高中人教B版 (2019)8.2.3 倍角公式导学案

这是一份高中人教B版 (2019)8.2.3 倍角公式导学案，共8页。学案主要包含了学习过程等内容，欢迎下载使用。
【学习过程】
一、初试身手
1．sin 15°sin 75°的值为（ ）。
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),4)
2．计算1－2sin222．5°的结果为（ ）。
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),2)
3．已知cs α＝eq \f(1,3)，则cs 2α等于________。
二、合作探究
【例1】化简求值。
（1）cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)；
（2）sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12)；
（3）1－2sin2 750°；
（4）tan 150°＋eq \f(1－3tan2 150°,2tan 150°)。
[思路探究]灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得。
类型二：利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】（1）已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为（ ）。
A．2B．－2
C．eq \f(3,4)D．－eq \f(3,4)
（2）已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于（ ）。
A．eq \f(7,9) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(7,9)D．－eq \f(1,3)
（3）已知cs α＝－eq \f(3,4)，sin β＝eq \f(2,3)，α是第三象限角，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))。
①求sin 2α的值；②求cs（2α＋β）的值。
[思路探究]（1）可先求tan α，再求tan 2α；
（2）可利用eq \f(2,3)π－2α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))求值；
（3）可先求sin 2α，cs 2α，cs β，再利用两角和的余弦公式求cs（2α＋β）。
类型三：利用二倍角公式证明
【例3】求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α。
[思路探究]可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边。
类型四：倍角公式的灵活运用
[探究问题]
1．在化简eq \f(1＋sin α－cs α,1＋sin α＋cs α)＋eq \f(1＋cs α＋sin α,1－cs α＋sin α)时，如何灵活使用倍角公式？、
【提示】在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))))＋
eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))＝eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＋eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))＝eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))＝eq \f(2,sin α)。
2．如何求函数f（x）＝2cs2x－1－2eq \r(3)sin xcs x（x∈R）的最小正周期？
【提示】求函数f（x）的最小正周期，可由f（x）＝（2cs2x－1）－eq \r(3)（2sin xcs x）＝cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))，知其最小正周期为π。
【例4】求函数f（x）＝5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sin xcs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))的最小值，并求其单调减区间。
[思路探究]eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx＝Asinωx＋φ＋B)
→eq \x(ωx＋φ的范围)→eq \x(求最小值，单调减区间)
三、学习小结
二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α 。
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α 。
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) 。
四、精炼反馈
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝（ ）。
A．eq \f(1,5)
B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(3),3)
D．eq \f(2\r(5),5)
2．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋sin \f(π,12)))的值为（ ）。
A．－eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
3．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________。
4．求下列各式的值：
（1）cs eq \f(π,5) cs eq \f(2π,5)；
（2）eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】原式＝sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4)。
2．【答案】B
【解析】1－2sin222．5°＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)。
3．【答案】－eq \f(7,9)
【解析】由cs α＝eq \f(1,3)，得cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9)。
二、合作探究
例1．【答案】（1）cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)－sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)＋sin2 \f(α,2)))
＝cs α。
（2）原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)
＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))
＝eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,8)，
∴原式＝eq \f(1,8)。
（3）原式＝cs（2×750°）＝cs 1500°
＝cs（4×360°＋60°）＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
∴原式＝eq \f(1,2)。
（4）原式＝eq \f(2tan2150°＋1－3tan2 150°,2tan 150°)
＝eq \f(1－tan2 150°,2tan 150°)＝eq \f(1,tan2×150°)
＝eq \f(1,tan 300°)＝eq \f(1,tan360°－60°)
＝－eq \f(1,tan 60°)＝－eq \f(\r(3),3)，
∴原式＝－eq \f(\r(3),3)。
例2．【答案】（1）D
（2）C
【解析】（1）因为sin α＝3cs α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4)。
（2）因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)－1＝－eq \f(7,9)。]
（3）解：①因为α是第三象限角，cs α＝－eq \f(3,4)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2 α)＝－eq \f(\r(7),4)，
所以sin 2α＝2sin αcs α
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝eq \f(3\r(7),8)。
②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝eq \f(2,3)，
所以cs β＝－eq \r(1－sin2 β)＝－eq \f(\r(5),3)，
cs 2α＝2cs2 α－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，
所以cs（2α＋β）＝cs 2αcs β－sin 2αsin β＝eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),3)))－eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(5)＋6\r(7),24)。
例3．【答案】证明：法一：左边＝eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))
＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)
＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)cs α＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边。
∴原式成立。
法二：左边＝eq \f(cs2αtan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝
eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边。
例4．【答案】f（x）＝5eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \r(3)eq \f(1－cs 2x,2)－2sin 2x
＝3eq \r(3)＋2eq \r(3)cs 2x－2sin 2x
＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(1,2)sin 2x))
＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x－cs \f(π,3)sin 2x))
＝3eq \r(3)＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24)，∴eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,4)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，
所以当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，即x＝eq \f(7π,24)时，
f（x）取最小值为3eq \r(3)－2eq \r(2)。
因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递增，
所以f（x）在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递减。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin α·cs α＝2cs2α。
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2sin α＝cs α。又∵sin2 α＋cs2 α＝1，
∴sin2 α＝eq \f(1,5)。又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)。
故选B．
2．【答案】D
【解析】原式＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)。
3．【答案】－eq \f(5,6)
【解析】eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)
＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6)。
4．【答案】（1）原式＝eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))
＝eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(1,4)。
（2）原式＝eq \f(1－2cs2\f(π,8),2)＝－eq \f(2cs2\f(π,8)－1,2)＝－eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4)。
学习目标
核心素养
1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。（重点）
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。（难点）
1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。
2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。