2023-2024学年河北省保定市定州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市定州市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算 (−2)2的结果为( )
A. 2B. −2C. 4D. ±2
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 9B. 12C. 12D. 10
3.下列计算结果正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 2 5=5 10
4.李晨想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成？( )
A. 2、3、4B. 3、4、5C. 4、5、6D. 1、1、2
5.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )
A. 17m
B. 18m
C. 25m
D. 26m
6.在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4B. 1：2：2：1C. 1：1：2：2D. 2：1：2：1
7.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B=65°，则∠DAE等于( )
A. 15°
B. 25°
C. 35°
D. 65°
8.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A. AB//DC
B. AC=BD
C. AC⊥BD
D. AB=DC
9.平行四边形ABCD的对角线交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(−1,2)，则C点的坐标为( )
A. (1,−2)B. (2,−1)C. (1,−3)D. (2,−3)
10.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为( )
A. 1米B. 2米C. 2米D. 4米
11.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M=1，则CN的长为
( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
12.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是( )
A. 40°B. 55°C. 75°D. 80°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若代数式 3x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14.在△ABC中，D、E分别为AB和AC中点，若BC=12，则DE的长为______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则BC的长为______．
16.计算：若a=3− 10，则代数式a2−6a−2=______．
17.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形.若点A的坐标是(8,15).则菱形的周长为______．
18.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.则EF的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)2 27+ 12；
(2)4 12× 48− 54+ 6．
20.(本小题8分)
《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？(1丈=10尺)
21.(本小题8分)
如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
22.(本小题8分)
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE，EF与对角线BD交于O.求证：O是BD的中点．
23.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是______．
24.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
(1)若∠DAG=20°，则∠DCG= ______°；
(2)求证：GC⊥CH．
25.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE/​/BC交AB于点E，DF/​/AB交BC于点F，连接EF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若AB=8，AD=4，求BF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： (−2)2= 4=2，
故选：A．
根据二次根式的性质化简，即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
2.【答案】D
【解析】解：A． 9=3，故 9不是最简二次根式，不符合题意；
B. 12=2 3，故 12不是最简二次根式，不符合题意；
C. 12= 22，故 12不是最简二次根式，不符合题意；
D. 10是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式= 3，所以B选项错误；
C、原式= 2×3= 6，所以C选项正确；
D、原式= 105，所以D选项错误．
故选：C．
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；利用分母有理化对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】B
【解析】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
欲求证是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形．
本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】
解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度= 132−52=12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17(m)．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选D．
根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=65°，
∴∠D=∠B=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−65°=25°．
故选：B．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得∠D=∠B=65°，又因为AE⊥CD，可得∠DAE=90°−65°=25°．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理(有一个角为直角的平行四边形是矩形).先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，由此推出AC⊥BD．
【解答】
解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF/​/AC/​/HG，EH/​/BD/​/FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°，四边形EFGH为矩形．
9.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD的对称中心在坐标原点，AD/​/x轴，
∴A、C关于原点对称，
∵A的坐标为(−1,2)，
∴C(1,−2)，
故选：A．
由题可知：A、C关于原点对称，根据原点对称性的性质，可知C(1,−2)．
本题考查了平行四边形的对称性，平行四边形为中心对称图形，解题的关键是明确关于原点对称的点的坐标特征．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】
解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB=AC=5米，CF=DE=3米，
由勾股定理可得AF2+CF2=AC2，
∴AF= AC2−CF2= 52−32=4(米)，
∴BF=AB−AF=5−4=1(米)，
∴此时木马上升的高度为1米．
故选A．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．
连接AC、BD，如图，利用菱形的性质得OC=12AC=3，OD=12BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B′M=1，从而有DN=1，于是计算CD−DN即可．
【解答】
