【冲刺2024数学】中考真题（2023山东泰安）及变式题（山东泰安中考专用）解答题部分

这是一份【冲刺2024数学】中考真题（2023山东泰安）及变式题（山东泰安中考专用）解答题部分，文件包含冲刺2024数学中考真题2023山东泰安及变式题山东泰安中考专用解答题部分解析版docx、冲刺2024数学中考真题2023山东泰安及变式题山东泰安中考专用解答题部分docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共141页， 欢迎下载使用。

1．（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
2．（1）化简：
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）按照分式的加减乘除混合运算的顺序和法则计算即可；
（2）求出每个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集是
【点睛】此题考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键．
3．（1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】此题主要考查了分式的混合运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分后即可得到结果；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
故不等式组的解集为：．
4．（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1） （2）
【分析】
本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式得，
∴原不等式组的解集为．
5．(1)化简 ；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
（1）先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，再因式分解，并约分；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再确定答案即可．
【详解】（1）原式


；
（2）
解不等式①，得；
解不等式②，得，
不等式的解集为．
6．（1）化简：；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2）-2＜x≤4．在数轴上表示见解析
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
=；
（2），
解不等式①得：x>-2，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集是-2＜x≤4．
在数轴上表示如图所示：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．
7．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】(1)200，108
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；
（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：名，
∴本次竞赛共有200名选手获奖，
∴C级的人数为名，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度，
故答案为：200，108；
（2）解：B级的人数为名，
补全统计图如下：

（3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键．
8．为了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：
(1)参加问卷调查的同学共_________名，补全条形统计图．
(2)在篮球社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀．现决定从这四人中任选两名参加篮球大赛，用树状图或列表法求恰好选中丙、丁两位同学的概率．
【答案】(1)，见解析；
(2)．
【分析】（1）根据条形图和扇形图中足球数据即可求出总人数，从而求出跑步的人数，补全条形统计图；
（2）画树状图，结合树状图利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参加问卷调查的同学人数为：
（名）
参加跑步的人数为：（名）
故答案为：，补全条形图如下，
（2）解：画树状图如下，
从这四人中任选两名参加篮球大赛，共有种可能；
恰好选中丙、丁两位同学的可能有2种，
则恰好选中丙、丁两位同学的概率为：
．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，还考查了求随机抽样的概率；解题的关键是正确求出总人数及正确画树状图．
9．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：
A．太空“冰雪”实验 B．液桥演示实验
C．水油分离实验 D．太空抛物实验
我校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有___人；扇形统计图中所对应的圆心角的度数为____；
(2)请补全条形统计图；
(3)我校九年级共有650名学生，请估计九年级学生中对B．液桥演示实验最感兴趣的学生大约有多少人？
(4)十三班被调查的学生中对A．太空“冰雪”实验最感兴趣的有5人，其中有3名男生和2名女生，现从这5名学生中随意抽取2人进行观后感谈话，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)50；
(2)见解析
(3)195人
(4)
【分析】（1）由C类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以D类别人数所占比例即可；
（2）根据四个类别人数之和等于总人数求出B对应人数即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次被调查的学生有（人），
扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为；
（2）解：B对应人数为（人），
补全图形如下：
；
（3）解：，
答：估计九年级学生中对B．液桥演示实验最感兴趣的学生大约有195人；
（4）解：画树状图如下：
由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的有12种，
所以恰好抽到一男一女的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．某校开展了知识竞赛，竞赛得分为整数，张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表：

请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的______ ， ________．
(2)已知该校有名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？
(3)现要从组随机抽取两名学生参加上级部门组织的知识竞赛，组中的小颖和小娟是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小颖和小娟的概率．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由等级人数及其百分比求得总人数，总人数乘以等级百分比求得，根据各等级人数之和等于总人数求得的值，
（2）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在分以上的学生所占的比例即可．
（3）画出树状图即可解决问题．
【详解】（1）解：本次抽样调查样本容量为，
∴，
，
故答案为：；．
（2）（人）
答：竞赛成绩在分以上的有人．
（3）设组的人分别用甲、乙、丙、丁表示，其中小颖用甲表示，小娟用乙表示，
画树状图如图所示：

