2024年黑龙江省大庆市让胡路区中考数学联考试卷

这是一份2024年黑龙江省大庆市让胡路区中考数学联考试卷，共26页。
A．﹣（+2024）B．+（﹣2024）C．﹣|﹣2024|D．﹣（﹣2024）
2．（3分）大庆油田1959年发现、1960年开发，是我国最大的油田，大庆油田累计生产原油突破25亿吨，占全国陆上原油总产量的36%，数据“25亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×107B．2.5×108C．2.5×109D．2.5×1010
3．（3分）下列常见的数学符号，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A．≌B．∽C．⊥D．≠
4．（3分）如图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣3），B（1，0），若A、B、O、C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
6．（3分）现有A，B两组数据：数据A：1，2，3，数据B；2022，2023，2024；若数据A的方差为a，数据B的方差为b，则说法正确的是（ ）
A．a＝bB．b＝a+2021C．b＝a+2022D．b＝a+2023
7．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
B．如果a＜0，那么，
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．对于函数，y随x的增大而减小
8．（3分）受国际油价影响，2023年九月底大庆95号汽油的价格是8.99元/升，十一月底的价格8.49元/升．假设大庆95号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设为x．根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．8.99（1﹣x2）＝8.49B．8.99（1﹣x）2＝8.49
C．8.99（1+x2）＝8.49D．8.99（1+x）2＝8.49
9．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝6，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．B．5C．4D．
10．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，AB＝3cm，BC＝4cm．如图①，若∠ABC＝30°，动点P以1cm/s的速度从点B出发沿线段BC运动到点C，同时动点Q以2cm/的速度从点B出发，沿路线B→A→D→C运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，△BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a﹣b的值是（ ）
A．B．1C．2D．
二、填空题（共8小题，满分24分）
11．（3分）函数y＝+中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为 ．
13．（3分）若x﹣y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（y﹣1）的值等于 ．
14．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
15．（3分）若不等式组的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，则a的取值范围是 ．
16．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cs∠BEC的值 ．
18．（3分）平面直角坐标系中，已知抛物线（a是常数，且a＜0），直线AB过点（0，n）（﹣5＜n＜5）且垂直于y轴．当a＝﹣1时，沿直线AB将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为y2，且当﹣5≤x≤2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为 ．
三.解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
21．（5分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
22．（6分）如图1是一款折叠式拍照设备，图2是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果，悬臂、连杆和支撑臂只能在同一平面内活动．经试验，当∠BCD＝23°时，拍摄效果较佳，此时点C到桌面的距离为52厘米．若已知AB⊥l，AB、BC的夹角∠ABC固定为143°，CD＝44厘米，试求“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由．
24．（7分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间t（单位：分钟），并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）教育局抽取的初中生有 人，扇形统计图中m的值是 ；
（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 ；
（4）若该市共有初中生10000名，估计平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生有多少名．
25．（7分）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
26．（8分）某公司计划购买A，B两种设备共100台，要求B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的已知A，B两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买A种设备x台．
（1）求该公司计划购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式：
（2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种设备单价上调了2a（a＞0）元/台，B种设备单价下调了3a元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出a的值．
27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点．
（1）求证：EF＝EG；
（2）若FG2＝FD•FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AH＝3，求⊙O半径的长．
