这是一份2024年中考数学复习讲义 第18讲 等腰三角形(含答案)，共122页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 等腰三角形的性质与判定
题型01 等腰三角形的定义
题型02 根据等边对等角求角度
题型03 利用等边对等角证明
题型04 根据三线合一求解
题型05 根据三线合一证明
题型06 格点图中画等腰三角形
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
题型08 根据等角对等边证明边相等
题型09 根据等角对等边求边长
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
题型11 等腰三角形性质与判定综合
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
题型15 等腰三角形有关的动点问题
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
考点二 等边三角形的性质与判定
题型01 利用等边三角形的性质求线段长
题型02 手拉手模型
题型03 等边三角形的判定
题型04 等边三角形与折叠问题
题型05 等边三角形有关的规律探究问题
题型06 等边三角形有关的新定义问题
题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
题型01 利用垂直平分线的性质求解
题型02 线段垂直平分线的判定
题型03 线段垂直平分线的实际应用
考点一 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b20）的图象上，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，利用等腰三角形的性质求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得AC=4，得到点A的坐标是3，4，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵OA=AB=5，OB=6，
∴OC=BC=3，
∴AC=52-32=4，
∴点A的坐标是3，4，
∵点A在反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象上，
∴k=3×4=12，
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．
【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，证明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，BN=CM，根据等腰三角形性质得出DM=CM=12CD=3，根据勾股定理求出AM=AD2-DM2=52-32=4，根据等腰三角形性质得出EN=CN=12EC，求出CE=2CN=8即可．
【详解】解：过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示：
则∠AMD=∠AMC=∠BNC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM=∠CBN，
∵AC=BC，∠AMC=∠BNC=90°，
∴△ACM≌△CBN，
∴AM=CN，BN=CM，
∵AD=AC，AM⊥CD，
∴DM=CM=12CD=3，
∴AM=AD2-DM2=52-32=4，
∴CN=AM=4，
∵BC=BE，BN⊥CE，
∴EN=CN=12EC，
∴CE=2CN=8，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明△ACM≌△CBN．
题型05 根据三线合一证明
【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，先由三线合一定理和切线的性质证明A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，进而得到点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点．
【详解】解：如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA=OE，
∴点O在线段AE的垂直平分线，
∴点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
故选C．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，三线合一定理，证明AD是⊙O的直径是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)②，证明见解析
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②∠BAC=∠DAC，首先根据平行四边形的性质得到∠DCA=∠BAC，然后利用等量代换得到∠DCA=∠DAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC⊥BD，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,OD=OB
∵点E，F分别是AO，CO的中点
∴OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC
∵∠BAC=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴AD=CD
∵AO=CO
∴AC⊥BD
∵四边形DEBF是平行四边形
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
【答案】(1)见解析
(2)22
【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质得到AD⊥BC，即可得证；
（2）连接OP，通过证明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性质得到PC与CE的长度，再进行线段和差即可求解．
【详解】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是圆O的切线；
（2）连接OP，
∵BC=4，
∴BD=DC=2，
∵BD为直径，
∴BO=OD=1，
∵EP为⊙O切线，
∴OP=1，
∵OC=3，
∴在 Rt△OPC中，OC2-OP2＝PC2，
∴PC=32-12=22，
∵∠ECD＝∠PCO，∠EDC＝∠OPC＝90°，
∴△DEC∽△POC，
∴ ECOC=DCPC，
∴ EC3=222，
∴ EC=322，
∴PE=PC-EC= 22-322 = 22．
【点拨】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．如果已知切线，连半径，得垂直；如果证明切线，则连半径，证垂直．
【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=42，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16-4π
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接OC，根据等腰三角形性质可得OC⊥AB，即可；
（2）先求出OC，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可．
【详解】解：选择的条件是①②，结论是③；理由如下：
如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）∵∠AOB=90°，OA=42，OA=OB，
∴AB=OA2+OB2=8，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，OC=12AB=4，
∴阴影部分的面积为
S△AOB-S扇形=12×42×42-90π×42360=16-4π．
【点拨】本题考查命题与定理，切线的判定，扇形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型06 格点图中画等腰三角形
【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于45°，构造出一个P点，再画出△P1MN的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意．
【详解】解：如图，在BC边上取点P1，使BP1=AN=2，连接NP1，MP1，
∴NB=AM=4，
∵∠MAN=∠NBP1=90°，
∴△MAN≌△NBP1SAS，
∴MN=NP1，∠AMN=∠BNP1，
∵∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠ANM+∠BNP1=90°，
∴△P1MN是等腰直角三角形，
∴∠MP1N=45°，
作△P1MN的外接圆交网格于P2、P3、P4、P5，
根据圆周角定理，得∠MP1N=∠MP2N=∠MP3N=∠MP4N=∠MP5N=45°，
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识．
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．
【详解】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
【点拨】本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．