∵从四人中随机抽取两人有种等可能，恰好抽到小颖和小娟即甲和乙的有种可能，
∴恰好抽到小颖和小娟的概率为，
答：恰好抽到小颖与小娟的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法、扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体等知识，掌握两个统计图中的数量关系是解题的关键．
11．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)扇形统计图中圆心角___________度；
(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】(1)200，补全条形统计图见解析
(2)54
(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：(人)，
C类型社团的人数为(人)，
补全条形统计图如图，

故答案为：200；
（2）解：，
故答案为：54；
（3）解：画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
12．某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)该班的学生共有________名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为_______；
(2)请补全条形统计图．
(3)根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数．
(4)从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率．
【答案】(1)；
(2)作图见解析
(3)人
(4)
【分析】（1）根据C类所对应的圆心角可得C类所占百分比，再根据C类人数可得该班学生的人数，用乘以A类人数所占比例即可；
（2）用该班学生数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图；
（3）求出A类所占调查人数的百分比，估计为总体所占的百分比，进而求出相应的人数；
（4）通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该班的学生共有：（名），
∴，
故答案为：；．
（2）B类人数有：（人），
补全条形统计图如下：

（3）（人），
答：估计全校名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为人．
（4）设善于语言表达的2人分别用，表示，3人善于动作表演的3人分别用，，，画树状图如下：

从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果，
∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：，
答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果数目，然后利用概率公式计算该事件发生的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
(3)点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）观察图象特点，即可得出取值范围；
（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长．
【详解】（1）∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图，在第二象限内，当时，，

（3）如图，过作轴于点，

∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
14．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为，为的中点．，．
(1)求出反比例函数的关系表达式；
(2)若是该反比例函数图象上一点，且．请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据轴，为的中点，得，根据勾股定理，等腰三角形的性质，求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数，即可；
（2）根据是该反比例函数图象上一点，得，根据，即可求出．
【详解】（1）∵轴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为：，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）∵是该反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质．
15．如图，点和点D是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作轴，垂足为E，连接．已知与的面积满足．
(1) ，m＝ ．
(2)求直线的解析式；
(3)直接写出满足不等式时，x的取值范围；
(4)已知点在线段上，当时，求点D的坐标及．
【答案】(1)3，8；
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先可得，根据．可得，从而得出；
（2）由点在反比例函上，求出点，将点A代入一次函数解析式即可；
（3）由图象直接可得，当时，；
（4）由得，设，则，可得，又，可求出点D的坐标，再将转化为，即可解决问题．
【详解】（1）解：由一次函数，得： 当时，，
∴，
过A作轴于点F，
∵， ∴，
∴，
∵，
