数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定巩固练习

这是一份数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定巩固练习，文件包含专题05相似三角形的判定与性质专项培优训练教师版docx、专题05相似三角形的判定与性质专项培优训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级下册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）（2023秋•香坊区校级期中）如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、∵DE∥BC，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
B、∵EF∥AB，
∴＝，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，本选项比例式错误，符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，本选项比例式正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023秋•杨浦区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是平行四边形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①、②皆正确D．①、②皆错误
解：∵四边形DEGF是平行四边形，
∴DE∥BC，DF∥EG，
∵AN∥DF，
∴AN∥EG∥DF，
∴，，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴+＝+＝+＝＝1，故①正确，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵AN∥DF，
∴△BDF∽△BAN，
∴＝，
∴＝+＝1，故②正确，
故选：C．
3．（2分）（2022秋•龙沙区期末）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．D．2
解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AD•AC，
∵AD＝2，AC＝6，
∴AB2＝2×6＝12，
∴AB＝2，
∴AB的长为2，
故选：D．
4．（2分）（2023秋•香坊区校级月考）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，射线BE交CD延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∵AB∥DF，
∴△ABE∽△DFE，
∴＝，
∴＝，
故A正确；
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FBC，
∴＝，
故B正确；
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∴≠，
故C错误；
∵BC∥ED，
∴＝，
∴＝，
故D正确，
故选：C．
5．（2分）（2023•东阳市三模）四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示，过点C作CK⊥CE交AB的延长线于点K，连接KH分别交BC，CE于点M，N，若已知＝5，则的值为（ ）
A．6B．C．8D．
解：设S正方形EFGH＝a2，则S正方形ABCD＝5a2，GF＝EF＝a＝HE，
∴4×S△CFD＝5a2﹣a2，DC＝BC＝a，
∴S△CFD＝a2，
∴CF•DF＝a2，
∵DG＝CF，
∴CF×（CF+a）＝a2，
∴CF＝a（负值舍去），
∴DG＝CF＝BE＝a，
∴HB＝EC＝2a，
∵CK⊥CE，
∴∠DCB＝∠ECK＝90°，
∴∠DCF＝∠BCK，
∴tan∠DCF＝tan∠BCK＝＝2，
∴BE＝2BC＝2a，
∴CK＝＝5a，
∵CK⊥CE，HE⊥CE，
∴CK∥HE，
∴＝，
设HN＝x，NK＝5x，则HE＝6x，
∵CK∥HE，
∴＝，
∴HM＝，MK＝x，
∴MN＝x，
∴＝6，
故选：A．
6．（2分）（2023•合川区校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，点F是的中点，连接AF，BD交于点E．若AB＝10，CD＝4．连接DF，则弦DF的长为（ ）
A．B．C．4D．5
解：如图，连接DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BC，BD⊥AC，
∵点F是的中点，
∴BF＝DF，∠BAF＝∠DAF，
∴AB＝AC，BF＝CF（等腰三角形三线合一），
∴，
∵AB＝10，CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝AB﹣CD＝6，
又∵AB2﹣AD2＝BD2＝BC2﹣CD2，
∴102﹣62＝BC2﹣42，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
7．（2分）（2023秋•崂山区校级月考）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AD＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故选：B．
8．（2分）（2023秋•双流区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，DE＝8cm，则BC的长为（ ）
A．20B．10C．40D．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，DE＝8cm，
∴，
解得BC＝20cm，
故选：A．
9．（2分）（2023秋•镇海区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC、BD交于点E，若AB＝AE，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：∵，
∴设BE＝x，DE＝3x，
∴BD＝4x，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝3x，
∴BC＝＝x，
过A作AG⊥BD于G，过C作CH⊥BD于H，
∵S△BCD＝，
∴CH＝＝＝x，
∵AB＝AE，
∴BG＝EG＝＝x，
∵∠AGB＝∠AGD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠BAG＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△ABG∽△DAG，
∴，
∴，
∴AG＝x，
∵∠AGE＝∠CHE＝90°，∠AEG＝∠CEH，
∴△AGE∽△CHE，
∴＝＝，
故选：B．
10．（2分）（2023秋•城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③＝；④△FPD∽△PHB；⑤AF2＝EF•EB．其中正确结论的个数是（ ）
​
A．5B．4C．3D．2
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故选：B．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（2分）（2023秋•普陀区期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ABC中，点D在AB边上，以CD为边作等边△CDE，DE与BC交于点F，如果，AC＝6，那么BF＝ ．
解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠FDC＝60°，
∵＝，
∴AD＝2，DB＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD＝∠BDF+∠FDC，
∴∠BDF＝∠ACD，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∴，
∴BF＝，
故答案为：．
12．（2分）（2023秋•普陀区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是DE的中点，CM的延长线交边AB于点N，那么的值为 ．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵M是DE的中点，
∴DM＝DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴△DNM∽△BNC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故答案为：．
