河北省保定市定州市2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本

这是一份河北省保定市定州市2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年河北省保定市定州市八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1
2．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
3．分式可变形为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．下列代数运算正确的是（　　）
A．（x3）2=x5 B．（2x）2=2x2 C．（x+1）2=x2+1 D．x3•x2=x5
5．下列各式中能用平方差公式是（　　）
A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x）
6．已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（　　）
A．25 B．±25 C．5 D．±5
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BC=2 B．BD=1 C．AD=3 D．CD=2
8．已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中能作为第三边长的是（　　）
A．13 B．6 C．5 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
10．已知等腰三角形的顶角为140°，那么它一腰上的高与底边的夹角为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．70°
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（　　）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：ab3﹣a3b=　　．
14．如图，在△AOC与△BOC中，若∠1=∠2，加上条件　　则有△AOC≌△BOC．

15．已知：a+b=，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是　　．
16．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有　　条对角线．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若∠DBC=33°，∠A的度数为　　．

18．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是　　．

　
三、解答下列各题（本大题共8小题，共66分）
19．（1）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）；
（2）解方程：﹣=0．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣4．
21．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4； ②2x2+12x+4； ③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．

23．如图，已知A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1）
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于x轴的对称点C1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．

24．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

25．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
26．如图1，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度是1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，求证：∠CMQ=60°；
（2）当运动时间为多少时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q运动到终点B、C后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，求∠CMQ的度数．
　

2017-2018学年河北省保定市定州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
　
2．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 000 34=3.4×10﹣10；
故选C．
　
3．分式可变形为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：分式的分子分母都乘以﹣1，
得﹣，
故选：D．
　
4．下列代数运算正确的是（　　）
A．（x3）2=x5 B．（2x）2=2x2 C．（x+1）2=x2+1 D．x3•x2=x5
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法计算即可．
【解答】解：A、（x3）2=x6，错误；
B、（2x）2=4x2，错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，错误；
D、x3•x2=x5，正确；
故选D
　
5．下列各式中能用平方差公式是（　　）
A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x）
【考点】平方差公式．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，
故选B
　
6．已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（　　）
A．25 B．±25 C．5 D．±5
【考点】完全平方式．
【分析】直接利用完全平方公式求出m的值．
【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式，
∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25，
故m=25．
故选：A．
　
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BC=2 B．BD=1 C．AD=3 D．CD=2
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据垂线段最短的性质判断即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=2，
∵CD⊥AB，
∴CD＜AB，即CD＜2，
则CD=2错误，
故选：D．
　
8．已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中能作为第三边长的是（　　）
A．13 B．6 C．5 D．4
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：设这个三角形的第三边为x．
根据三角形的三边关系定理，得：9﹣4＜x＜9+4，
解得5＜x＜13．
故选：B．
　
9．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．
【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵点P（﹣1，2），
∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣1）=2，
∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为2，
∴点P′的横坐标为2+1=3，
∴对称点P′的坐标为（3，2）．
故选C．

　
10．已知等腰三角形的顶角为140°，那么它一腰上的高与底边的夹角为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】求出∠ACD、∠ACB，根据∠DCB=∠DCA+∠ACB即可解决问题．
【解答】解：如图，AB=AC，∠BAC=140°，CD⊥BA于D．

∵∠BAC=140°，
∴∠B=∠ACB=20°，∠DAC=180°﹣140°=40°，
∴∠DCA=90°﹣∠DAC=50°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=70°．
故选D．
　
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15，
解得DE=3．
故选A．

　
12．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（　　）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
【解答】解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，
∴PA平分∠BAC；

（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；

（3）∵AQ=PR，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ∥AR；

（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．

　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：ab3﹣a3b=　ab（b+a）（b﹣a）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式ab，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：原式=ab（b2﹣a2）=ab（b+a）（b﹣a）．
故答案是：ab（b+a）（b﹣a）．
　
14．如图，在△AOC与△BOC中，若∠1=∠2，加上条件　AO=BO　则有△AOC≌△BOC．

【考点】全等三角形的判定．
【分析】添加条件AO=BO，根据SAS推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如还可以添加条件∠A=∠B，∠ACO=∠BCO．
【解答】解：AO=BO，
理由是：
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
故答案为：AO=BO．
　
15．已知：a+b=，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是　2　．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．
【解答】解：（a﹣2）（b﹣2）
=ab﹣2（a+b）+4，
当a+b=，ab=1时，原式=1﹣2×+4=2．
故答案为：2．
　
16．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有　6　条对角线．
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180=1260，
解得；x=9，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9﹣3=6，
故答案为：6．
　
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若∠DBC=33°，∠A的度数为　38°　．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】设∠A的度数为x，根据线段的垂直平分线的性质得到AB=AC，用x表示出∠ABC、∠C的度数，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：设∠A的度数为x，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠A=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=33°+x，
∴33°+x+33°+x+x=180°，
解得x=38°．
故答案为：38°．
　
18．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是　2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解．
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP．
∴△ODC≌△POA．
∴AP=OC．
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案为：2．

　
三、解答下列各题（本大题共8小题，共66分）
19．（1）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）；
（2）解方程：﹣=0．
【考点】解分式方程；完全平方公式；平方差公式．
【分析】（1）原式利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2=5x2﹣2xy；
（2）去分母得：5（x﹣1）﹣（x+3）=0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
　
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣4．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先把括号内通分，再除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式=，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=﹣4时，原式==﹣．
　
21．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4； ②2x2+12x+4； ③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；整式的加减．
【分析】求①+②的和，可得4x2+16x，利用提公因式法，即可求得答案；
求①+③的和，可得4x2﹣4，先提取公因式4，再根据完全平方差进行二次分解；
求②+③的和，可得4x2+8x+4，先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：①+②得：2x2+4x﹣4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x（x+4）；
①+③得：2x2+4x﹣4+2x2﹣4x=4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1）；
②+③得：2x2+12x+4+2x2﹣4x=4x2+8x+4=4（x2+2x+1）=4（x+1）2．
　
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．

【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【解答】证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF．
　
23．如图，已知A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1）
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于x轴的对称点C1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．

【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点得到△A1B1C1各顶点的坐标，然后描出各点，然后顺次连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴与点P．
【解答】解：（1）如图1所示：

∵点C与点C1关于x轴对称，
∴C1（2，1）．
（2）如图2所示：

根据图形可知点P的坐标为（2，0）．
　
24．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
　
25．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设第一次所购水果的进货价是每千克多少元，由题意可列方程求解．
（2）求出两次的购进千克数，根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
【解答】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元，依题意，得
，
解得，x=5，经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次进货价为5元；

（2）第一次购进：500÷5=100千克，第二次购进：3×100=300千克，
获利：[100×（1﹣5%）×8﹣500]+[300×（1﹣2%）×8﹣1650]=962元．
答：第一次所购水果的进货价是每千克5元，该水果店售完这些水果可获利962元．
　
26．如图1，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度是1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，求证：∠CMQ=60°；
（2）当运动时间为多少时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q运动到终点B、C后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，求∠CMQ的度数．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）先证明△ABQ≌△CAP，从而得到∠BAQ=∠ACP，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6﹣t，①当∠PQB=90°时，②当∠BPQ=90°时，列方程得到结果；
（3）先证明△ACQ≌△CBP，从而得到∠CAQ=∠BCP然后依据∠CAM+∠ACM=∠BCP+∠ACM求解即可．
【解答】（1）证明：∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（2）解：设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6﹣t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6﹣t=2t，t=2；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（6﹣t），t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）解：∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，AC=BC
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°．