∴，
∵D是反比例函数上的点，
∴；
故答案为：3，8；
（2）∵点在反比例函上，
∴n=4， ∴，
∵一次函数的图象经过点A，
∴， ∴，
∴直线的解析式为：；
（3）由图象可知，当时，；
（4）连接，过点A作轴于H，
由（2）知：直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∵
∴，
设， 则，
∴，
∴， ∵，
∴ 解得：或 （负根不合题意舍去）
∴
∵点A、D在反比例函数上，
∴，
∴
．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解方程等知识，运用是求点D坐标的关键．
16．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D．已知A（4，1），CE=4CD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出＜kx+b时x的取值范围．
（4）若点M为一次函数图象上的动点，过点M作MN∥y轴，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点N，连结ME，NE，当△MNE的面积为时，直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）y=；（2）y=﹣x+5；（3）＜kx+b时x的取值范围是1＜x＜4；（4）M的横坐标为或或．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=中求出m得到反比例函数解析式；
（2）证明△CEA∽△CDB，利用相似比求出BD=1，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）根据图象即可求得；
（4）设M（，），则N(，)，根据三角形面积公式即可得到，整理为，解得即可．
【详解】（1）把A（4，1）代入y=得m=4×1=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵BD⊥y轴，AD⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△CEA∽△CDB，
∴，即，
∴BD=1，
当x=1时，y==4，
∴B（1，4），
把A（4，1），B（1，4）代入y=kx+b得
，
解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5；
（3）由图象可知：
当1＜x＜4时直线y=kx+b在反比例函数y=（x＞0）的图象的上方，
∴＜kx+b时x的取值范围是1＜x＜4；
（4）设M（x，﹣x+5），则N（x，），
∵△MNE的面积为，
∴||•x=，
∴||=，
当=时，解得x=，
当=﹣时，解得x=或x=，
∴M的横坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题以及相似三角形的判定和性质，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积．
17．如图，一次函数y＝kx＋3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数的图象在第四象限相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，－6）且S△DBP＝27．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点Q是一次函数y＝kx＋3图象上的一点，且满足△DOQ的面积是△COD面积的2倍，直接写出点Q的坐标；
（3）若反比例函数的图象与△ABP总有公共点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）y=x+3，；（2）（-4，9）或（4，-3）；（3）-36≤n＜0．
【分析】（1）根据三角形面积求出BP，得出P的坐标，代入函数的解析式求出即可；
（2）根据面积求出QM，即可得出Q的横坐标，代入求出Q的纵坐标即可；
（3）根据P、A、B的坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象交y轴于点D，∴OD=3
∵B（0，-6），∴BD=3+6=9
∵S△DBP=27，∴由三角形面积公式得：BP="6." ∴P点的坐标是（6，-6）
把P的坐标代入y=kx+3得：
一次函数的解析式是y=x+3
把P的坐标代入得：m=-36
∴反比例函数的解析式是
（2）∵一次函数y=x+3.的图象交x轴于点C，
∴把y=0代入求出x=2，即C的坐标是（2，0），OC=2
分为两种情况：当Q在射线DC上时，过Q作QM⊥y轴于M，
∵△DOQ的面积是△COD面积的2倍，
∴根据等高的三角形的面积比等于对应的边之比得：DQ=2DC，
∵△DOC∽△DMQ，
∴，∴MQ=2OC=4
把x=4代入y=x+3得：y=-3，即此时Q的坐标是（4，-3）
当Q在射线CD上时，同法求出QM=4，
把x=-4代入y=x+3得：y=-3，即此时Q的坐标是（-4，9）
∴Q的坐标是（-4，9）或（4，-3）
（3）∵A（6，0），B（0，-6），P（6，-6），反比例函数的图象与△ABP总有公共点，
∴当反比例函数图象过P点时，求出n=-36
∴n的取值范围是-36≤n＜0．
【点睛】本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求出函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较典型，难度适中．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．

