数学选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系优秀精练

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1．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
2．圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】圆即，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值是.
故选：C
3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
4．直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【分析】根据圆与直线的位置关系求法结合同角的三角函数关系得出曲线C与直线l位置关系，即可得出答案.
【详解】曲线C：是圆心在上，半径的圆，
则圆心与直线l的距离，
，
曲线C与直线l相切，即只有一个交点，
故选：B
5．（多选）直线和圆在同一坐标系中的图形不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】联立直线和圆的方程，得到它们只有唯一的交点，从图中判断交点个数即可.
【详解】联立直线和圆的方程，两式相减得到，即
，于是直线和圆只可能有一个交点，结合四个选项，只有D正确，于是不正确的为ABC.
故选：ABC
6．下列直线中，与圆相切的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.
【详解】圆的圆心为，半径．
对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；
对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．
故选：BC.
7．过点引圆切线，则切线长是 .
【答案】3
【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
得到圆心坐标为，圆的半径，
，
切线长是，
故答案为：3
8．若点在圆上运动，则的取值范围 .
【答案】
【分析】令，根据直线与圆的位置关系即得.
【详解】令，则与圆有公共点，
可得，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
9．满足直线：与圆：有公共点的一个整数 ．
【答案】2（或，，0，1，只需填写一个答案即可）.
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】由题可知，，解得．
故答案为：2（或，，0，1，只需填写一个答案即可）.
10．若圆与直线没有公共点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由圆与直线没有公共点，可知圆心到直线的距离大小半径，从而可求出的取值范围
【详解】解：圆的圆心为，半径为1，
因为圆与直线没有公共点，
所以，即，解得，
故答案为：
1．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短.
【详解】
由于，故点在圆内，
化为标准方程：.
如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，
根据垂径定理，，
为使得最小，必须最大，显然，
重合的时候取得等号，此时，由于，
所以直线的斜率为，故直线的方程为，
即.
故选：C
2．直线l：截圆所得的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为.
故选：C

3．点在圆：上，，，则最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示，由题意圆：的圆心，半径，
当直线与圆相切时，即为切点时，最小，
此时与轴平行，，.
故选：C
4．（多选）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】反射光线一定经过点关于轴的对称点，考虑斜率不存在和斜率存在两种情况，利用点到直线距离等于半径列出方程，求出斜率，得到答案.
【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线一定经过点，
由于圆心为，半径为1，
若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆无交点，
设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即，
因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即，
解得或，则反射直线的方程为或.
故选：.

5．自引圆的割线ABC，则弦中点P的轨迹方程 .
【答案】（）
【分析】设，根据⊥，利用斜率列出方程，再考虑的取值范围.
【详解】设，则⊥，
当时，有，即，整理得①，
当时，此时割线ABC的中点为原点，代入①式，也成立，

故弦中点P的轨迹方程为（在圆内部分），
联立，解得，
故轨迹方程为（）
故答案为：（）
6．求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足：
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出圆心到直线的距离、圆的半径，若相交，则可得答案；
（2）若相切，则可得答案；
（3）若相离，则肯定答案.
【详解】（1）圆的方程化为标准式为，
故圆心到直线的距离，圆的半径，
若相交，则，即，所以；
（2）若相切，则，即，所以；
（3）若相离，则，即，所以.
1．已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
设圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，即，解得，
设的中点为，
点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，
的轨迹方程为，
因为，
又，，
即,
即的取值范围为 .
故选：C

2．（多选）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
D．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为
【答案】BD
【分析】由直线方程过定点可判断A；根据圆的性质结合条件可判断B；由题可得动点的轨迹方程，然后根据圆的性质可判断C；求得点关于直线的对称点进而可判断D.
【详解】对A，直线的方程可化为，过定点，即A错误；
对B，设，则圆心到直线的距离，且半径，
所以最小弦长为，即B正确；

对C，由题可知直线l恒过定点，由题知，故动点在以为直径的圆上，又，

故动点在圆上，又直线l：表示过斜率存在的直线，
所以动点的轨迹方程为除点，
又，所以的最小值为，故C错误；
对D，当时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，所以圆C关于直线l对称的圆的方程为，故D正确.
故选：BD.
3．从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．
4．已知圆
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；
(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.
【答案】(1)或或；
(2)
【分析】（1）当圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0时设所求切线方程为，利用则圆心到切线的距离为求出；当截距均不为0时设所求切线方程为，利用圆心到切线的距离为求出可得答案；
（2）根据、可得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，
①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0，则切线过原点，
设所求切线方程为，即
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线的方程为；
②若截距均不为0，设所求切线方程为，
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线方程为或，
综上所述，所求切线方程为或或；
（2）由题意可知，，
则
，
由，得，
化简得，
所以，点P的轨迹方程为.