2024年新疆乌鲁木齐市第十三中学等中考二模考试数学试题（原卷版+解析版）

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A. +8B. -8C. ±8D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可．
【详解】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负，
所以运出面粉8吨应记为-8吨，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，根据互为相反意义的量，确定运出的符号，是解决本题的关键．
2. 月球与地球的平均距离约为384000000米，数据384000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
3. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次根据合并同类项，同底数幂的乘法（ ），单项式乘单项式，幂的乘方公式（）对各选项判断即可．
【详解】A．与不是同类项不能合并，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的相关计算和单项式乘单项式．解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及单项式乘单项式的运算法则．
4. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，的面积为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由基本作图得到平分，
∴点E到和的距离相等，
∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为3，
∴．
故选：C．
6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7 如图，已知函数图象与轴只有三个交点，分别是，，．
①当时，或；
②当时，有最小值，没有最大值；
③当时，随的增大而增大；
④若点，在函数图象上，则的值只有3个．
上述四个结论中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解答本题的关键．
根据函数图象结合选项进行解答即可．
【详解】解：根据函数图象可知：
①当时，指的是图象在x轴下方时对应点的横坐标的取值范围，
∴或，正确；
②当时，图象有最低点，且向上无限延伸，
∴有最小值，没有最大值，正确；
③当时，图象先下降，再上升
∴随的增大而增大，错误；
④根据点可得点P在直线上，画出直线，得到直线与原函数图象有3个交点，
∴的值有3个，故④正确．
故上述四个结论中正确的有3个．
故选：C．
8. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ）
A. B. C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为；
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
9. 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】①先求出抛物线与轴的另一个点的坐标，根据图像即可判断；
②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断；
③利用割补法用表示出面积，再求出的值，即可判断；
④过点、分别作轴、轴的平行线交于点，连接、、，运用分类讨论思想，求出的值，再将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点，作轴于点，推出当点、、、共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出，的值，进而求出，并与比较，即可判断．
【详解】①抛物线经过点，顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
抛物线的开口向上，
当时，，
故①正确；
②方程 可变形为方程，
因此有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点，
画出函数图象如下：
故②正确；
③将，代入，
得，
解得：，
，
抛物线的顶点为，
设抛物线对称轴交轴于，如图，
则，
，,，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
④如图，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，连接、、，
则四边形是矩形，
，
，，，
，，，，，，
为直角三角形，
有三种情况：或或，
显然，
只能或，
若，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
，
，
；
若，则，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
点B在与之间（不含端点），
，
解得，
，
，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点，作轴于点，
，，，
和是等边三角形，
，
，
当点O、P、、共线时，值最小，最小值为，
此时，
设，
则，，，，
在中，
由勾股定理，得，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故④错误；
综上，正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．
10. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法先提取公因式，然后利用公式因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 如图，正六边形内接于，则的度数为______．

【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，连接，由多边形是正六边形可求出的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键．
【详解】解：如图，连接，

∵多边形是正多边形，
，
，
故答案为：．
12. 已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由题意得：圆锥的母线长为，
∴圆锥的高为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积及高的求法，熟练掌握圆锥的侧面积及高的求法是解题的关键．
13. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查代数式求值，数字类规律探究，解题的关键是找到规律．首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可．
【详解】解：依题意，第3次输出的结果为：，
第4次输出的结果为：，
第5次输出的结果为：，
第6次输出的结果为：，
第7次输出的结果为：，
第8次输出的结果为：，
，
∴从4次开始，每次输出的结果都是、、、3、，
∴第2025次输出的结果为3．
故答案为：3．
14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 是等边三角形是解题的关键．先求得是等边三角形，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值．
【详解】解：∵轴,
，
，
，
，
，
是等边三角形，
如图，过点作轴于点，
，
∴，
∴，
∴，
，
∵双曲线 经过点，
，
故答案为：
15. 如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．
【详解】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，
∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN=PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC==5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4，
解得r=1，
∴ME=MN=1，
∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4，
∴MB′=5，
∴PB′+PN=5-1=4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程．
16. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算及解分式方程，
（1）利用绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂及零指数幂计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为：．
17 解不等式组：，并写出最小整数解．
【答案】，不等式组的最小整数解为2．
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整数解即可．
详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最小整数解为2．
18. 如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.
(1)求证：△ABF≌△DEC；
(2)求证：四边形BCEF是矩形.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)首先根据AB∥DE得到∠A＝∠D，然后利用SAS定理判定全等即可；
(2)首先判定四边形BCEF为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.
【详解】证明：(1)∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝FD，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC(SAS)；
(2)∵△ABF≌△DEC，
∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∴四边形BCEF平行四边形，
∵∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
19. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下：
男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．
男、女生被抽取的竞赛成绩统计表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀有多少人？
【答案】（1）
（2）女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异，理由见解析
（3）该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得女生各组的人数，即可求出中位数和优秀率，根据众数的定义即可求出男生的众数；
（2）根据众数的比较，即可得出结论；
（3）根据男生、女生的优秀率均为40%，列式求解即可．
【小问1详解】
女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组有8个，占总数的，
A、B、E组各有个
则D组占总数的，即个
女生成绩的中间两个数都在C组，为76，76，
中位数为76，即；
女生被抽取的学生竞赛成绩中，大于等于80分的有D、E两个组的人数，共8个，
优秀率，即；
男生被抽取的学生竞赛成绩中，出现次数最多的是86，
众数为86，即；
故答案为：；
【小问2详解】
女生的众数高于男生的众数，
女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异；
【小问3详解】
人，
所以，该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人．
【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图，涉及中位数、众数、优秀率及用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
20. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）

【答案】
【解析】
【分析】延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．
【详解】解：延长，交的延长线于点C，
则

由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
21. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．

（1）求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式；
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
【答案】（1）
（2）甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元
【解析】
【分析】本题考查二次函数、一次函数的实际应用：
（1）根据函数图象分段求解，时为一次函数，利用待定系数法；时，；
（2）分段求出W与x的函数关系式，利用二次函数、一次函数的性质求出最值，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：当时，设，
由图象经过点和可得：，
解得；
∴；
当时，；
∴；
【小问2详解】
解：①当时，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时，W取最小值42000元；
②当时，，
∴当时，W取最小值为（元）；
∵，
∴甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元．
22. 如图，在中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）设与交于点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：设与交于点，连接，，如图，
为的直径，
，
，
四边形为矩形．
．
在中，
，，
．
设，则．
，
，
解得：，
，．
．
，，
．
，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
23. （1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论；
③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；
（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，

作于点M，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
性别
男生
女生
平均数
76
76
中位数
76
众数
87
优秀率
40%