(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)①直接写出当时，的取值范围；
②连接和，求的面积；
(3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②4
(3)点的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解；
②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解；
（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将代入，得，
反比例函数的表达式为，
将代入，
得解得，
一次函数的表达式为，
联立方程组消得，
即，
解得：，，
由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3，
点的坐标为
（2）①∵，，
根据函数图象可得当时，或；
②由得点为，
即的面积为4；
（3）分两种情况讨论：
①当时，如图，过作于，

∵轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，而，
同理可得：直线的解析式为，
∵，点在直线上，
∴点的横坐标为2，
当时，，
∴；
②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，

则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
同理可得：，
∴，
由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∴，
当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，

同理可得：，，
设，则，
∵直线为，
∴，，
∴，
解得，
∴，
当点E在右侧时，同理可得，

设，则，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，而在直线上，
∴，
解得，且满足分式方程，
∵，
∴，
∴，
综上，点的坐标为，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
19．为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】这个学校九年级学生有300人．
【分析】设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答．
【详解】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得：，
经检验是原方程组的解
则学校九年级学生人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键．
20．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．
(1)求第一批足球每个的进价是多少元？
(2)若商店将第一批足球以售价70元，第二批足球以售价80元全部售出，则其盈利多少元？
【答案】(1)50元
(2)6800元
【分析】（1）设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，根据数量=总价÷单价结合第二次所购进足球的数量比第一次少40个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价及第二次所购进足球的数量比第一次少40个，可分别求出第一批及第二批购进足球的数量，再利用利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可求出结论．
【详解】（1）解：设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，
依题意得：=40，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进足球每个的进价是50元．
（2）第一批购进足球的数量为10000÷50=200（个），
第二批购进足球的数量为200-40=160（个），
共盈利（200×70-10000）+（160×80-10000）=4000+2800=6800（元）．
答：一共盈利6800元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．“献爱心”活动中，某班级两次选购同一种文具为偏远地区的贫困学生送去自己的爱心第一次用元购买了一批，第二次购买时发现每件文具比第一次涨了元，于是用元购进了第二批文具，购买的数量是第一次购进数量的倍．
(1)该班级第一次购买文具的单价是每件多少元？
(2)当卖家了解到学生的爱心行动后，捐出这两次售卖文具利润的给学生作为今后的爱心活动经费，已知卖家每件文具的进价都是元，求该班级学生收到的经费是多少元？
【答案】(1)该班级第一次购买文具的单价是每件元；
(2)该班级学生收到的经费是210元
【分析】（1）设该班级第一次购买文具的单价是每件元，则第二次购买文具的单价是每件元，由题意：用元购进了第二批文具，购买的数量是第一次购进数量的倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）可知，该班级第一次购买文具的单价是每件元，购买的件数为件，第二次购买文具的单价是每件元，购买的件数为件，再列式计算即可．
【详解】（1）解：设该班级第一次购买文具的单价是每件元，则第二次购买文具的单价是每件元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该班级第一次购买文具的单价是每件元；
（2）解：∵该班级第一次购买文具的单价是每件元，购买的件数为件，
该班级第二次购买文具的单价是每件元，购买的件数为件，
该班级学生收到的经费是元，
答：该班级学生收到的经费是元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，但要求足球和篮球的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)足球的单价为元，篮球的单价为元；
(2)学校最多可购买66个篮球
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．
（1）设足球的单价为元，根据篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买篮球个，根据总费用不超过8000元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得：
，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：足球的单价为元，篮球的单价为元；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴的最大值为66；
答：学校最多可购买66个篮球．
23．临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用元，用元购买甲套餐和用元购买乙套餐的个数相同．
(1)求这两种套餐的单价分别为多少元．
(2)班级计划用元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进1种且刚好用完经费，请你设计进货方案．
【答案】(1)甲种套餐的单价为元，乙种套餐的单价为元
(2)见详解
【分析】（1）设甲种套餐的单价为x元，根据用元购买甲套餐和用元购买乙套餐的个数相同得：，解方程并检验可得答案；
（2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，可得，求出方程的正整数解即可．
【详解】（1）解：解：设甲种套餐的单价为x元，则乙种套餐的单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
∴甲种套餐的单价为元，乙种套餐的单价为元；
（2）解：设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，
根据题意得，
∴
∵m，n为正整数，
∴或或，
∴有三种进货方案：甲种套餐购进套，乙种套餐购进5套或甲种套餐购进套，乙种套餐购进套或甲种套餐购进9套，乙种套餐购进套．
【点睛】本题考查分式方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
24．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．
(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；
(3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件．
【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元；
(2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件；
(3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件．
【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
（2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可；
（3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意．
【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元．
由题意得：
解得：
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
，
答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元．
（2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件．
根据题意得：
的整数值为78，79，80．
商场共有三种进货方案．
方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；
方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；
方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件．
（3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，
①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌，
解得：（舍）．
购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌，
解得：（舍）．
②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌，
解得：．
购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌，
解得：．
③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌，
解得：（舍）．
购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌，
解得：（舍）．
因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验．
25．如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明，，由此即可证明得到，进而推出，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由（1）的结论可得，进一步证明，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6，AD=10，求线段CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质得出,再根据得出,从而得到,证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等，得出四边形是菱形；
（2）根据折叠的性质得出,从而计算出,设，利用勾股定理解方程即可．
【详解】证明：（1）由题意可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）由题意知：，
∴在中：，
∴．
设，则，
在中：，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查矩形与折叠的性质、菱形的判定、勾股定理等知识，掌握相关的线段与角的转化是解题关键，同时注意折叠的不变性处理．
27．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．

(1)若，求的度数；
(2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)的度数为
(2)矩形，理由见详解
【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴的度数为．
（2）解：如图所示，连接，点是上的一点，

∵四边形是矩形，
∴，，即，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，是的角平分线，
由（1）可知，，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，则，，
如图所示，连接，，过点作于点，

