案为直角．
考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
12. 已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为__________．
【答案】120
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】解：菱形ABCD的面积
【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】翻折前后，对应线段、对应角不变，据此构建直角三角形，根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
由折叠可得AC1＝AC＝6，
∴BC1＝10﹣6＝4，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△DBC1中，42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3．
∴CD＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的知识点是图形的折叠变换以及勾股定理，解题关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14. 如图， 在 中， P为边上一动点 (且点P不与点B、C重合) ，于F．则的最小值为_______．

【答案】4.8
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
要使最小，只要最小即可，
过A作于P，此时最小，
在中，，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，
即．
故答案为：4.8．
三、解答题(本大题共8小题，共50分，请把答案填在答题卷中相应的位置)
15. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可．
小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
16. 若实数x，y满足，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，，
解得，
当时，．
当，时，．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键．
17. 已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
【详解】在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE∥DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键．
18. 如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状? 并说明理由.
【答案】（1）13；（2）网格中的△ABC是直角三角形.
【解析】
【详解】试题分析：（1）把△ABC放在一个长为8、宽为4的长方形中，用长方形的面积减去周围几个小直接三角形的面积即可得到结果；
（2）先根据勾股定理求得△ABC各边的长的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断．
（1）△ABC的面积；
（2），，，
，
∴△ABC是一个直角三角形.
考点：本题考查的是三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形ABC的三边满足，则三角形ABC是直角三角形．
19. 如图所示， 在四边形中， 是的角平分线，
求证：四边形是菱形
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质，先由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，进而得到，据此即可证明结论．
【详解】证明：∵是的角平分线
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
20. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
【答案】度
【解析】
【分析】根据题意得：，海里，海里，再由勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，海里，海里，
∵海里，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
即另一艘轮船航行的方向是北偏西度．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
21. 课本再现∶
思考：
我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形
（1）定理证明：为了证明该定理，小红同学画出了图形(如图1)，并写出了 “已知”和“求证”， 请你完成证明过程：
已知：在 中， 对角线
求证：四边形是矩形
（2）如图2， 若点为矩形边延长线上一点，且平分，，若，求的长为多少？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得：，，证明，得，再根据平行线的性质得，即可得证；
（2）根据矩形的性质可得，根据角直角三角形的性质得，根据平分线的定义及平行线的性质得，继而得到，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形和平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，角的直角三角形的性质及等角对等边等知识点．掌握正方形及平行四边形的性质及矩形的判定和性质是解题的关键．
22. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：
以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简
（2）计算：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）求出，据此把所求式子中的每一项分母有理化后隔项相消即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
∴
．