2023-2024学年北京市海淀实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若 3x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x≠2C. x≠−2D. x≥−2
2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 6，8，10C. 5，10，12D. 6，7，8
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BCB. AB//DC，AD//BC
C. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD
4.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 2+ 2=2 2D. 2 3−2= 3
5.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=3，BC=5，则EF长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，BC=9cm，AB=15cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )
A. 1cm
B. 3cm
C. 5cm
D. 6cm
7.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A. 52
B. 132
C. 185
D. 95
8.如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，G是AD上的任一点，则S△BEF和S△GFC分别等于S的( )
A. 16和13
B. 18和14
C. 14和12
D. 18和16
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子 x−12有意义，则x的取值范围是______．
10.计算 2− 8的结果是______．
11.如图，点A在数轴上所表示的数为2，AB⊥OA于点A，且AB=1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，那么点C表示的数是______．
12.如图，在直角坐标系中，点A(3,1)，B(4,4)，C(5,2)，则∠BAC= ______度.
13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点.AC=8，BD=6，则OE长为______．
14.如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为______．
15.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=3，BC=10，则△EFM的周长是______．
16.如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论是______．
①EF⊥AC；
②△DBF≌△EFA；
③四边形ADFE是菱形；
④AE=2 3AG．
三、解答题：本题共10小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8+ 12−( 27− 2)；
(2) 48+ 3+ 12× 12− 24．
18.(本小题5分)
已知x=2+ 3，y=2− 3，求代数式x2+2xy+y2的值．
19.(本小题6分)
下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF(点E在BC上，点F在AD上)．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴______=______．
在▱ABCD中，AD//BC，
即AF/​/BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．(______)(填推理的依据)
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．(______)(填推理的依据)
20.(本小题5分)
如图所示，在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠B=∠D，连接BD.求证：AB=CD．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC= 5，D是AB上一点，且CD= 3，BD= 2．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求△ABC的边AC的长度．
22.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交CE的延长线于点F.连结BF.求证：四边形ADBF是矩形．
23.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是CA延长线上一点，且AE=AO，BC=5，BD=8.求BE的长度．
24.(本小题6分)
阅读材料：在解决问题“已知a=1 2−1，求2a2−4a+1的值”时，小芳是这样分析与解答的：
∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1
∴a−1= 2
∴(a−1)2=2
∴a2−2a+1=2
∴a2−2a=1
∴2a2−4a=2
∴2a2−4a+1=3
请根据小芳的方法探索解决下列问题：
(1)化简：12− 5；
(2)若a=15+2 6，求3a2−30a+18的值．
25.(本小题7分)
如图，正方形ABCD中，G是AD边上的动点，AE⊥CG交CG延长线于点E，DF⊥DE交CG于点F，连接BF．
(1)若DE=2，求EF的长；
(2)若点G是AD的中点，猜想BF、CF、DF的数量关系，并说明理由．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，若平行四边形ABCD的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称平行四边形ABCD为“中心平行四边形”，其中要求平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列．
(1)如图，点A(4,5)，
①若点B(3,0)，在图中画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的面积；
②若“中心平行四边形”ABCD是矩形，则矩形ABCD的面积是______；
(2)如图，点M(1,6)，N(5,3)，点A在线段MN上，若“中心平行四边形”ABCD是矩形，直接写出“中心平行四边形”ABCD对角线BD的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得，3x−6≥0，
解得x≥2．
故选：A．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、62+82=102，能构成直角三角形，符合题意；
C、52+102≠122，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、62+72≠82，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】A
【解析】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4.【答案】B
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 2× 3= 2×3= 6，所以B选项符合题意；
C.2与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D.2 3与2不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=3，
∴CD=AB=3，AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，
同理DE=DC=3，
∵AD=AF+(DE−EF)=5，
∴EF=1，
故选：A．
根据平行四边形的性质可得CD=AB=8，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF=AB=3，DE=DC=3，由AD=5即可求得EF长．
本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明AF=AB=3，DE=DC=3是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，BC=9cm，AB=15cm，