∵点是的中点，，
∴点是线段的中点，则，
∴在中，
，
∴，
∴，，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．
28．如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F.
（1）求证：FB=FD；
（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD;
（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得：AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，根据AAS可证△ABF≌△EDF，根据全等三角形的性质可证BF=DF；
(2)根据全等三角形的性质可证：FA=FE，根据等边对等角可得：∠FAE=∠FEA，根据三角形内角和定理可证：2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，所以可证∠AEF=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可证AE∥BD；
(3)根据矩形的性质可证：AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，根据SSS可证：△ABD≌△EDB，根据全等三角形的性质可证：∠ABD=∠EDB，根据等角对等边可证：GB=GD，根据HL可证：△AFG≌△EFG，根据全等三角形的性质可证：∠AGF=∠EGF，所以GH垂直平分BD.
【详解】解：（1）∵长方形ABCD，
∴AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，
在△ABF和△DEF中，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴BF=DF.
（2）∵△ABF≌△EDF，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，
∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD，
（3）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
在△AFG和△EFG中，
∠GAF＝∠GEF=90°，
FA=FE，
FG＝FG，
∴△AFG≌△EFG（HL），
∴∠AGF=∠EGF，
∴GH垂直平分BD.
【方法II】
（1）∵△BCD≌△BED，
∴∠DBC＝∠EBD
又∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴FB=FD.
（2）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，
又∵FB=FD，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，
∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD，
（3）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
∴△ABD≌△EDB，
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
又∵FB=FD，
∴GF是BD的垂直平分线，
即GH垂直平分BD.
29．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
（1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．

【答案】（1）四边形BFDG是菱形，见解析；（2）FG＝
【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定得到四边形BFDG是平行四边形，再根据折叠性质和平行线性质可得∠FBD＝∠FDB，进而可得DF＝BF，根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理可求得BO和BF的长，再根据菱形的性质和勾股定理即可求出FG的长．
【详解】解：（1）四边形BFDG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
由折叠性质得：∠EBD＝∠CBD，
∵AD∥BC
∴∠CBD＝∠FDB
∴∠FBD＝∠FDB，
∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
（2）∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5．
∴OB＝BD＝．
设DF＝BF＝x，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．
∴在Rt△ABF中，由AB2+AF2＝BF2得：32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即BF＝，
∵四边形BFDG是菱形，
∴BD⊥FG，
∴FO＝＝，
∴FG＝2FO＝．

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，是一道与平行四边形有关的综合题，难度适中，熟练掌握折叠的性质和特殊平行四边形的判定与性质是解答的关键．
30．综合与实践
问题情境：在“综合与实践”课上，老师出示如下问题，如图1，有一条矩形纸带，E，F分别是边上一点（不与端点重合）．将纸带沿所在的直线折叠，展开铺平，若直线将矩形的面积平分，试猜想与的数量关系，并加以证明．
数学思考：（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：（2）老师将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2，并让同学们提出新的问题．请解答各小组提出的问题．
①“善思小组”提出问题，若，时，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题，在①的基础上作平分交于点M，请直接写出，与的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）①，理由见解析；②．
【分析】（1）连接与交于点，判断出直线经过矩形的中心，得到，证明，据此即可证明；
（2）①由折叠的性质得，，利用，列式计算即可求得，利用直角三角形的性质即可求解；
②求得，，据此即可求解．
【详解】解：（1），理由如下，
连接与交于点，
∵直线将矩形的面积平分，
∴直线经过矩形的中心，
∴，
在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）①，理由如下，
作于点，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即；
②．
由①得，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
31．如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明；
（3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
（2）在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过H点作于点K，如图，

∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．
32．在四边形中，，，点是边的中点，连接、，．

(1)如图1，若，连接，求证：；
(2)如图2，点是边的中点；
①若，求的长；
②直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求，，，然后利用两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形是相似三角形即可得证；
（2）①过D作于M，交于N，连接，利用三线合一的性质求出，证明四边形是平行四边形，得出，利用三角形中位线定理得出∴，，可证，得出，设，则，，，证明，得出，可求，，然后利用勾股定理即可求解；
②过E作交于Q，可证，求出，证明，得出，设，则，，利用平行线分线段成比例可求，，则，，证明，可求，，，最后代入化简即可．
【详解】（1）证明：∵，，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①过D作于M，交于N，连接，
，
又，
∴，
又，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵F是中点，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②过E作交于Q，
，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴， ，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
33．
(1)如图①， 中，．点 是底边 上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且，连接，则
(2)如图②，中，．点是腰AB 上一点，连接，以为底边作等腰直角三角形，连接，求 的值．
(3)如图③，正方形的边长为，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．当正方形的面积为时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定方法可得，，由此即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定可得，由此即可求解；
（3）如图，连接，根据（2）的证明方法可得，，再根据正方形的面积可求出的值，由此即可求解
【详解】（1）解：已知 中，，等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）
解：∵是等腰直角三角形,中,，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
解：的长为，理由如下，
如图所示，连接，
根据题意可得，和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的面积为，
∴，
在中，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
34．△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，F是BD的中点，连接CF、EF．
(1)如图1，当点D、E分别是线段AC、AB上的点时，求∠EFC的度数；
(2)如图2，当点E是线段AC上的点时，求证：EF＝CF；
(3)如图3，当点A、E、F共线且E是AF的中点时，探究S△BCF和S△ABF之间的数量关系；
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)1：2
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质即可解决；
（2）延长EF交BC于点G，易证△DEF≌△BGF，则可得EF=GF，再由直角三角形斜边上中线的性质即可得EF=CF；
（3）连接CD，易得△ADF是等腰直角三角形，从而可证得△ACD∽△ABF，由相似三角形的性质及已知易得四边形CDEF是正方形，从而可得△ACD≌△BCF，即△BCF∽△ABF，由相似三角形面积的比等于相似比即可求得结果．
【详解】（1）∵∠AED=∠ACB=90゜，点F是BD的中点
∴FE、FC分别是直角△DCB、直角△DEB斜边上的中线
∴FE=FB=FC=FD
∴∠DBE=∠BEF，∠DBC=∠BCF
∴∠DFE=2∠DBE，∠DFC=2∠DBC
∵BC=AC，∠ACB=90゜
∴∠ABC=∠DBE+∠DBC=45゜
∴∠EFC=∠DFE+∠DFC=2∠DBE+2∠DBC=2(∠DBE+∠DBC)=90゜
（2）延长EF交BC于点G，如图2
∵∠AED=∠ACB=90゜
∴DE∥BC
∴∠EDF=∠GBF
∵F是BD的中点
∴DF=BF
∴∠DFE=∠BFG
∴△DEF≌△BGF
∴EF=GF
即点F是线段EG的中点
∴FC是直角△ECG斜边上的中线
∴EF=CF
（3）连接CD，如图
∵∠AED=90゜即DE⊥AF，E是AF的中点
∴DE垂直平分线段AF
∴AD=FD
∴∠DFA=∠DAE=45゜
∴△ADF是等腰直角三角形，且∠ADF=90゜
∴
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90゜
∴
∴
∵∠DAF=∠CAB=45゜
∴∠DAC=∠FAB
∴△ACD∽△ABF
∴∠DCA=∠FBA，∠ADC=∠AFB，
∵∠DFA=45゜
∴∠ADC=∠AFB==135゜
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=135゜−90゜=45゜
∴∠CDF=∠DFA=45゜
∴CD∥EF
在等腰直角△DEF中，
∵F是BD的中点
∴
由得：
∴CD=EF
∴四边形CDEF是平行四边形
∵DE=EF，∠DEF=90゜
∴四边形CDEF是正方形
∴CD=CF，∠DCF=90゜
∴∠DCA+∠ACF=∠ACF+∠FCB=90゜
∴∠DCA=∠FCB
∵AC=CB
∴△ACD≌△BCF
∵△ACD∽△ABF
∴△BCF∽△ABF
∴
即
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．构造适当的辅助线是本题的难点．
35．如图1，在中，，，D是上一个动点，连接，以为边向右侧作等腰直角，其中．

