高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式课时训练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1． sin 105°cs 105°的值为( )
A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C．eq \f(\r(3),4) D．－eq \f(\r(3),4)
B [sin 105°cs 105°＝eq \f(1,2)sin 210°＝eq \f(1,2)sin(180°＋30°)＝－eq \f(1,2)sin 30°＝－eq \f(1,4)．]
2．若tan α＝3，则eq \f(sin 2α,cs2α)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
D [eq \f(sin 2α,cs2α)＝eq \f(2sin αcs α,cs2α)＝eq \f(2sin α,cs α)＝2tan α＝6．]
3．设f (tan x)＝tan 2x，则f (2)的值等于( )
A．eq \f(4,5)B．－eq \f(4,3)
C．－eq \f(2,3)D．4
B [因为f (tan x)＝eq \f(2tan x,1－tan2x)，所以f (2)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3)．故选B．]
4．(多选题)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则eq \f(1＋tan2θ,1－tan2θ)的值可以等于( )
A．eq \f(24,25)B．eq \f(25,24)
C．－eq \f(24,25)D．－eq \f(25,24)
BD [因为eq \f(1＋tan2θ,1－tan2θ)＝eq \f(\f(cs 2θ＋sin2θ,cs 2θ),\f(cs 2θ－sin2θ,cs 2θ))＝eq \f(1,cs 2θ)，
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，
得eq \f(\r(2),2)(sin θ－cs θ)＝eq \f(3,5)，两边平方得：sin 2θ＝eq \f(7,25)，
所以cs 2θ＝±eq \f(24,25)．所以原式＝eq \f(1,±\f(24,25))＝±eq \f(25,24)，故选BD．]
5．下列关于函数f(x) ＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的说法错误的是( )
A．最小正周期为π
B．最大值为1，最小值为－1
C．函数图像关于直线x＝0对称
D．函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
C [函数f(x) ＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．
最大值为1，最小值为－1，B正确．
由2x＝kπ＋eq \f(π,2)⇒x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，得函数图像关于直线x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z对称，C不正确．
由2x＝kπ⇒x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称，D正确．]
二、填空题
6．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cs θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cs2θ＝________．
1 [由题意可得a·b＝sin θ－2cs θ＝0，即 tan θ＝2．
所以sin 2θ＋cs2θ＝eq \f(2sin θcs θ＋cs2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(2tan θ＋1,1＋tan2θ)＝1．]
7．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________．
eq \f(1,6) [因为sin 2α＝eq \f(2,3)，所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6)．]
8．函数f(x) ＝cs 2x＋4sin x的值域是________．
[－5,3] [f(x) ＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3．
当sin x＝1时，f(x) max＝3；当sin x＝－1时，f(x) min＝－5．]
三、解答题
9．已知α为第二象限角，且sin α＝eq \f(\r(15),4)，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)的值．
[解] 原式＝eq \f(\f(\r(2),2)sin α＋cs α,2sin αcs α＋2cs2α)＝eq \f(\r(2)sin α＋cs α,4cs αsin α＋cs α)．
因为α为第二象限角，且sin α＝eq \f(\r(15),4)，
所以sin α＋cs α≠0，cs α＝－eq \f(1,4)，
所以原式＝eq \f(\r(2),4cs α)＝－eq \r(2)．
10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(,2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))．
求：(1)cs α－sin α的值；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值．
[解] (1)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(,2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋sin α))＝eq \f(\r(,2),10)，
cs α＋sin α＝eq \f(1,5)，平方化简可得sin 2α＝－eq \f(24,25)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin α＞0，cs α＜0，
cs α－sin α＝－eq \r(,cs α－sin α2)＝－eq \r(,1－sin 2α)＝－eq \f(7,5)．
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs 2α－eq \f(\r(,3),2)sin 2α
＝eq \f(1,2)(cs α＋sin α)(cs α－sin α)－eq \f(\r(,3),2)sin 2α＝eq \f(24\r(,3)－7,50)．]
11．(多选题)若函数f(x) ＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x，则f(x) 的( )
A．周期为2πB．最大值为2
C．最大值为1D．当x＝－eq \f(2π,3)时，可取最小值
ABD [f(x) ＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x＝eq \r(3)sin x＋cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
所以T＝2π，最大值为2，当x＝－eq \f(2π,3)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－2，
取最小值．]
12．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(15),15)B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),3)D．eq \f(\r(15),3)
A [因为tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2sin αcs α,cs2α－sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以2sin α(2－sin α)＝cs2α－sin2α，
所以4sin α－2sin2α＝cs2α－sin2α＝1－2sin2α，
所以sin α＝eq \f(1,4)，
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(15),4)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,\r(15))＝eq \f(\r(15),15)．]
13．函数f(x) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
π [f(x) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x
＝eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x－2eq \r(2)×eq \f(1－cs 2x,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，
故最小正周期为π．]
14．已知tan eq \f(α,2)＝2，则tan α的值为________，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为________．
－eq \f(4,3) －eq \f(1,7) [因为tan eq \f(α,2)＝2，
所以tan α＝eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)×1)))＝－eq \f(1,7)．]
15．已知函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cs 2x＋2eq \r(3)·sin xcs x．
(1)化简f(x) ；
(2)若f (α)＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，求sin 2α．
[解] (1)原式＝eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)sin 2x－cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．
(2)f (α)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
所以2kπ－eq \f(π,6)＜2α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3),14)．