2024版高考数学微专题专练27平面向量的数量积及其应用理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练27平面向量的数量积及其应用理（附解析），共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝( )
A．eq \r(19)B．eq \r(21)
C．2eq \r(5)D．7
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为( )
A．eq \f(3,2)B．－eq \f(3,2)
C．eq \f(2,3)D．－eq \f(2,3)
3．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3B．－2
C．2D．3
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4B．3
C．2D．0
5．[2022·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝eq \r(3)，则a·b＝( )
A．1B．－1
C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4B．－4
C．eq \f(9,4)D．－eq \f(9,4)
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值为( )
A．4B．9
D．8D．10
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
9．[2022·江西省南昌市第十中学月考]已知△OAB，OA＝1，OB＝2，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－1，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up6(→))，则eq \(EO,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(3,28)B．－eq \f(1,21)
C．－eq \f(2,9)D．－eq \f(2,21)
二、填空题
10．[2022·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝________.
11．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a，b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝3，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b))·b＝________．
12．已知向量b为单位向量，向量a＝(1，1)，且|a－eq \r(2)b|＝eq \r(6)，则向量a，b的夹角为________．
[能力提升]
13．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A.|b|＝1B．a⊥b
C．a·b＝1D．(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))
14．[2022·陕西省西安中学模拟]在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2eq \r(3)，点M，N是线段AC上的动点，且|MN|＝2，则eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))的最小值为( )
A．12B．8
C．6eq \r(3)D．6
15．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且csα＝eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则csβ＝________．
16．[2022·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝________．
专练27 平面向量的数量积及其应用
1．A |m|＝eq \r(（5e1－2e2）2)＝eq \r(25－20e1·e2＋4)＝eq \r(29－20×\f(1,2))＝eq \r(19).
2．B ∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－eq \f(3,2).
3．C 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
4．B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．C 由已知可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝3，解得a·b＝eq \f(1,2).
6．B ∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cs〈m·n〉＋n2＝0，
∴eq \f(3,4)×eq \f(1,3)t＋1＝0，得t＝－4.
7．B 依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1.eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝eq \f(x＋y,x)＋eq \f(4（x＋y）,y)＝5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥9，当且仅当x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)时取等号．故选B.
8．B 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|csα＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴csα＝eq \f(1,2)，∵α∈(0，π)，∴α＝eq \f(π,3).故选B.
9．D 由题意，作出图形，如图，
∵OA＝1，OB＝2，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－1，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1×2cs∠AOB＝2cs∠AOB＝－1，
∴cs∠AOB＝－eq \f(1,2)，
由∠AOB∈(0，π)可得∠AOB＝eq \f(2π,3)，
∴AB＝eq \r(OA2＋OB2－2·OA·OB·cs∠AOB)＝eq \r(7)，
又S△AOB＝eq \f(1,2)·OA·OB·sin∠AOB＝eq \f(1,2)·OD·AB＝eq \f(\r(3),2)，则OD＝eq \f(\r(3),\r(7))，
∴eq \(EO,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝－eq \(OE,\s\up6(→))·(eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))＝－2eq \(OE,\s\up6(→))2＝－eq \f(2,9)·eq \(OD,\s\up6(→))2＝－eq \f(2,9)×eq \f(3,7)＝－eq \f(2,21).
10．±eq \r(2)
解析：因为|a－b|＝|a＋b|，
所以(a－b)2＝(a＋b)2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b⇒a·b＝0，
a·b＝t×(－t)＋2×1＝－t2＋2＝0，
得t＝±eq \r(2).
11．11
解析：因为cs〈a，b〉＝eq \f(1,3)，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝1×3×eq \f(1,3)＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
12.eq \f(2π,3)
解析：因为|a－eq \r(2)b|＝eq \r(6)，所以2－2eq \r(2)a·b＋2＝6，∴a·b＝－eq \f(1,\r(2))，
∴向量a与b的夹角θ满足csθ＝－eq \f(1,\r(2)·\r(2))＝－eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(2π,3).
13．D ∵b＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，∴|b|＝2，故A不正确；
又eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×2×cs60°＝2，即：－2a·b＝2，a·b＝－1，故B，C都不正确；∵(4a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))，故D正确．
14．B
直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2eq \r(3)，
所以AC＝4eq \r(3)＝2BC，所以∠BAC＝30°，
作AC⊥OB于点O，
则OB＝3，OC＝eq \r(3)，OA＝3eq \r(3)，
如图，以O为原点建立平面直角坐标系，
不妨设点N在点M的左侧，
设N(x，0)，则M(x＋2，0)，x∈[－eq \r(3)，3eq \r(3)－2]，
B(0，3)，
则eq \(BM,\s\up6(→))＝(x＋2，－3)，eq \(BN,\s\up6(→))＝(x，－3)，
所以eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))＝x(x＋2)＋9＝(x＋1)2＋8≥8，
当且仅当x＝－1时，eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))的最小值为8.
15.eq \f(2\r(2),3)
解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －9e1·e2＋2e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝11－9×eq \f(1,3)＝8，
又|a|＝eq \r(（3e1－2e2）2)＝eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －12e1·e2)＝3，
|b|＝eq \r(（3e1－e2）2)＝eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －6e1·e2＋e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \r(9－2＋1)＝2eq \r(2)，
∴csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(8,3×2\r(2))＝eq \f(2\r(2),3).
16．2
解析：根据题意，作出如下草图，
令eq \(AF,\s\up6(→))＝e1，eq \(AE,\s\up6(→))＝e2，eq \(AB,\s\up6(→))＝λe1，eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
因为a＝λe1＋μe2，由平行四边形法则，可得eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
所以AD∥BC，
因为|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝|eq \(CE,\s\up6(→))|＝|eq \(CF,\s\up6(→))|，
因为|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|eq \(AF,\s\up6(→))|，
所以△AEC≌△AFC，所以∠DAC＝∠BAC.
因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，
所以∠BAC＝∠ACB，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，
即|λe1|＝|μe2|，所以λ＝±μ，
又λ＋μ＝4，所以λ＝μ＝2，即a＝2e1＋2e2，
所以平行四边形ABCD为菱形，
设∠BAD＝θ，即向量e1，e2的夹角为θ，
因为|e1－e2|＝|a－e1|，所以|e1－e2|＝|2e2＋e1|，
即|e1－e2|2＝|2e2＋e1|2，
所以1＋1－2csθ＝4＋1＋4csθ，即6csθ＝－3，
所以csθ＝－eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(2π,3)，
所以|a|＝2|e1＋e2|＝2eq \r(1＋1＋2cs\f(2π,3))＝2.