(1)如图2，G，H分别是边，的中点，连接，，．求证：；
(2)在点D从点B向点C运动过程中，求周长的最小值；
(3)如图3，连接，直接写出当为何值时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)0或或2
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）先确定周长的最小值时，E的位置，作点B关于直线的对称点N，连接交于点，此时′就是所求周长最小的；证明四边形是正方形，根据，得，知点E在射线上，利用勾股定理求的长，根据周长定义可得结论；
（3）分三种情况：①当B与D重合时，即，如图3，此时；②当时，如图4，此时E与C重合，可得的长；③当时，如图5，作辅助线，构建等腰直角三角形和全等三角形，证明,和是等腰直角三角形，则，根据（1）得：，且，可计算的长．
【详解】（1）证明：如图2，由题意知和都是等腰直角三角形，
∴．
∵H为中点，
∴．
∴．
∴．
在等腰直角和等腰直角中，
，．
∴，
∴；
（2）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接，如图6，

此时，，，．
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
在等腰直角和等腰直角中，
，．
∴．
∴．
∴
∴点E在射线上，
作点B关于直线的对称点N，连接交于点E′，
∵，
∴就是所求周长最小的．
在中，
∵，，
∴．
∴周长最小值为．
（3）解：分三种情况：
①当B与D重合时，即，如图3，此时；

②当时，如图4，此时E与C重合，

∴D是的中点，
∴；
③当时，如图5，过E作于H，交于M，连接，过E作于G，连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得：，且，
∴， ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、全等与相似三角形的判定和性质、勾股定理，最短路径问题等知识点，有难度，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意利用分类讨论的思想解决等腰三角形的问题．
36．如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以BC为底作等腰直角三角形△DBC，再以AD为直角边作等腰直角三角形△ADE，连接BE、CE，BE与AC交于点O．
(1)求证：BE⊥AC；
(2)如图2，G、F分别是BC、AE的中点，求的值；
(3)如图3，连接QD，若OD=4，求△COE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)=；
(3)△COE的面积=2．
【分析】（1）证明△BDE≌△CDA，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）取CE的中点H，连接GH、FH，根据三角形中位线定理得到GH∥BE，GH=BE，得到GH=FH，GH⊥FH，根据勾股定理计算，得到答案；
（3）作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，证明△BDE≌△BDA，得到∠BDE=∠BDA=135°，证明△OCD∽△ODE，根据相似三角形的性质求出OC•OE，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠CDB=∠EDA=90°，
∴∠EDB=∠ADC，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴∠DBE=∠DCA，
∵∠BDC=90°，
∴∠COB=90°，即BE⊥AC；
（2）解：取CE的中点H，连接GH、FH，
∵点G是BC的中点，
∴GH∥BE，GH=BE，
同理，FH∥AC，FH=AC，
∵△BDE≌△CDA，
∴BE=AC．
∵BE⊥AC，
∴GH=FH，GH⊥FH，
∴△HGF为等腰直角三角形，
∴GF=GH，
∵GH=BE，
∴GF=BE，
∵AB=AC，
∴BE=AB，
∴=；
（3）解：作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
在△BDE和△BDA中，
，
∴△BDE≌△BDA（SSS），
∴∠BDE=∠BDA=135°，
∴∠CDE=135°-90°=45°，即∠ODC+∠ODE=45°，
∵△BDE≌△CDA，
∴DM=DN，又DM⊥BE，DN⊥AC，
∴OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=45°，
∴∠COD=∠EOD=135°，
∴∠OCD+∠ODC=45°，
∴∠ODE=∠OCD，
∴△OCD∽△ODE，
∴，即OC•OE=OD2=4，
∴△COE的面积=×OC•OE=2．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等和相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
37．如图1，二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)正确，
【分析】
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线解析式，然后通过设点坐标，并表示对应点坐标，从而利用“割补法”计算的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，根据已知信息求出，然后推出，从而在中求出，确定出点坐标，再求出直线解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点的坐标即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将，代入解得：，
∴直线解析式为：，
此时，如图所示，作轴，交于点，

∵点P在二次函数对称轴上，
∴设，则，
∴，
∴，
∵要使得面积为5，
∴，解得：或，
∴的坐标为或；
（3）解：正确，，理由如下：
如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，

由（1）、（2）可得，，
∴，，
根据抛物线的对称性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将、代入解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得：或（不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．
38．如图所示，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线上方，试求出面积的最大值；
(3)点E是线段上异于B，C的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G．当为直角三角形时，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为
(3)
【分析】（1）将点和点代入即可得到抛物线解析式；
（2）过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P横坐标为m，则，，求出，即可求出答案．
（3）分情况讨论，分当时和当时两种情况，依次进行讨论．
【详解】（1）由题意知：，
解得，
．
（2）设直线BC解析式为过点，
，解得．
．
过点P作轴，垂足为M，交于点D