13．（2分）（2023秋•长宁区校级月考）定义：如图1，对于线段AB的内分点C和外分点D，如果满足，那么称A、B、C、D是“调和点列”．如图2，在△ABC中，点D在AB上，点E在AB的延长线上，连接CE，射线CD、CB与射线AM交于点F、G，AG∥CE，若A、B、D、E是调和点列，且AD＝2，BE＝3，则的值是 ．
解：∵A、B、D、E是调和点列，
∴，
∴＝，
∴DB＝1（负值舍去），
∴AB＝3，DE＝4，
∵AG∥CE，
∴△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，
∴＝，＝1，
∴AF＝CE，AG＝CE，
∴＝，
故答案为：．
14．（2分）（2022秋•保定期末）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGFE＝ 144 ．
解：设正方形DGFE的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
即．
由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，
得，
解得x＝12．
∴正方形DEFG的边长是12，
∴S正方形DGFE＝DE2＝122＝144．
故答案为144．
15．（2分）（2023春•兴化市月考）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为，点D在劣弧AC上，连接BD，BD与AC交于点E，AE＝2CE．四边形ABCD的面积等于 ．
解：连接OB，过点O作OF⊥BC于点F，
∵OB＝2，∠BOF＝∠BAC＝60°，
∴OF＝OB＝，
∴BF＝OF＝3，
∴BC＝2BF＝6，
∵AE＝2CE，
∴AE＝4，CE＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBE，
∴，
∴，
∴BD•BE＝36，
∴BE2+BE•DE＝36，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∴BE•DE＝4×2＝8，
∴BE2＝28，
∴BE＝2（负值舍去），
∴DE＝，
∴BD＝BE+DE＝2+＝，
将△ABD绕点B顺时针旋转60°，得到△CBH，
则△BAD≌△BCH，
∴AD＝CH，∠DAB＝∠BCH，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∴∠BCH+∠BCD＝180°，
∴点D，点C，点H三点共线，
∵DB＝BH，∠BDC＝60°，
∴△DBH是等边三角形，
过点B作BG⊥DH于G，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BDC＝S△BDH＝＝
＝
＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023•池州模拟）已知，如图所示，矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，F是AB边上的一动点．连接CF，过D作DG⊥CF垂足为G点，交BC于E点．过A作AH⊥DE，垂足为H，连接CH．则四边形AGCH面积的最大值为 24 ．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，
又∵DG⊥CF，AH⊥DE，
∴∠AHD＝∠DGC＝90°，
∴∠HAD+∠ADH＝∠GDC+∠ADH＝90°，
∴∠HAD＝∠GDC，
又∠AHD＝∠DGC＝90°，
∴△AHD∽△DGC，
∴，
设 AH＝3x，DG＝4x，DH＝3a，CG＝4a，
∴GH＝DG﹣DH＝4x﹣3a，
∴S四边形AGCH＝S△AHG+S△HGC＝＝＝＝＝＝，
∴当 时，S四边形AGCH有最大值为，
在Rt△ADH中，AH2+DH2＝AD2，
即（3x）2+（3a）2＝36，
∴x2+a2＝4，
把 代入x2+a2＝4中，
得，
∴，
四边形AGCH面积的最大值为：24，
故答案为：24．
17．（2分）（2023秋•金牛区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D、点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，若AD＝3CD，BM：MF＝2：3，EM＝1，则AF＝ ．
解：过F作FH⊥BA交BA的延长线于H，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD＝BE，
∴AE＝CD，
∵AD⊥BC，AD＝3CD，
设AD＝3a，则DC＝a，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，
∴（x+a）2＝x2+（3a）2，
∴x＝4a，
∴BD＝4a，
∴BD＝BE＝4a，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM∽△BHF，
∴＝，
∵BM：MF＝2：3，
∴BM：BF＝2：5，
∵EM＝1，
∴＝，
∴FH＝，
∵∠BAD＝∠FAH，∠ADB＝∠FHA＝90°，
∴△AFH∽△ABD，
∴＝，
∵AB＝AE+BE＝a+4a＝5a，BD＝4a，
∴＝，
∴AF＝．
故答案为：．
18．（2分）（2023秋•金水区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四边形CDEF＝，正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故①正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故③正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得，
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．
故答案为：①②③④．
19．（2分）（2023秋•南山区校级期中）如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为 15 cm2．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝2DE，
∴AE＝AD，
∴＝＝＝，
∴＝，＝＝，
∵S△AEF＝4（cm2），
∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），
S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），
∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），
故答案为：15．
20．（2分）（2023秋•香坊区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，点E是CD中点，，则＝ ．
解：作CG∥AB交AF的延长线于G，则∠G＝∠EAD，
∵点E为CD中点，
∴CE＝DE，
在△GCE和△ADE中，
，
∴△GCE≌△ADE（AAS），
∴GC＝AD，
设BC＝4m，
∵＝，
∴AC＝BC＝×4m＝3m，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AB＝＝＝5m，∠ADC＝90°，
∴S△ABC＝×5m•CD＝×3m×4m，
∴CD＝m，
∴GC＝AD＝＝＝m，
∵AB∥GC，
∴△ABF∽△GCF，
∴＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（6分）（2023秋•普陀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作AD的平行线FG，分别交AB、DC于点F、G，且．
（1）求证：EG∥BC；
（2）如果EF＝2，AD＝3，求BC的长．
（1）证明：∵FG∥AD，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴EG∥BC；
（2）解：∵FG∥AD，
∴△EFB∽△DAB，
∴＝，
∵EF＝2，AD＝3，
∴＝，
∴，
∵FG∥AD，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴BC＝6．
22．（6分）（2023秋•镇海区校级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG平分∠BAC，交DE、BC于点F、G，且AD•AC＝AE•AB．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若△ADE与△ABC的周长之比是1：2，AG＝10，求AF的值．
（1）证明：∵AD•AC＝AE•AB，
∴，
又∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，△ADE与△ABC的周长之比是1：2，
∴，
∵AG平分∠DAE，AG平分∠BAC，