28．（9分）如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，交y轴于点C（0，4）．点P是第一象限内抛物线上的一点，连接AC，BC．M为OB上的动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设点M的坐标为（m，0）请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以O，M，Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各数，与2024相等的是（ ）
A．﹣（+2024）B．+（﹣2024）C．﹣|﹣2024|D．﹣（﹣2024）
【解答】解：A、﹣（+2024）＝﹣2024，与题干不符，不符合题意；
B、+（﹣2024）＝﹣2024，与题干不符，不符合题意；
C、﹣|﹣2024|＝﹣2024，与题干不符，不符合题意；
D、﹣（﹣2024）＝2024，与题干相符，符合题意．
故选：D．
2．（3分）大庆油田1959年发现、1960年开发，是我国最大的油田，大庆油田累计生产原油突破25亿吨，占全国陆上原油总产量的36%，数据“25亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×107B．2.5×108C．2.5×109D．2.5×1010
【解答】解：25亿＝2500000000＝2.5×109，
故选：C．
3．（3分）下列常见的数学符号，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A．≌B．∽C．⊥D．≠
【解答】解：A、此数学符号既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A符合题意；
B、此数学符号是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此数学符号不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此数学符号是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣3），B（1，0），若A、B、O、C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【解答】解：如图所示，
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴可以分以下三种情况分别求出C点的坐标：如图所示：
①当AC∥BO，AO∥BC时，C点的坐标为（1，﹣3）；
②当AB∥CO，AC∥BO时，C点的坐标为（﹣1，﹣3）；
③当AB∥CO，AO∥BC时，D点的坐标为（1，3）．
故选：B．
6．（3分）现有A，B两组数据：数据A：1，2，3，数据B；2022，2023，2024；若数据A的方差为a，数据B的方差为b，则说法正确的是（ ）
A．a＝bB．b＝a+2021C．b＝a+2022D．b＝a+2023
【解答】解：数据A的平均数为，
数据A的方差为，
数据B的平均数为＝2023，
方差为b＝＝，
∴a＝b，
故选：A．
7．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
B．如果a＜0，那么，
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．对于函数，y随x的增大而减小
【解答】解：A、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故原命题错误，不符合题意；
B、如果a＜0，那么，正确，符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合，故原命题错误，不符合题意；
D、对于函数，在每一象限内y随x的增大而减小，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）受国际油价影响，2023年九月底大庆95号汽油的价格是8.99元/升，十一月底的价格8.49元/升．假设大庆95号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设为x．根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．8.99（1﹣x2）＝8.49B．8.99（1﹣x）2＝8.49
C．8.99（1+x2）＝8.49D．8.99（1+x）2＝8.49
【解答】解：根据题意得：8.99（1﹣x）2＝8.49．
故选：B．
9．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝6，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．B．5C．4D．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1＝30°+15°＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠BCO＝45°，
∵CA＝CB，
∴AO＝CO＝AB＝×6＝3，
∵DC＝6，
∴D1C＝DC＝6，
∴D1O＝6﹣3＝3，
在Rt△AOD1中，AD1＝＝＝3．
故选：A．
10．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，AB＝3cm，BC＝4cm．如图①，若∠ABC＝30°，动点P以1cm/s的速度从点B出发沿线段BC运动到点C，同时动点Q以2cm/的速度从点B出发，沿路线B→A→D→C运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，△BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a﹣b的值是（ ）
A．B．1C．2D．
【解答】解：当点Q运动到点D处时，如图，作AH⊥BC，
∵AB+AD＝7，
∴t＝＝BP，
∵∠ABC＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴此时y＝BP•AH＝，
∴a＝，
当点P运动到点C处时，点Q在CD上，如图，
∵BC＝4，
∴t＝4，
∴DQ＝2×4﹣7＝1，
∴CQ＝2，
作QM⊥BC的延长线于M，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCM＝30°，
∴QM＝CQ＝1，
∴此时y＝BC•QM＝2，
∴b＝2，
∴a﹣b＝﹣2＝．
故选：A．
二、填空题（共8小题，满分24分）
11．（3分）函数y＝+中，自变量x的取值范围是 x＜1且x≠0 ．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x＜1且x≠0，
故答案为：x＜1且x≠0．
12．（3分）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为 3cm ．
【解答】解：∵圆锥底面半径为r cm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr＝×2π×5，
解得r＝3．
故答案为：3cm．