【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1.图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1
(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A.B.C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D.E.F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰三角形DEF的底角的正切值为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，7
【分析】（1）根据腰长和面积求出腰上的高，即可画图；
（2）根据勾股定理求解可画出三角形，过点E作EG⊥DF交DF于点G，由勾股定理求得DF=22，根据等腰三角形的性质可得DG=FG=12DF=2，求得EG=72，即可求得底角的正切值．
【详解】（1）解：该等腰三角形腰上的高为：10×2÷5=4，
AB=32+42=5，如图所示
（2）如图，DE=EF=62+82=10，
过点E作EG⊥DF交DF于点G，
DF=22+22=22，根据等腰三角形的性质可得DG=FG=12DF=2，
EG=102-22=72，
∴tan∠EDG=EGDG=722=7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了勾股定理，网格内作三角形，等腰三角形的性质和正切值的计算，结合勾股定理作出三角形是解题的关键．
【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找到格点C,D，根据AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）AB,AE分别为两个小菱形的对角线，即可求解；
（3）作菱形ABMN对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，AD=BC=2，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
（2）解：如图所示，AB,AE分别为两个小菱形的对角线，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，
（3）解：如图所示，
∵AB,AN,MN,BM分别等于两个菱形的对角线长，
∴四边形ABMN是菱形，
对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF
∴△ABF是直角三角形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的定义，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．
(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE:S△EDC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质可得∠CBE=∠BED，由角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，即∠DBE=∠BED，即可解答；
（2）由已知条件可得DEBC=23，再说明△ADE∼△ABC可得AEAC=DEBC=23,即AE=2EC；如图：过D作DG⊥AC，则S△ADE=12AE⋅DG,S△EDC=12EC⋅DG，然后代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵ED∥BC，
∴∠CBE=∠BED,
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBE,
∴∠DBE=∠BED
∴BD=DE．
（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，
∴DEBC=23，
∵ED∥BC，
∴△ADE∼△ABC
∴AEAC=DEBC=23,即AE=2EC
如图：过D作DG⊥AC
∴S△ADE=12AE⋅DG,S△EDC=12EC⋅DG,
∴S△ADE:S△EDC=AE:EC=2EC:EC=2:1．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．
(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)△BDE是等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD，作∠ADE=∠C．
（2）利用平行线的性质与判定证明∠BDE=∠DBC，结合角平分线的定义可得△BDE两个内角相等，进而得△BDE是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图所示，BD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠C．
（2）解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵ ∠ADE=∠C，
∴ DE∥BC，
∴ ∠BDE=∠DBC，
又∵ ∠DBC=∠DBE，
∴ ∠BDE=∠DBE，
∴ DE=BE，
∴ △BDE是等腰三角形．
【点拨】本题考查了用尺规作角平分线，用尺规作相等的角，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若AD=OD，AE=258，BC=6，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）6516
【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到∠AED=∠PCA，然后根据对顶角相等得到∠AED=∠PEC，根据等角对等边即可证明；
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在Rt△OEF中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵PD⊥AB，
∴∠DAE+∠AED=90°．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA+∠OCA=90°．
∵OA=OC，
∴∠DAE=∠OCA．
∴∠AED=∠PCA，
∵∠AED=∠PEC，
∴∠PCA=∠PEC．
∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，
可得OF=12BC=3，OE=AE=258，
∴EF=OE2-OF2=78．
∴AF=4，AC=8．
∴AB=10，⊙O的半径为5．
∴CE=AC-AE=398．
∵∠PCE=∠PEC=∠AED=∠B
又∵∠PGC=∠ACB
∴△PCG∼△ABC
∴PCCG=ABBC．
∵
∴PC=CG·ABBC=6516．
故答案为6516．
【点拨】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
题型08 根据等角对等边证明边相等
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出DF=AD=9的长即可由FC=DF-CD得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=9，
∴FC=DF-CD=9-3=3，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出∠DAF=∠F是解题的关键．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC的值为 ．
【答案】5
【分析】过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，证明△ABD∼△CBA，进而即可得到答案．
【详解】解：过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，则∠1=∠2=12∠BAC，
∵∠BAC=2∠C，即∠C=12∠BAC，
∴∠1=∠2=∠C，
∴AD=CD，∠3=∠2+∠C=2∠C，
∴∠3=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∼△CBA，
∴ABCB=BDBA=ADCA，
∵AB=4，BC=6，
∴BD=83，
∴CD=6-83=103，
∴46=103CA，
∴AC=5，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，添加辅助线构造相似三角形是关键．
【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．
(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE；
（2）∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
【答案】(1)见解析
(2)150°
【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用BF平分∠ABC推导∠2=∠FBC，从而得到∠F=∠FED，从而得证；
（2）根据AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再结合∠F=∠FED利用三角形内角和为180°推出∠FED=180°-∠EDF2=30°，从而得到∠1=180°-∠FED=150°.