设点P横坐标为m
则，．
，
抛物线开口向下．
当时，有最大值为．
（3）解：
①如图1，当时，轴，

C与G关于对称轴：直线对称，
点．
②如图2，当时，过G作轴，垂足为F．

，
．
．
．
设，则G为
．
解得（不合题意，舍去），．
点．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，分类讨论是解答本题的关键．
39．如图1，抛物线经过点，，交y轴于点C﹔

(1)求抛物线的解析式；
(2)D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)点Р为该抛物线对称轴上一点，
①如图2，当取得最小值时，求出Р点坐标；
②如图3，当取得最小值时，请直接写出Р点坐标．
【答案】(1)
(2)3
(3)①；②
【分析】(1)根据抛物线经过点，代入即可求得该抛物线的解析式；
(2)根据(1)中的抛物线解析式可以得到点D的坐标，过点C作x轴的垂线，交直线于点E，求出点E的坐标，然后即可计算出的面积；
(3)①根据点关于该对称轴的对称点为，连接，交对称轴于点F，找到取最小值时的位置，进而即可得解；②设对称轴与x轴交于N点，连,过B点作交于点，过点作，利用三角函数将转换成，进而即可得解．
【详解】（1）∵抛物线经过点，，
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
（2）∵
∴
如图，过点C作x轴的垂线，交直线于点E，

则
直线为：，E点坐标为，
（3）如图：

①抛物线的对称轴为：直线
点关于该对称轴的对称点为
连接，交对称轴于点F，
直线为：，
，
此时，F坐标为，即当取得最小值时，
点坐标为
②如图，设对称轴与x轴交于N点，连,过B点作交于点，过点作
∵，
∴
∴
∴在和中，
∴
∴
∴当M与重合时最小，
∴与对称轴的交点就是所求作的点P
在和中，
∴
∴
∴
∴点坐标为

【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积，三角函数，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
40．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
【答案】(1)
(2)30
(3)
【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．
（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案．
（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；

（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，

∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．
41．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)设是在第一象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)30
(3)
【分析】（1）将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
（2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
（3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴，解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）过D作于N，作于M，
，
根据，则顶点的坐标为，
；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图．
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵．
∴，即，
∴．
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，
则过B、E的直线的解析式为，
令，解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形．
42．平面直角坐标系中，已知抛物线（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．
(1)当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线的顶点，令的面积为S，
①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；
②当时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)①当时，；当，；当 时， ；当时，；②或
【分析】（1）将点（2，2）代入，求出m即可确定函数的解析式；
（2）过D点作轴交于E，过A点作交于F，由题意可知，求出，设，求出t的值即可求D点坐标；
（3）①求出P，，定点，设AC的解析式为求出，再画出函数图象结合函数图象分类讨论即可；
②对①中求出的解析式分别进行求解即可．
【详解】（1）将点（2，2）代入，
即：，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
令，则，
∴或，
∴A（1，0），B（4，0）；
（2）如图1，过D点作轴交于E，过A点作交于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵A（1，0），
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得（舍）或，
∴D（，）；
（3）①∵，
∴P，
令，则，
∴，
令，则，
解得或，
∴定点A（1，0），B（m，0），
设AC的解析式为，
∴，
解得，
∴，
如图2，
当时，；

如图3，
当时，，
＝×（﹣m）×＋×（1﹣）×﹣×1×（﹣m）
；
如图4，
当时，设对称轴与直线AC交于点M，
∴M（，），
∴，
∴；
如图5，
当时，过点C作交于点M，
∴M（，），
∴
；
综上所述：当时，；当，；当 时， ；当时，；
②当时，
解得；
当，，
此时m无解；
当时，，
此时m无解；
当时，，
解得；
综上所述：当时，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
E
F
G
E
（E，E）
（F，E）
（G，E）
F
（E，F）
（F，F）
（G，F）
G
（E，G）
（F，G）
（G，G）
组别
成绩x (分）
频数