13．（3分）若x﹣y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（y﹣1）的值等于 ﹣3 ．
【解答】解：∵x﹣y＝3，xy＝1，
∴（1+x）（y﹣1）
＝y﹣1+xy﹣x
＝xy﹣（x﹣y）﹣1
＝1﹣3﹣1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为 0或4 ．
【解答】解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
x＝0或﹣，
此时m＝0，
②整式不成立时，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：0或4．
15．（3分）若不等式组的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，则a的取值范围是 a≥5或a≤1 ．
【解答】解：由x﹣a＞0，得：x＞a；
由x﹣a＜1，得：x＜a+1；
∴不等式组的解集为：a＜x＜a+1；
又∵x的值均不在2≤x≤5的范围内，如图；
∴不等式组的解集中的最小值应不小于5或者最大值不超过2，
∴a的取值范围是：a≥5或a+1≤2，即a≤1；
所以a的取值范围是：a≥5或a≤1．
16．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，则k的值为 4 ．
【解答】解：∵x1是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的实数根，
∴﹣2x1+k﹣3＝0，
∴＝2x1﹣k+3，
∵，
∴＝2x1﹣k+3+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k+2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣3，
∴＝4﹣k+2，
整理得k2﹣11k+28＝0，
解得k1＝4，k2＝7，
经检验k＝4或k＝7为原方程的解，
∵Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0，
∴k≤4，
∴k的值为4．
故答案为：4．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cs∠BEC的值 ．
【解答】解：作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP、CP，作△PBC的外接圆圆O，圆O与直线PQ交于另一点N，如图，
则PB＝PC，圆心O在PN上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴OP⊥AD，
∴圆O与AD相切于点P，
∴PQ＝AB＝6，BQ＝BC＝4，
∴PQ＞BQ，
∴∠BPC＜90°，
∴圆心O在弦BC的上方，
设EC与圆O交于点M，连接MB，
则∠BPC＝∠BMC≥∠BEC，
∴当点E与点P重合时，∠BEC最大，
连接OB、EN，则∠BON＝2∠BEN＝∠BPC，
∵OB＝OP＝6﹣OQ，
∴BQ2+OQ2＝OB2，
∴42+OQ2＝（6﹣OQ）2，
∴OQ＝，
∴OB＝，
∴cs∠BEC＝cs∠BOQ＝＝，
即当∠BEC最大时，cs∠BEC的值为．
故答案为：．
18．（3分）平面直角坐标系中，已知抛物线（a是常数，且a＜0），直线AB过点（0，n）（﹣5＜n＜5）且垂直于y轴．当a＝﹣1时，沿直线AB将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为y2，且当﹣5≤x≤2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为 ﹣＜n＜1 ．
【解答】解：y1＝ax2+3ax﹣4a＝a（x+）2﹣a，
当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，
抛物线的顶点M（﹣，），
∵直线AB⊥y轴且过点（0，n）（﹣5＜n＜5），
∴点M关于直线AB的对称点M′（﹣，2n﹣），
∵抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣，且自变量x的取值范围为﹣5≤x≤2，
∴当x＝﹣5时y1的值与当x＝2时y1的值相等，为y1＝﹣22﹣3×2+4＝﹣6，
由题意易得函数y2的最大值为n，
若2n﹣≥﹣6，即n≥时，y2的最小值为﹣6，
∵函数y2的最大值与最小值之差小于7，
∴n﹣（﹣6）＜7，即n＜1，
∴≤n＜1，
若2n﹣＜﹣6，即n＜时，y2的最小值为2n﹣，
∵函数y2的最大值与最小值之差小于7，
∴n﹣（2n﹣）＜7，即n＞﹣，
∴﹣＜n＜，
综上，﹣＜n＜1，
故答案为：﹣＜n＜1．
三.解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）计算：．
【解答】解：
＝3﹣1﹣4×+（2﹣2）
＝3﹣1﹣2+2﹣2
＝0．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝•﹣﹣1
＝﹣﹣1
＝﹣
＝，
当x＝1﹣时，原式＝＝﹣．
21．（5分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
【解答】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为（x+0.3）万元，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.9，
经检验，x＝0.9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.9+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元．
22．（6分）如图1是一款折叠式拍照设备，图2是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果，悬臂、连杆和支撑臂只能在同一平面内活动．经试验，当∠BCD＝23°时，拍摄效果较佳，此时点C到桌面的距离为52厘米．若已知AB⊥l，AB、BC的夹角∠ABC固定为143°，CD＝44厘米，试求“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F，DG⊥CE于点G，过点B作BP⊥CE于点P，
则四边形DFEG、BAEP为矩形，DG∥BP，
∴GE＝DF，∠ABP＝90°，∠CHG＝∠CBP，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBP＝143°﹣90°＝53°，
∴∠CHG＝53°，
∵∠BCD＝23°，
∴∠CDG＝∠CHG﹣∠BCD＝53°﹣23°＝30°，
∴CG＝CD＝×44＝22（厘米），
∴DF＝GE＝CE﹣CG＝52﹣22＝30（厘米），
答：点D到桌面的距离为30厘米．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．
∴AE＝CF．