∴AC= AB2−BC2=12cm，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm，
∴CE=AE−AC=15−12=3(cm)，
故选：B．
根据勾股定理求得AC，根据折叠的性质知，AE=AB，进而可将CE的长求出．
本题主要考查折叠的性质，解答本题的关键是熟记折叠的性质得到AB=AE．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
△ABC的面积是：3×4−12×3×1−12×3×4=92，
∵BD是△ABC的高，AC= 32+42=5，
∴12×BD×5=92，
解得，BD=95，
故选：D．
根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC的面积和AC的长，然后即可计算出BD的长，本题得以解决．
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：△BEF的底为BC的一半，高也为平行四边形高的一半；
△FGE的底为BC的一半，高等于平行四边形的高．
∴可得S△BEF和S△GFC分别等于S的18和14．
故选：B．
根据△BEF、△FGE的底和高与平行四边形的底和高的关系即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，注意掌握平行四边形的性质是关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：∵ x−12有意义，
∴x−1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
二次根式的有意义的条件即被开方数为非负数，据此即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】− 2
【解析】解： 2− 8
= 2− 4×2
= 2−2 2
=− 2．
故答案为− 2
先把 8化为最简二次根式后，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的加减法，做这类题的方法是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
11.【答案】 5
【解析】解：∵在Rt△AOB中，OA=2，AB=1，
∴OB= 22+12= 5．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC=OB= 5，
∴点C表示的实数是 5．
故答案为： 5．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
12.【答案】45
【解析】解：如图，连接BC，
∵A(3,1)，B(4,4)，C(5,2)，
∴AC2=BC2=22+12=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
故答案为：45．
连接BC，分别求出AC2=BC2=5，AB2=10，得到AC2+BC2=AB2，继而判定△ABC是等腰直角三角形，即可得解．
本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知点的坐标求出相应边．
13.【答案】52
【解析】解：由菱形的性质可得，AO=12AC=4，BO=12BD=3，∠AOB=90°，
∴AB= AO2+BO2=5，
∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE△ABC的中位线，
∴OE=12AB=52，
故答案为：52．
由菱形的性质可得，AO=12AC=4，BO=12BD=3，∠AOB=90°，则AB= AO2+BO2=5，由OE△ABC的中位线，可得OE=12AB，计算求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，中位线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14.【答案】3
【解析】解：如图，
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∠ABC=∠CDE∠ACB=∠DECAC=CE，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，
∴BC=DE，
∵AC2=AB2+BC2=DE2，
∴b的面积=a的面积+c的面积，
∴c的面积=b的面积−a的面积=5−2=3，
故答案为：3．
由“AAS”可证△ABC≌△CDE，可得BC=DE，由勾股定理可得c的面积=b的面积−a的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】13
【解析】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=10，
∴在Rt△BCE中，EM=12BC=5，
在Rt△BCF中，FM=12BC=5，
又∵EF=3，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+3=13．
故答案为：13．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出EM=FM=12BC，再求△EFM的周长即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．
16.【答案】①②④
【解析】解：连接CF，
∵∠ACB=90°，F为AB中点，
∴CF=AB=AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，①正确；
∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，
∴AD>DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，③不正确；
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，∠DAB=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∵AC⊥EF，∠ACB=90°，
∴EF/​/AD，
∴AD/​/EF，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC=∠CAE=60°，∠AEF=30°，
∴EF=2AF=AB，AE= 3AF，
∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG=12AF，
∴AE=2 3AG，④正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE=DF，AD=FE，
∵AD=BD，
∴BD=FE，
在△DBF与△EFA中，
BD=FEAE=DFAF=FB，
∴△DBF≌△EFA(SSS)，②正确；
故答案为：①②④．
根据等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识分别对各个结论进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式=4 3+ 3+ 6−2 6
=5 3− 6．
【解析】(1)先化为最简二次根式，再去括号合并同类二次根式；
(2)先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18.【答案】解：∵x=2+ 3，y=2− 3，
∴x+y=2+ 3+2− 3=4，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=42=16．
【解析】根据二次根式的加法法则求出x+y，根据完全平方公式把原式变形，把x+y的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、完全平方公式是解题的关键．
19.【答案】AF BE 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 邻边相等的四边形是菱形
【解析】(1)解：菱形ABEF即为所求．
(2)证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
在▱ABCD中，AD//BC，
即AF/​/BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，)(填推理的依据)
