2024年广东省佛山市禅城区中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省佛山市禅城区中考模拟数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了2024的相反数是，下列运算正确的是，《墨子·天文志》记载，阿基米德说等内容，欢迎下载使用。

1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（ ）
A．9B．6C．4D．3
7．如图，在中，直径弦是圆上一点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
10．在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达D．速度比原计划减少，结果晚到达
二.填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设．截止2023年馆藏图书总量已超1625万册．“1625万”用科学记数法可表示为 ．
12．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
13．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
14．如图，在矩形中，点为中点，将沿翻折至，若，则 ．
15．如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ．
三.解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分．
16．（1）解方程：
（2）化简：
17．已知：如图，点D在内部，连接．若．求证：．
18．已知如图，中．
(1)尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形．
四.解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．2024年佛山50公里徒步活动期间，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山，见证城市高质量发展．小红所在的学习小组为了解参加活动的市民年龄情况，随机调查了部分参加活动的市民，根据调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）．
(1)单选题：采取下列措施中的______，可以使调查样本更具有广泛性和代表性．
A．在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数 B．在中午12：00进行调查
C．在起点进行调查 D．在终点进行调查
(2)补全条形统计图；
(3)被调查的市民的年龄的中位数，在年龄______段岁中；
(4)你能根据调查样本，估计参加活动的市民中，年龄段为18－24岁的人数吗？
20．如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点．
(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值．
21．综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
五.解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．综合探究
已知点是边长为2的正方形内部一个动点，始终保持．

【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值．
23．综合运用
如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E．
(1)求的度数；
(2)当和相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．
【解答】解：2024的相反数是，
故选B．
2．D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：从正面看到的平面图形是：
故选：D．
3．B
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组无解，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：C．
5．A
【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【解答】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案．
【解答】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形，
∴正方形的面积正方形的面积；
∴四边形的面积为；
故选C．
7．A
【分析】根据圆周角定理求出，再根据垂径定理及推论求解即可．此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
【解答】解：，，
，
直径弦，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和，
∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为，
则，是反比例函数，
又∵动力臂，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
10．A
【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【解答】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度，
∴表示的是在原计划的速度上提高，
∴表示实际的速度，
∴A符合题意，
故选：．
11．
【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数,据此解答即可．
【解答】解：1625万．
故答案为：．
12．
【解答】试题分析：确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=．
考点：概率公式
13．
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【解答】解：如图，

∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=(90°-∠ABE)，由∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，推出∠OMB=∠ANB=90°-∠ABE，在△MBE中，根据∠EMB+∠EBM=90°，构建关系式即可解决问题．
【解答】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠ABC=∠ADB=90°，AD=BC，
∵DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=(90°−∠ABE)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，
在△MBE中，
∵∠EMB+∠EBM=90°，
∴∠AME+90°−∠ABE+(90°−∠ABE)=90°，
整理得：3∠ABE−2∠AME=90°，
∵∠AME=15°
∴∠ABE=40°
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了矩形翻折的问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，在解题中应用了矩形的性质定理，及全等三角形的判定和性质相关知识．
15．
【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
【解答】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
16．（1），；（2）
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解即可；
（2）利用分式混合运算的法则进行计算即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
【解答】解：（1），
，
或，
，；
（2）
．
17．见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
方法一：证明，得到，即可证明；
方法二：延长交于点，由三线合一定理得到，则可证明，即可证明．
【解答】证明：方法一：，，
，
，
；
方法二：延长交于点，
，
，
，
．
18．(1)图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图可得；以点为圆心，的长为半径画弧，与的交点即为点；
（2）根据平行四边形的性质得出，再结合角平分线的定义得出、根据菱形的判定，即可证明．
【解答】（1）解：如图，和点即为所求．
．
（2）证明：四边形为平行四边形，
∴，
．
为的平分线，
，
，
．
，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
19．(1)A；
(2)见解析；
(3)30－39；
(4)6万人．
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是从扇形图与条形图中已知的公共部分为解题突破口，求出样本容量．
（1）可以看选项是否符合以下三个方面：样本中个体的选取具有随机性；选取的样本容量足够大；选取的样本各层均有涉及；
（2）用条形图中“18岁以下”的数量除以扇形图中“18岁以下”所占的百分比10%，得到样本容量，用总量减去其他年龄段的数量即可，并补全图；
（3）按照年龄从小到大，找到样本中间位置处于的年龄段；
（4）用总人数乘扇形图中18－24岁的百分即可得到．
【解答】（1）在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数，具有随机性，可避免偶然性，
故选A．
（2）样本总量为，
18－24岁的人数=样本总量-其他年龄段的人数，
即（人），补全图统计图如下
．
（3）样本总量为，中间位置为1000，将数据从小到大排列，第1000个会出现在“30－39岁”内．
（4）样本内年龄段为“18－24岁”的百分比为，
约40万市民参加活动，
（万），
估计本次徒步活动中，18－24岁人群参与的市民约有6万人．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案．
【解答】（1）解：将点，分别代入，
得：，
解得：，
抛物线表达式为
将点，分别代入得：，
解得：
直线的表达式为；
（2）解：设点坐标为，
轴，
点与点的横坐标相同，即点坐标为，
，
轴，
点与点的纵坐标相同，
，
，
即点坐标为，
，
，开口向下，
的最大值为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解；
（2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解．
【解答】（1）解：如图1，过作于，
，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如图1，首先推导出，由推导出，结合点是的中点，得到；
（2）延长交边于点，如图2，利用勾股定理求得，，继而推导出，与（1）同理可得：；
（3）延长交边于点，如图3，取中点，连接，，当与半圆相切时，有最大值．同时推导出也为半圆的切线，点在线段的垂直平分线上，同理：点在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线，推导出，结合，得到四边形是平行四边形，求得，，与（1）同理可得：．
【解答】解：（1）如图1，在正方形中，，，
，
，
．
点是的中点，
；
（2）延长交边于点，如图2，
点是的中点时，，
，
，
在中，，
，
在正方形中，，
，
，
，
，
与（1）同理可得：；
（3）延长交边于点，如图3，
，，
点在以为直径的半圆上运动，
取中点，连接，，
当与半圆相切时，有最大值．
且为半径，
也为半圆的切线，
，
点在线段的垂直平分线上，
同理：点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
，
．
与（1）同理可得：．
【点拨】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理．
23．(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）先求解，，再利用锐角三角函数求解，即可；
（2）分两种情况讨论：①如图，当时，连接，②如图，当时，则，再进一步结合相似三角形的性质与圆周角定理可得答案；
（3）连接，依题意得，，可得则，，，表示，再进一步计算即可．
【解答】（1）解：当时，，
当时，，
∴，
．
，
，
，
，
；
（2）①如图，当时，连接，
∴，
．
，
为直径，
，
，
，
设，则，
，
，且
，
，
等腰中，，
，
点坐标为
②如图，当时，则，
．
由（1）可得：
又，
点与点重合．不符合题意，舍去．
综上所述，点坐标为．
（3）的值不变，
理由如下：连接，依题意得，，
，
则，
，
，
，
又，
，
．
【点拨】本题考查的是一次函数的几何应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，选择合适的方法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
时刻（时）
12
13
14
15
角的正切值
5
2.5
1.25
1