新疆乌鲁木齐市新市区2023-2024学年九年级下学期摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷选择题（27分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【详解】解：的相反数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续 引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
4. 如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角平分线性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
【详解】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B. 对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C. 甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定
D. 有一种刮刮乐的中奖概率是，则买1000张一定会有一次中奖
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义，熟练掌握这些定义是关键，分别根据扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义判断即可．
【详解】解：A．折线统计图能够清楚地反映事物的变化趋势，故不符合题意；
B．对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，故不符合题意；
C．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定，故符合题意；
D．有一种刮刮乐的中奖概率是，则买1000张不一定会有一次中奖，故不符合题意；
故选：C．
6. 在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
详解】由作图可知，垂直平分线段，
∴，，，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
7. 扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）

A.
B
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为
∵种花区域矩形空地面积
∴剩下区域矩形空地面积，
∴
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键．
8. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论；①；②；③；④当时，．正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1,0，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵时，，
∴，
∴，即，故③错误；
由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②④共3个，
故选C．
9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】解：∵矩形的边，，
∴，，，
由题意知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，即，
连接，设与交于点F，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
第Ⅱ卷非选择题（73分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10. 若二次根式有意义，则的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
11. 不等式组的整数解为 __．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组解集为，
不等式组的整数解为2．
故答案为：2．
12. 一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是______元．
【答案】
【解析】
【分析】设这件衣服的进价元，标价为，根据题意可得等量关系：标价八折进价利润，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：
，
解得：，
即：这件衣服的进价元．
故答案：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
13. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则__________．

【答案】寸
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；
连接，根据垂径定理，由可求出的长，设的半径为x，则，表示出，在中，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：连接，

∵寸，
∴寸，
设的半径为x，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∴寸，
故答案为：寸．
14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上，，的面积为12，则__．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点坐标以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，依据题意，过点作轴，结合的面积得出，进而可得的值．
【详解】解：由题意，过点作轴，

，
为等腰三角形，
，
，
又该反比例函数图象在第二、四象限，即，
．
故答案为：．
15. 如图，四边形中，，，若四边形的面积是64，则的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答先根据四边形内角和定理判断出，再延长至点，使，连接，由全等三角形的判定定理得出，故可得出是直角三角形，再根据四边形的面积为即可得出结论．
【详解】解：延长至点，使，连接，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形的面积为，
，
解得或（不合题意，舍去），
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
17. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当，0，1时原分式无意义，
，
当时，原式．
18. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

（1）求证：；
（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可．
【小问1详解】
证明：∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：

根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，即，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．
19. 某班级上学期学习了《二次函数》，开学后为了解学生的掌握情况，对全班学生进行测试，并将成绩（单位：分）分为如下5组；；；；进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题；
（1）全班共有 ______名学生，补全频数分布图；
（2）成绩在组：的分数是：70、71、72、72、74、77、78、78、78、79、79、79，在这次测试中，全班同学成绩的中位数是_____分．
（3）组中有4名女生（甲、乙、丙、丁）和2名男生，老师准备从组的女生中抽取两名同学成为讲试卷的“小老师”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）50，见解析
（2）78.5 （3）
【解析】
【分析】（1）用组的频数除以扇形统计图中的百分比，可得全班的学生总人数；用全班的学生总人数分别减去，，，组的频数，可求出组的频数，补全频数分布图即可．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲和乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：（名），
全班共有50名学生．
故答案为：50．
组的频数为．
补全频数分布图如图所示．
【小问2详解】
解：将50名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26个的成绩为78，79，
在这次测试中，全班同学成绩的中位数是（分）．
故答案为：78.5．
【小问3详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲和乙两名同学的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数的定义是解答本题的关键．
20. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元与其种植面积（单位：的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．
（1）当为多少时，是35元；
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
【答案】（1）当为时，是35元
（2）当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值；
（1）先求出当时，与的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可；
（2）分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题．
【小问1详解】
解：当时，设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，，
解得，
即当为时，是35元；
【小问2详解】
解：由题意可得，
当时，，
当时，取得最小值42000，此时；
当时，，
当时，取得最小值43000，此时；
，
当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小．
21. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S阴影＝2﹣ π．
【解析】
【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，
由勾股定理得：CD＝
∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ．
【点睛】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．
22. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
小问3详解】
解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）