在△AED和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝DE．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴2∠2+2∠3＝180°．
∴∠2+∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴▱四边形AGBD是矩形．
24．（7分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间t（单位：分钟），并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是 抽样调查 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）教育局抽取的初中生有 300 人，扇形统计图中m的值是 30 ；
（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 ；
（4）若该市共有初中生10000名，估计平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生有多少名．
【解答】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，
∴教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）45÷15%＝300（人），
1﹣15%﹣3%﹣7%﹣45%＝30%，
故答案为：300，30；
（3）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P（抽到男生）＝，
故答案为：；
（4）10000×30%＝3000（人）．
25．（7分）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，），
∴m•＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
26．（8分）某公司计划购买A，B两种设备共100台，要求B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的已知A，B两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买A种设备x台．
（1）求该公司计划购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式：
（2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种设备单价上调了2a（a＞0）元/台，B种设备单价下调了3a元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出a的值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝1000x+1500（100﹣x）＝﹣500x+150000；
∴购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式为y＝﹣500x+150000；
（2）∵B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的，
∴，
解得75≤x≤80，
∵x为整数，
∴x可以取75，76，77，78，79，80这6个整数，
∴该公司按计划购买这两种设备有6种方案；
（3）根据题意可得：
y＝（1000+2a）+（1500﹣3a） （100﹣x）＝（5a﹣500）x+150000﹣300a，
当5a﹣500＜0时，即a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y最小，
∴（5a﹣500）×80﹣150000﹣300a＝121500，
解得：a＝115，不符合a＜100，舍去；
当5a﹣500＞0时，即a＞100时，y随x的增大而增大，
∴当x＝75时，y最小，
∴（5a﹣500）×75﹣150000﹣300a＝121500，解得：a＝120，
∴综上所述，a＝120．
27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点．
（1）求证：EF＝EG；
（2）若FG2＝FD•FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AH＝3，求⊙O半径的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OG，
∵EG为切线，
∴∠FGE+∠OGA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠OAG＝90°，
∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠OAG，
∴∠FGE＝∠AFH＝∠GFE，
∴EF＝EG；
（2）AC∥GE，理由为：
如图，连接GD，
∵FG2＝FD•FE，即，
∴，
∵∠FGE＝∠GFE，
∴△GFD∽△EFG，
∴∠E＝∠AGD，∠C＝∠AGD，
∴∠E＝∠C，
∴AC∥GE；
（3）如图，连接OC，
∵AC∥GE，
∴sinE＝sin∠ACH＝，
∵AH＝3，则AC＝5，CH＝4，
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣3，CH＝4，
由勾股定理可得：OH2+CH2＝OC2，解得r＝，
∴⊙O半径的长为．
28．（9分）如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，交y轴于点C（0，4）．点P是第一象限内抛物线上的一点，连接AC，BC．M为OB上的动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设点M的坐标为（m，0）请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以O，M，Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），抛物线y＝ax2+bx+4经过A、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b1，点C是抛物线y＝﹣与y轴的交点，
∵点C的坐标为（0，4），B点坐标为（4，0），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴点P的坐标为（m，﹣），点Q的坐标为（m，﹣m+4），
∴PQ＝﹣﹣（﹣m+4）＝﹣＝﹣（m﹣2）2+2，
∵OC＝OB＝4，
∴∠B＝45°，∠BQM＝∠PQN＝45°，
∴PN＝PQ＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，PN有最大值；
（3）存在，Q （，） 或Q（，）．
理由：∵OC＝4，OA＝2，Q的坐标为（m，﹣m+4），∠AOC＝∠OMQ＝90°，
∴①当△AOC∽△OMQ时，＝＝2，即 ＝2，解得m＝，此时Q的坐标为（，），
②当△AOC∽△QMO时，＝＝，即 ＝，解得m＝，此时Q的坐标为（，），
综上，Q点坐标为 （，） 或（，）．