专题7 最大整数与最小整数问题（讲义）-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题7 最大整数与最小整数问题
导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍导数里面涉及最大整数与最小整数问题的解题思路，以飨读者．
题型1 整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．已知函数
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．
例2．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值．（参考数据：，）．
【变式训练1】、已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【变式训练2】、已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
题型2 整数解问题之直接限制法
例3．已知函数，．
（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；
（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求的取值范围．
例4．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由．
【变式训练3】、已知集合，集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围．
【变式训练4】、已知函数，为自然对数的底数．
（1）当时，
①求函数在处的切线方程；
②求函数的单调区间；
（2）若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
题型3 整数解问题之虚设零点
例5、已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值．
例6．设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
【变式训练5】、已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值．
【变式训练6】、已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
题型4 整数解问题之必要性探路
例7．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值．
例8．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值．
【变式训练7】、是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值．
【变式训练8】、（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．