2024年江苏省淮安市淮阴区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解
【详解】解：的相反数是3
故选B
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 预计到2025年底，中国5G用户将超过560000000户，将560000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将560000000用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 下列计算中，正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的性质．根据同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 下面几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面可看到第一行有三个正方形，
第二行中间有1个正方形．
故选：B．
5. 已知直线ab，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A. 10°B. 12°C. 18°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质结合已知条件，求得∠4＝48°，根据等边三角的性质，根据∠1＝60°﹣∠4即可求解．
【详解】解：如下图，
∵∠2＝132°，ab，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ）

A. 1：2B. 1：4C. 1：9D. 4：9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到和的相似比是解题的关键．
根据位似的性质得到，相似比为,再根据相似三角形的性质得和的面积之比即为相似比的平方．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，
，
，
故选：C．
7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8. 点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点在抛物线上，
，
解得：或，
或，
将抛物线进行平移得抛物线，
平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
的对应点为的坐标为或，
点移动的最短路程为，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
10. 因式分解：___．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式m即可：．
【详解】．
故答案为．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式，提公因式后确定另一个因式，是解决此类问题的关键．
11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：1．
12. 一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解：圆锥的侧面积；
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式．
13. 如图，已知内接于，是的直径，若，则________．
【答案】29
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理．根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：29．
14. 如图，在中，，是的高，是的中点，若，则的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质．根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：，是的高，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：3．
15. 如图，边长为4的正方形的顶点、在轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过顶点和边上的中点，则的值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，正方形的性质．根据题意，设，则，由反比例函数系数，即可得到，解得，从而求得．
【详解】解：根据题意，设，则，
反比例函数在第一象限的图象经过顶点和边上的中点，
，
解得，
．
故答案为：16．
16. 如图，正方形的边长为7，以点B为圆心为半径画弧，点E在弧上，在线段上取一点F，使得，连接，则的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．由题意得点F在以点B为圆心，为半径的圆上，证明，得到，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：由题意得点F在以点B为圆心，为半径的圆上，设此圆与交于点，

∵，，，
∴，
∴，则，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
此时，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
19. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
20. 为了解中学生的视力情况，卫健部门决定随机抽取部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
初中学生视力情况统计表
（1） _；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ___________；
（3）分析处理：
①初中生的视力水平与高中生的相比，哪个更好？请作出判断并说明理由；
②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良．
【答案】（1）68 （2）320
（3）①初中生的视力水平比高中生的好，理由见解答；②14300
【解析】
【分析】本题考查了频率与频数，样本容量，利用中位数做决策，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）用初中生抽查总人数乘以视力为的人数占比，即可求出 的值；
（2）将被调查的高中学生视力每部分人数相加，即可得到样本容量；
（3）①分别找出初中生和高中生视力的中位数，比较分析即可；②用该区初高中生总人数乘以样本中视力不良学生的占比，即可得到答案．
小问1详解】
解：由题意得，，
故答案为：68；
【小问2详解】
解：被调查的高中学生视力情况的样本容量为，
故答案为：320；
【小问3详解】
解：①初中生的视力水平比高中生的好，理由如下：
初中生调查人数为200人，
初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
高中生调查人数为320人，
高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
，
初中学生的视力水平比高中学生的好，小胡的说法正确；
②（名），
答：估计该区有14300名中学生视力不良．
21. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，由对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，从而可证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得是解题的关键．
22. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，该函数关系是_____函数关系（请选填“一次、二次、反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数表达式；
（3）当加热到115s时，油沸腾了，请推算该食用油沸点的温度．
【答案】（1）一次 （2）；
（3）该油的沸点温度是．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键．
（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答；
（2）直接利用待定系数法即可求解；
（3）将代入（2）求得的函数解析式中即可求解．
【小问1详解】
解：根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故锅中油温与加热的时间可能是一次函数关系；
故答案为：一次；
【小问2详解】
解：设锅中油温与加热的时间的函数关系式为，
将点，代入得，，
解得：，
；
【小问3详解】
解：当时，，
经过推算，该油的沸点温度是．
23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段两端点、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中完成画图．
（1）在图中，画出，使，；
（2）在（1）条件下，在边上画出点，使；
（3）在（2）条件下，的面积是________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形；
（2）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求（由，推出，推出）；
（3）利用平行线等分线段定理解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求；
小问3详解】
解：∵，
∴，
，
．
故答案为：．
24. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．

（1）求点P到地面的高度；
（2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，）
【答案】（1）点到地面的高度约为；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，，，
在中，，，
，
，
点到地面的高度约为；
小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
25. 如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且，
（1）求证：平分；
（2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明．
（2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
【小问1详解】
证明：连结，如图所示，
切与点，
，
，
，
，
，
平分．
【小问2详解】
如图，过作与点
点是弦所对的优弧上一点，且，
,
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
26. 如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；；（2）；（3）或或．
【解析】
【分析】（1）证明推出，再证明，得到，据此即可求解；
（2）由（1）得到，推出，得到，根据勾股定理求得相关数据，再代入求解即可；
（3）分三种情况讨论，①当点与点重合时；②当点落在直线上时，过点作交分别为，证明，用表示出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点落在直线上时，过点作交分别为，用表示出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度数不变．
故答案为：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时；
②当点落在直线上时，由旋转得，，，
过点作交分别为，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴；
③当点落在直线上时，过点作交分别为，
同理四边形为矩形，
∴，
由旋转得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去负值），
∴，
综上，或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
27. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示．
（1）填空：
①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________；
②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：；
（2）抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值；
（3）如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______．
【答案】（1）①或；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）①根据“距美函数”的概念得到，当时，代入求解即可；②根据“距美函数”的概念得到，据此即可求解；
（2）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分当和，两种情况求解即可；
（3）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分顶点在上，顶点在上，经过点时，三种情况讨论，画出图形，据此求解即可．
【小问1详解】
解：①∵反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像，
即反比例函数的图像关于直线对称，再向左平移2个单位，函数解析式为，
∴，
当时，或，
故答案为：或；
②直线关于直线对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像，
令，则；令，则，
即直线与的交点为，还经过点，
点关于对称点为，
设经过点和的函数解析式为，
则，解得，
此函数解析式为，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式，
即，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，
由题意得，新抛物线的顶点为，对称轴为直线，
∴“距美函数”为，
∵当时，，
∴，将代入得，
∴，
∴关于的对称点为，
当，则，解得（舍去）；
当，则当时，，
∴，解得（舍去）或；
综上；
【小问3详解】
解：，
则顶点坐标为，顶点在的图象上，
则新抛物线的顶点坐标为，
∴“距美函数”为，
当顶点在上，
则，
∴，
∴，（舍去），
此时，有2个交点；当顶点在上，
则，
∴，∴，（舍去），
此时，有6个交点，
∴当时，恰好有4个交点；
当经过点时，
有6个交点，
∴，
解得，
∴当时，恰好有4个交点；
综上，k的取值范围为或．
【点睛】本题考查了与函数相关的变换，函数图像交点问题，二次函数图像与性质，一次函数图像与性质，反比例函数图像与性质，熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键．
视力
人数
百分比
及以下
8
4%
16
8%
28
14%
34
17%
m
34%
1．1及以上
46
23%
合计
200
100%
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90