河北省保定市定州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 化简的结果是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
根据二次根式的的性质求解即可．
【详解】．
故选：B．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；利用分母有理化对D进行判断．
【详解】A．与不能合并，所以A选项错误；
B．原式，所以B选项错误；
C．原式，所以C选项正确；
D．原式，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4. 李晨想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成？（ ）
A 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 1，1，2
【答案】B
【解析】
【分析】判断是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形．
【详解】A、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、，能构成直角三角形，故此选项正确
C、，不能构成直角三角形，故此选项错误
D、，不能构成直角三角形，故此选项错误
故选：B
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
6. 在平行四边形中，的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质；
根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的值可以是，
故选：D．
7. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得，又因为，可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心．
8. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形．
【详解】解：如图所示，连，

∵、、、为四边形各中点，
∴，；，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
要使四边形为菱形，则，
而，
∴．
当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误；
当，能判断四边形为矩形，故C选项正确；
当，可判断四边形为菱形，故B选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
9. □ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴．若点A坐标为(-1，2)，则点C的坐标为（ ）
A. (1，-2)B. (2，-1)C. (1，-3)D. (2，-3)
【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形的对角线互相平分；根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据关于原点对称的图形的特点求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
又∵平行四边形ABCD的对角线交点在坐标原点，
∴A和C关于O对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，解题关键是熟练掌握性质》
10. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A. 1米B. 米
C. 2米D. 4米
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
则（米），
即木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理应用、线段的和差，熟练掌握勾股定理是解题关键．
11. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（ ）

A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】连接AC、BD，如图，利用菱形的性质得OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B'M=1，从而有DN=1，于是计算CD﹣DN即可．
【详解】解：连接AC、BD，如图，
∵点O为菱形ABCD对角线的交点，
∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，
在Rt△COD中，CD==5，
∵AB∥CD，
∴∠MBO=∠NDO，
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN，
∴DN=BM，
∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，
∴BM=B'M=1，
∴DN=1，
∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．
故选D．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．
12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A. 40°B. 55°C. 75°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，
∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．
∴∠BAE=90°-15°=75°，
故选C．
【点睛】本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于列出不等式即可求解．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用中位线的性质计算即可．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．
15. 如图，矩形中，，两条对角线、所夹的钝角为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．
根据矩形的性质推出，，，求出，求出等边三角形，推出，即可求出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
等边三角形，
，
，
，
∴．
故答案为：．
16. 计算：若，则代数式__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算．
将代入计算求解即可
【详解】当时，
．
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是．则菱形的周长为__________．
【答案】68
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出的长．
如图所示，过A作轴于点E，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过A作轴于点E，
∵点A的坐标是
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
故答案为：68．
18. 如图，在中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则EF的最小值为______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，；根据，，判定四边形是矩形，得；当时，有最小值，故最小；根据三角形的面积公式，求出，即的值．
【详解】解：连接
∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵当时，有最小值
∴最小
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，垂直线距离最短，矩形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握垂直线距离最短，矩形的判定，三角形的面积公式．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）
【答案】尺
【解析】
【分析】设原处还有尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：设折处离地还有尺高的竹子,
如图，在中，AC=x尺，
则AB=一丈八- AC =(18-x)尺
由勾股定理得，
所以，
解得：．
答：折处离地还有尺高的竹子．
【点睛】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．
21. 如图，已知、是对角线上的两点，并且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．连接交于，由平行四边形的性质得：，，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
22. 已知：如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，，与对角线交于点O．求证：O是的中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
通过证明四边形是平行四边形，可得，即可得结论．
【详解】证明：连接，．
，，
四边形是平行四边形，
．
又，
．
且，
四边形是平行四边形，
则，即是中点．
23. 如图，在菱形中，对角线与交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）菱形的面积为4．
【解析】
【分析】（1）本题考查了矩形的判定与性质，先通过，证明四边形是平行四边形，再证明．根据有一内角为90度的平行四边形是矩形即可完成证明；
（2）本题考查了菱形的性质．由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）知，平行四边形是矩形，则，．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积为：．
24. 如图，在正方形中，点E在的延长线上，分别交于F，G，点H为的中点．
（1）若，则＝ ；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质得到，由即可证明，即可得到答案；
（2）由正方形的性质得到，，则，得到是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质得到 ，利用角之间的关系进一步证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴，
∴，
故答案为：20
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴是直角三角形，
∵点H为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
25. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3
【解析】
【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；
（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．
【小问1详解】
证明：∵DEBC，DFAB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DEBC，
∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠ABD＝∠EDB．
∴EB＝ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
【小问2详解】
解：∵EDBF，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°．
设BF＝x，
∴DE＝BE＝x．
∴AE＝8﹣x．
在RtADE中，AE2＝DE2+AD2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴BF＝3．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键．