解：连接AC、BD，如图，
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，
∴OC=12AC=3，OD=12BD=4，∠COD=90°，
在Rt△COD中，CD= 32+42=5，
∵AB/​/CD，
∴∠MBO=∠NDO，
在△OBM和△ODN中
∠MBO=∠NDOOB=OD∠BOM=∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴DN=BM，
∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，
∴BM=B′M=1，
∴DN=1，
∴CN=CD−DN=5−1=4．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．连接AC，由矩形性质可得AD/​/BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【解答】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，
∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD−∠BAC=90°−60°=30°，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．
∴∠BAE=90°−15°=75°，
故选C．
13.【答案】x≥13
【解析】解：由题意得：3x−1≥0，
解得：x≥13．
故答案为：x≥13．
根据二次根式 a(a≥0)可得：3x−1≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：D、E分别为AB和AC中点，BC=12，
∴DE=12BC=6，
故答案为：6．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】3 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，CD=AB=3，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∵OB=12BD，
∴BD=6，
∴BC= BD2−CD2=3 3．
故答案为：3 3．
根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，求出OA=OB，求出等边三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．
16.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式的应用．
先根据完全平方公式得出(a−3)2−11，再代入求出即可．
【解答】
解：∵a=3− 10，
∴a2−6a−2
=(a−3)2−11
=(3− 10−3)2−11
=10−11
=−1，
故答案为：−1．
17.【答案】68
【解析】解：如图所示，过A作AE⊥x轴于点E，
∵点A的坐标是(8,15)，
∴OE=8，AE=15，
∴AO= 82+152=17，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=OC=AB=BC=17，
∴菱形的周长=4AB=68．
故答案为：68．
如图所示，过A作AE⊥x轴于点E，利用勾股定理求出OA的长即可得到答案．
此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长．
18.【答案】4.8
【解析】解：如图，连接PA．
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP=EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵12AB⋅AC=12BC⋅AP，
∴AP=AB⋅ACBC=6×810=4.8，
∴线段EF的最小值为4.8；
故答案为：4.8．
先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．
本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)2 27+ 12
=2×3 3+2 3
=6 3+2 3
=8 3；
(2)4 12× 48− 54+ 6
=4× 12×48−3 6+ 6
=8 6−2 6
=6 6．
【解析】(1)根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；
(2)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(18−x)2，
解得：x=8，
答：原处还有8尺高的竹子．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺．利用勾股定理解题即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
21.【答案】证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】连接BD，交AC于点O.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：连接FB，DE．
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD//BC．
又AF=CE，
∴FD=AD−AF=BC−CE=BE，
∴FD//BE且FD=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BO=OD，即O是BD中点．
【解析】连接FB，DE.只要证明四边形BFDE是平行四边形即可；
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE/​/OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)4
【解析】(1)见答案
(2)由(1)知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：12AC⋅BD=12×4×2=4．
故答案是：4．
(1)欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
24.【答案】20
【解析】(1)解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
又DG=DG，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG=∠DCG，
∵∠DAG=20°，
∴∠DCG=20°，
故答案为：20；
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD/​/BE，
∴∠DAG=∠E，
又∠DAG=∠DCG，
∴∠E=∠DCG，
∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点，
∴CH=HE=12EF，
∴∠HCE=∠E，
∴∠DCG=∠HCE，
又∠FCH+∠HCE=90°，
∴∠FCH+∠DCG=90°，
即∠GCH=90°，
∴GC⊥CH．
(1)由ABCD为正方形，得到AD=DC，∠ADB=∠CDB，进而利用“SAS”得到全等，即可求出答案；
(2)由(1)得到的∠DAG=∠DCG，进而得出∠E=∠DCG，再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线，再判断出∠E=∠HCE，即可得出结论．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，判断出∠DAG=∠DCG是解本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵DE/​/BC，DF/​/AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE/​/BC，
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠ABD=∠EDB．
∴EB=ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
(2)解：∵ED/​/BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°．
设BF=x，
∴DE=BE=x．
∴AE=8−x．
在Rt△ADE中，AE2=DE2+AD2
∴(8−x)2=x2+42
解得x=3，
∴BF=3．
【解析】(1)易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB=ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；
(2)设BF=x，所以可得DE=BE=x，AE=8−x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2=DE2+AD2，求出x的值即可．
本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键．