辽宁省锦州市凌海市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间90分钟，试卷总分100分
※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
第一部分 选择题（共20分）
一．选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分．）
1. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 如果，那么下列各式中正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，基本性质一：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；基本性质二：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；基本性质三：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的基本性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，，故原选项错误，不符合题意；
B、，，故原选项错误，不符合题意；
C、，，故原选项正确，符合题意；
D、，，故原选项错误，不符合题意；
故选：C．
3. 如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，得到，求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴；
故选B．
4. 如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D、E，若，则线段的长为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平行结合角平分线推出，即可得出结果．
详解】解：∵和分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
5. 已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反证法，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立，理解反证法的一般步骤是解此题的关键．
【详解】解：已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设，由等角对等边得出，这与已知矛盾，故，
故选：C．
6. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出一元一次不等式组的解，然后在数轴上表示出来，即可．
【详解】∵，
∴，
∴不等式组的解为；-1＜x≤1，
在数轴上表示如下：
．
故选B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键．
7. 已知函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为，由题意得出随的增大而增大，从而得出，求解即可．
【详解】解：函数的图象上两点、，当时，有，
随的增大而增大，
，
解得：，
故选：B．
8. 若一等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则等腰三角形的顶角为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形，分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，分别画出图形，利用含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，当为锐角三角形时，
，
由题意得：，，
；
如图，当为钝角三角形时，
，
由题意得：，，
，
；
综上所述，等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
9. 已知，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【详解】∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
10. 如图，点是等边内一点，，，．则与的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定了逆定理、勾股定理，将绕点顺时针旋转得到，连接，则是等边三角形，得到，作于，则，，由勾股定理逆定理得出，从而得出与的面积之和，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
是等边三角形，
，
作于，则，
，
，
，
与的面积之和，
故选：B．
第二部分 非选择题（80分）
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 用不等式表示：与2024的差不大于10．__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，与2024的差表示为，不大于10表示为，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
12. 如图，ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，AB=12cm，则DEB的周长为_______cm．
【答案】12
【解析】
【分析】由题目的已知条件应用AAS易证△CAD≌△EAD．得到DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，则周长可利用对应边相等代换求解．
【详解】∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED．
又∵AD=AD，
在△CAD和△EAD中
∴△CAD≌△EAD，
∴AC=AE，CD=DE．
∵AC=BC，
∴BC=AE．
∴△DEB的周长为DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=12cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．将△DEB的周长转化为AE+BE是解题的关键.
13. 在中，，，，则的面积为_______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可以画出相应的图形，然后根据勾股定理，可以求得的长，从而可以求得的长，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
即的长为2或4，
所以或，
故答案为：或．
14. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由一次函数图象确定不等式的解集，由图象得出的横坐标为，函数在函数的下方时的取值范围为，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：函数和的图象交点为，的横坐标为，
不等式解集为，
故答案为：．
15. 不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，长方形中，，E是线段上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点H作，垂足为M．若，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题关键．过点作交于，交于，由题意可知，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理，求得，设，再利用勾股定理列方程求解，即可得到的长．
【详解】解：如图，过点作交于，交于，

，，
，，
长方形，
，，，
，，
，，，
由折叠的性质可知，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
故答案为：
三、解答题（本大题共2个题，17题12分，18题8分，共20分）
17. 解不等式（组）并将解集在数轴上表示出来
（1）；
（2）．
【答案】（1），数轴上表示见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先移项、再合并同类项、最后化系数为1即可得解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【小问1详解】
解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集在数轴上表示出来如图所示：
；
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图所示：
．
18. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求长．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答．
（2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，求出，再利用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵的周长为，，
∴，，即，
∴，
∴在直角中，由勾股定理得，．
四、作图题（19题6分，20题6分，共12分）
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．把绕点A按逆时针方向旋转后的图形，之后再向下平移3个单位作出
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移和旋转作图，先根据旋转作出点B、C的对应点，，然后顺次连接即可得出；先根据平移作出平移后的对应点、，，然后顺次连接即可得出．
【详解】解：如图，为所求作的旋转图形，为所求作的平移图形．
20. 尺规作图，已知直线l及其两侧两点A，B如图：

在直线上求做一点Q，使直线l平分，保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图，作垂线，作线段，角平分线，垂直平分线的性质，过点B作直线l的垂线m交直线l于点E，延长到点C，截取，连接并延长交直线l于点Q，连接，则直线l平分．
【详解】解：过点B作直线l的垂线m交直线l于点E，延长到点C，截取，连接并延长交直线l于点Q，连接，则直线l平分．
如图，点Q即为所求

五、解答题（本大题共2个题，21题6分，22题6分，共12分）
21. 已知关于的方程组的解都是正数 ，求：满足条件的的整数值．
【答案】，，
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，利用加减消元法得出，，由题意得出 且，解不等式组即可得出答案．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
由解都是正数可得： 且，
解得：，
所以，满足条件的的整数值为，，．
22. 已知：如图，D是边的中点，，且．
求证：是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定，熟练掌握“HL”判定方法是关键．
用“HL” 判定方法判定，得到，通过等腰三角形性质和判定得即可求证是等腰三角形．
【详解】证明：是的边的中点，
，
，，
和直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
是等腰三角形．
六、解答题（本大题共2个题，23题8分，24题10分，共18分）
23. 2024年元旦，锦州市某校勤工俭学小组为筹集春节文艺汇演费用，他们用300元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如表所示：
（1）则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱可用于汇演费用？
（2）如果批发的西红柿和豆角共，所赚到的钱不少于100元，那么最多批发西红柿多少千克？
【答案】（1）75元 （2）最多批发西红柿
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设他们从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角，根据“他们用300元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖”列出二元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设批发市场批发了西红柿，则豆角为，根据“所赚到的钱不少于100元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设他们从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角，
则根据题意可得：，
解得：，
则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到（元）；
【小问2详解】
解：设批发市场批发了西红柿，则豆角为，
则根据题意可得：，
解得：，
所以最多批发西红柿．
24. 问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形．
问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明．
方法运用：如图②，点B是的中点，于点B．请判断线段与之间的大小关系，并说明理由．

【答案】问题解决：证明见解析；方法运用：，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）延长到F，使，连接，由E是的中点，得到，再证明，进而可求证；
（2）延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，得到，利用三角形的三边关系即可得到答案．
【详解】解：问题解决：延长到F，使，连接，如图：

∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
方法运用：
结论：，理由如下：
延长到，使，连接，如图：

∵点B是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中，，
即．
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/）
6
7
零售价（单位：元/）
7
9