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FED=∠FBC．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠F．
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠FBC，
∴∠F=∠FED，
∴DE=FD．
（2）∠1=150°，
求解过程如下：
∵∠C=120°，AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=120°，
又∵∠F=∠FED，
∴∠FED=180°-∠EDF2=30°，
∴∠1=180°-∠FED=150°．
【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的相关计算，等角对等边，三角形内角和等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型09 根据等角对等边求边长
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ）
A．22-2B．116C．2D．5
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=12×90°=45°，求出∠ABF=90°-22.5°=67.5°，∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，得出∠ABF=∠AFB，根据等腰三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=12×90°=45°，
∵∠CBF=22.5°，
∴∠ABF=90°-22.5°=67.5°，
∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=2，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出∠ABF=∠AFB．
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（ ）
A．4B．23C．2D．22
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF=DE=2，再由等角对等边得出DF=BF=2，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵∠B=45°，
∴∠BDF=∠B=45°，
∴DF=BF=2
∴BD=BF2+DF2=22，
故选：D．
【点拨】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意可得：CP是∠BCD的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出BF=BC=8，再根据线段的和差即可得出答案.
【详解】解：由题意可得：CP是∠BCD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵▱ABCD，AB=6，BC=8，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠FCD，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC=8，
∴AF=BF-AB=8-6=2；
故选：B.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质、得出BF=BC是解题的关键.
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF为腰，E为顶角顶点时，②当EF为腰，F为顶角顶点时，③当EF为底，P为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，CF=1，点E是AD的中点，
∴EF=32=18>4．
∴△PEF是等腰三角形，存在三种情况：
①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，在AB上存在一个点P，共3个，使△PEF是等腰三角形；
②当EF为腰，F为顶角顶点时，
∵180的图象过点An,2和B85,2n-3两点．
(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC=6，求C点的坐标；
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)n和k的值分别为4，8；
(2)C(2,4)，
(3)点F(-9,6)或(-3,9)。
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点C(m,8m)，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC的面积解出点C坐标；
（3）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：∵函数y=kxx>0的图像过点An,2和B85,2n-3两点，
∴2n=k85(2n-3)=k，
解得n=4k=8，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：∵n=4,k=8，
∴A(4,2),B(85,5)，
设直线OA的解析式为：y=mx，
把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得m= 12，
∴直线OA的解析式为：y=12x，
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，
设C(m,8m)(m>0)，
∴H(m,12m)，
∴SΔAOC=12CH⋅xA=6，
∴12(8m-12m)×4=6，
∴m=2或m=8（不符合题意舍去）
∴C(2,4)，
（3）解：∵DE∥OA，直线OA的解析式为：y=12x，
∴设直线DE的解析式为：y=12x+b，
∵点C(2,4)在直线DE上，，
∴4=12×2+b，即b=3，
∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
当x=0时，y=3，
∴E0,3，OE=3
当y=0时，x=-6，
∴D-6,0，OD=6
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图，过F1做FK⊥x轴于点K，可知：∠F1KD=∠DOE=90°，
∵∠F1DE=90°，
∴∠F1DK+∠EDO=90°，
又∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠F1DK=∠DEO，又DF1=DE，
∴△F1KD≌△DOE，
∴F1K=DO=6,KD=OE=3，
故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F1坐标，
∵D(-6,0)，且F在第二象限，
∴F1(-6-3,0+6)即F1(-9,6)；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2(-3,9)．
综上所述：点F(-9,6)或
【点拨】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，AD=1003,CD=1213,sinD=35,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）14443
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得AE=AD=CE，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，先证AE=EC，∠D=∠AED，推出AE=AD，再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；