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．(邻边相等的四边形是菱形)
故答案为：AF=BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的四边形是菱形．
(1)根据要求画出图形即可．
(2)利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：∵AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
【解析】由平行线的性质得∠B+∠C=180°，则∠D+∠C=180°，再证明AD//BC，然后证明四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BD2+CD2=2+3=5，BC2=5，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
(2)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
设AC=x，则AB=AC=x，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即(x− 2)2+( 3)2=x2，
解得：x=52 2=5 24，
∴AC=5 24．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形解答即可；
(2)根据勾股定理得出方程解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出方程解答．
22.【答案】证明：∵AF/​/BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
又∵D是BC的中点，
∴AF=BD=DC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
【解析】证明△AEF≌△DEC(AAS)，得AF=DC，再证明四边形ADBF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=90°，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=4，OA=OC，
∴OC= BC2−OB2= 52−42=3，
∵AE=AO，
∴OE=AE+OA=3+3=6，
∴BE= OE2+OB2= 62+42=2 13．
【解析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用勾股定理得出三角形的边长即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AC⊥BD解答．
24.【答案】解：(1)原式=2+ 5(2− 5)(2+ 5)
=2+ 54−5
=−2− 5；
(2)∵a=15+2 6=5−2 6(5+2 6)(5−2 6)=5−2 6，
∴原式=3(a2−10a+6)
=3(a2−10a+25)−3×19
=3(a−5)2−57
=3×24−57
=15．
【解析】(1)根据分母有理化的步骤化简即可；
(2)根据二次根式的混合运算法则进行计算，再代入求值即可．
本题考查的是二次根式的混合运算和化简求值，分母有理化和平方差公式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵正方形ABCD，AE⊥CG，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠AEG=90°，
∵∠ADF+∠ADE=90°=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EAD+∠AEG+∠AGE=180°=∠FCD+∠CDG+∠CGD，∠AGE=∠CGD，
∴∠EAD=∠FCD，
∵∠EAD=∠FCD，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DF=DE=2，
由勾股定理得，EF= DF2+DE2=2 2，
∴EF的长为2 2；
(2)BF=CF+ 22DF，理由如下；
如图，作DH⊥CE于H，

∴∠DHG=90°=∠AEG，
∵∠DHG=∠AEG，∠DGH=∠AGE，DG=AG，
∴△DGH≌△AGE(AAS)，
∴DH=AE，
∵△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴DH=CF，
∵∠CDH+∠DCH=90°=∠BCF+∠DCH，
∴∠CDH=∠BCF，
∵CD=BC，∠CDH=∠BCF，DH=CF，
∴△CDH≌△BCF(SAS)，
∴CH=BF，
∵△DEF是等腰直角三角形，DH⊥EF，
∴DH=FH，
由勾股定理得，DF= DH2+FH2= 2FH，
∴FH= 22DF，
∴BF=CH=CF+FH=CF+ 22DF，
∴BF=CF+ 22DF．
【解析】(1)由题意得∠ADE=∠CDF，由∠EAD+∠AEG+∠AGE=180°=∠FCD+∠CDG+∠CGD，∠AGE=∠CGD，可得∠EAD=∠FCD，证明△ADE≌△CDF(ASA)，则DF=DE=2，由勾股定理得，EF= DF2+DE2，计算求解即可；
(2)如图，作DH⊥CE于H，证明△DGH≌△AGE(AAS)，则DH=AE，由△ADE≌△CDF(ASA)，可得AE=CF，则DH=CF，证明△CDH≌△BCF(SAS)，则CH=BF，由△DEF是等腰直角三角形，DH⊥EF，可得DH=FH，由勾股定理得，DF= 2FH，则FH= 22DF，BF=CH=CF+FH=CF+ 22DF，然后作答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
26.【答案】8 41或10 41 545≤BD≤ 37
【解析】解：(1)①作点C(−4,−5)，点D(−3,0)，依次连接AB，BC，CD，AD，即可得平行四边形ABCD，如图，
∴S▱ABCD=6×5=30；
②Ⅰ.当矩形ABCD的一条对角线在y轴上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵点A(4,5)，
∴OA= 16+25= 41，
∴OD= 41．
过点A作AE⊥y轴于点E，则AE=4，
∴S△OAD=12OD⋅AE=12× 41×4=2 41，
∴S▱ABCD=4S△OAD=2 41×4=8 41；
Ⅱ.当对角线在x轴上，如图，
则OB=OA= 41，
过点A作AE⊥x轴于点E，则AE=5，
∴S△OAB=12OB⋅AE=12× 41×5=5 412，
∴S▱ABCD=4S△OAB=52 41×4=10 41，
综上，矩形ABCD的面积是8 41或10 41．
故答案为：8 41或10 41；
(2)延长MN交y轴于点E，连接OM，ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图，
∵M(1,6)，N(5,3)，
∴OM= 12+62= 37，ON= 52+32= 34
MN= MG2+NG2= 32+42=5．
设直线MN的解析式为y=kx+b，且过点M(1,6)，N(5,3)，
∴k+b=65k+b=3，
解得k=−34b=274，
∴直线MN的解析式为y=−34x+274，
令x=0，则y=274，
∴E(0,274).
∴OE=274．
∴S△OME=12×274×1=278，S△ONE=12×274×5=1358，
∴S△OMN=S△ONE−S△OME=272，
∴12MN⋅OF=272，
∴OF=275．
∵点A在线段MN上， 37> 34，
∴OA的最大值为 37，最小值为275，
∵“中心平行四边形”ABCD是矩形，
∴BD=AC=2OA，
∴BD的最大值为2 37，最小值为545．
∴对角线BD的取值范围是：545≤BD≤ 37．
故答案为：545≤BD≤ 37．
(1)①利用平行四边形是中心对称图形的性质找出点A，B关于点O的对称点即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ.当矩形ABCD的一条对角线在y轴上时，利用点A坐标求得OA的长度，进而求得△OAD的面积，再利用S▱ABCD=4S△OAD解答即可；Ⅱ.当对角线在x轴上，过点A作AE⊥x轴于点E，求得△OAB的面积，再利用S▱ABCD=4S△OAB解答即可；
(2)延长MN交y轴于点E，连接OM，ON，过点O作OF⊥MN于点F，利用勾股定理求得线段MN，OM，ON的长度，通过求得直线MN的解析式得到点E坐标，利用三角形的面积公式列式求得OF的长度，进而得到OA的最大值为 37，最小值为275，最后利用矩形的性质得到BD的最大值与最小值，则结论可求．
本题主要考查了平行四边形，矩形的性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．