（2）过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，证明四边形AEBD是平行四边形，推出AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，在BC上截取BF=BE，同（1）可证BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，先通过导角证明∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得EF=BC+CF．再利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形，求出△EAD，△EBC的底和高，根据四边形ABCD的面积=S△EAD-S△EBC即可求解．
【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：
如图，
∵ BE=BD，AB⊥CD，
∴ AB是线段DE的垂直平分线，
∴ AE=AD，
∴ ∠D=∠AED，
∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C，
又∵ ∠AED=∠C+∠CAE，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ CE=AE，
∴ CE=AD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
选择小亮同学的解题思路，证明如下：
如图，
∵ EF是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=EC，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ ∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
又∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠D=∠AED，
∴ AE=AD，
∴ CE=AD．
∵ AE=AD，AB⊥CD，
∴ BE=BD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
（2）证明如下：
如图，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，在BC上截取BF=BE，连接AF，
∵ AE∥DB，AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴ AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，
∵ ∠ADB=2∠C，
∴ ∠E=2∠C，
∵ ∠ABC=90°，
∴ AB⊥FE，
又∵ BE=BF，
∴ AB是线段EF的垂直平分线，
∴ AE=AF，
∴ ∠E=∠AFE，
∵ ∠E=2∠C，
∴ ∠AFE=2∠C，
又∵ ∠AFE=∠C+∠CAF，
∴ ∠C=∠CAF，
∴ CF=AF，
∴ CF=AE，
∴ BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）如图，延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，
∵ ∠BCD=∠BAD，∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+∠D=180°，
∴ ∠BCE=∠E+∠D，
∵ ∠ABC=∠E+∠BCE，
∴ ∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D，
∵ ∠ABC=3∠ADC，
∴ 3∠D=2∠E+∠D，
∴ ∠D=∠E，
∴ ∠BCE=∠E+∠D=2∠E，
又∵ BF⊥DE，
同（1）可证EF=BC+CF．
∵ AD=1003，sinD=35，AH⊥DE，
∴ AH=AD⋅sinD=1003×35=20，
∴ HD=AD2-AH2=10032-202=803，
∵ ∠D=∠E，
∴ AD=AE，
又∵ AH⊥DE，
∴ HE=HD，
∴ DE=2HD=1603，
∵ CD=1213，
∴ EC=DE-CD=160-1213=13，
设EF=x，则CF=EC-EF=13-x，
∵ EF=BC+CF，
∴ BC=EF-CF=x-13-x=2x-13，
∴ BF2=BC2-CF2=2x-132-13-x2=3x2-26x，
∵ sinD=35，∠D=∠E，
∴ tanE=tanD=34，
∴ BF=EF⋅tanE=34x，
∴ 34x2=3x2-26x，
解得x1=323，x2=0（舍），
∴ BF=34×323=8，
∴四边形ABCD的面积=S△EAD-S△EBC=12DE⋅AH-12EC⋅BF=12×1603×20-12×13×8=14443．
【点拨】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前两问的结论．
【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角090°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠ADO=90°时，即2∠OAD+∠B=90°，
又∵∠B+∠C=90°，
∴∠OAC=∠C=2∠OAD，
设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，
∴∠ADO=3x，
即5x=90°，
∴x=18°，
即∠C=36°，
如图2，∵∠ADC为钝角，
∴∠OAD+2∠AOD=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠AOD=90°时，即∠OAD+∠B=90°，
∵∠OAD+∠B=90°，
∴∠OAD=∠C=∠OAC，
设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，
即4x=90°，
∴x=22.5°，
即∠C=22.5°，
综合以上可得∠C为36°或22.5°；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，
∵ S△ABC=12BC⋅AF，S△ADE=S△ADC-S△CDE=12CD⋅(AF-DE)，
∴ xx+2⋅1x+1=17.5，
解得x1=4，x2=12，经检验都是原方程的解；
当x=4时，BC=6，AD= 6，
∴ ADBC=66，
当x=12时，BC=2.5，AD= 102，
∴ ADBC=105．
综合以上得出ADBC的值为66或105．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键．
题型15 等腰三角形有关的动点问题
【例15】（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC=5，则△AED周长最小值是 ．
【答案】5+52/52+5
【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【详解】∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，
∴AE=CD,BE=BD,∠DBE=90°,
∴AE+AD=AD+CD=AC,△DBE是等腰直角三角形，
∴当BD取最小值时，DE的值最小，则△AED周长的值最小，当BD⊥AC时, BD的值最小,
∴DE=2BD，
∵△ABC是等腰直角三角形,BC=5,
∴DE=5,
∴AC=2BC=52，
∴BD=12AC=522，
∴△AED周长最小值是AC+DE=5+52,
故答案为： 5+52.
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.
【变式15-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点（不于B、C重合），连接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延长线于F，下列结论：①BE=DE；②△DEF为等腰三角形；③AE=CF；④CE
