【冲刺2024数学】中考真题（2022山东济宁）及变式题（山东济宁中考专用）解答题部分

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一、解答题
1．已知，，求代数式的值．
【答案】－4
【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．
【详解】
故代数式的值为．
【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
2．先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先将分式的分子与分母分解因式，约分得最简结果，再计算，整体代入化简即可
【详解】解：
∵，，
∴，，
∴原式
3．已知：，，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
4．已知：．求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，，
，
∴
．
5．已知，．
(1)求和ab的值；
(2)求的值；
(3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值．
【答案】(1)，
(2)16
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）直接把，代入计算即可；
（2）把变形为，再整体代入计算即可；
（3）先判断，，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）由（1）得：，，
∴；
（3）∵a的小数部分是x，
∴，
∵b的整数部分是y，
∴，
∴．
6．（1）已知，求代数式的值；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），．
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是：
（1）先求出，的值，然后把变形为，然后整体代入计算即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，然后约分，最后把x的值代入计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴
；
（2）
，
当时，原式．
7．6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25
(2)见解析
(3)88.125分
(4)图表见解析，
【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”和频率之和为1可得答案；
（2）用总人数减去其他组的人数即为到组人数，即可补全频数分布直方图；
（3）利用平均数的计算公式计算即可；
（4）列出树状图即可求出概率
【详解】（1）解：由图表可知：，
（2）解：由（1）可知，到组人数为（人），
频数分布图为：
（3）解： （分）
（4）解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种．
∴每一组各有一名学生被选到的概率为．
【点睛】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及方法是解题的关键．
8．某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．
学期末抽取学生成绩统计表
分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；
(2)假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？
(3)已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．
【答案】(1)，，，补全条形统计图见解析；
(2)估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
(3)含有一名女同学的概率为．
【分析】（）利用学期初组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出的值，利用众数的定义，出现了次，出现次数最多，从而得到的值；利用学期末组满分分有人，分有人，则根据中位数的定义可确定的值，然后计算出学期初组人数，从而补全条形统计图；
（）用分别乘以样本中学期末和学期初成绩优秀的学生人数的百分比，然后求它们的差即可；
（）列表展示所有种等可能的结果，再找出含有一名女同学的结果数，然后根据概率公式计算；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【详解】（1）调查学生的总人数为 （人），
∴，，
学期末组有人，其中满分分有人，分有人，；
学期初B组人数为 (人)，补全条形统计图为：
（2）(人),
答：估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
（3）列表为:
共有种等可能的结果，其中含有一名女同学的结果数为种,
所以含有一名女同学的概率为．
9．某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

(1)根据以上信息可知：___________，___________，___________，__________．
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数 ；
(4)若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
【答案】(1)，，，；
(2)见解析；
(3)估计该校1000名学生中“基本了解”的人数约400人；
(4)抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率，也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．
（1）由“了解很少”的人数及其对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得的值，由频率=频数总人数可得、的值；
（2）根据以上所求结果即可补全条形图；
（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可；
（4）名学生中3名男生分别为，一名女生为，列表得出所有等可能结果，从中找到抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的结果数，求出其概率即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）补全条形图如下：

（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），
答案：400；
（4）记4名学生中3名男生分别为，，，一名女生为B，列表如下：
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共6种等可能结果．
∴P（抽到两名学生均为男生），
抽到一男一女包含：、、、、、共六种等可能结果．
∴P（抽到一男一女），
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
10．某校为了预防“校园欺凌”，对本校的所有学生进行校园安全教育，并对学生进行了安全教育测试（满分100分），将成绩得分用x表示，根据得分将成绩分为A．；B．；C．；D．四个等级．现选取部分学生的测试成绩，并绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题．
(1)共选取了__________名学生；在扇形统计图中，B等级所对应扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图．
(2)若该校共有2000名学生，请估计成绩位于D等级的学生人数．
(3)若成绩位于A等级的4名学生中有1名来自七年级，其余3名来自九年级，现从这4名同学中任选2人，求其中一名是七年级学生，另一名是九年级学生的概率．
【答案】(1)50；，补全条形统计图见解析
(2)估计成绩位于D等级的学生共有640人
(3)
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联，利用D等级数据即可得到答案；再由B等级人数所占比例即可得到B等级所对应扇形圆心角的度数，从而补全条形统计图；
（2）利用样本中成绩位于D等级的学生人数占比即可估计该校共有2000名学生的情况；
（3）根据题意，列表得到所有等可能的结果，由概率公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中D等级数据可得（人）；
则B等级所对应扇形圆心角的度数为；
C等级的学生人数：人，
补全条形统计图如下：
（2）解：该校共有2000名学生，则成绩位于D等级的学生人数为（人），
估计成绩位于D等级的学生共有640人；
（3）解：设七年级学生为，九年级学生分别为，列表如下：
由表可知，所有等可能的情况有12种，其中一名是七年级学生，另一名是九年级学生的情况有6种，则．
【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图的数据关联求样本容量、某项对应扇形圆心角的度数、由样本估计总体、补全条形统计图、列举法就概率等，熟练掌握统计图表及列举法求概率的方法是解决问题的关键．
11．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立，小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）
b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(2)直接写出“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据中位数；若以各组的组中值代表各组的实际数据，求出“华罗庚数学奖”得主获奖时年龄数据的平均数（结果保留整数）；
(3)小华准备从“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在和这两组中任意选取两人了解他们的数学故事，求选取的两人年龄正好在同一组的概率．
【答案】(1)见解析
(2)69，71
(3)
【分析】本题考查统计图，求中位数，平均数，树状图法求概率：
（1）用年龄在这一组的人数除以所占的比例求出总数，进而求出的人数，补全直方图即可；
（2）根据中位数的定义，平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
∴的人数为，
补全直方图如图：
（2）将数据排序后，第15个和第16个数据均为：69，
∴中位数为69；
平均数为：；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，
画出树状图如图：
共有20种等可能的结果，其中两人是同一组的结果有8种，
∴．
12．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______；
(3)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
(4)政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】(1)见解析
(2)20，144°；
(3)估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名
(4)
【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据D组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以C的百分比求出人数,然后补全条形统计图即可；
（2）用A的人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用乘以百分比得到圆心角的度数；
（3）用A加B的人数和与60的比乘以2000即可得到答案；
（4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
．
（2）解：组所占的百分比为：，
，
圆心角的度数为：．
故答案为：20，144°．
（3）解：（名）．
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
13．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OF，证明，可得，根据矩形的性质可得，进而即可得证；
（2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF．
，
，
四边形是矩形，
∴DF与半圆相切.
（2）解：连接，
，，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，
矩形的面积为
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，由圆的基本性质可得，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而证明，，即可证明是的切线；
（2）连接，交于H，易证四边形是矩形，，因此只需求出即可，由垂径定理可得，可得是的中位线，进而求出，．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵D在⊙O上，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，交于H，
∵是的直径，
∴，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键．
15．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，，过圆心作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定：
（1）连接，由是的直径，得到，再由等边对等角推出，进而得到，据此即可证明结论；
（2）先证明，得到，求出，得到，设，由勾股定理得，解得或（负值舍去），再解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（负值舍去），
∴，
∴．
16．如图，为的直径，C为上一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，．求的长度．
【答案】(1)见解析;
(2)．
【分析】（1）根据圆周角定理以及推论，知道，结合角平分线的性质，知道，从而推出，最后利用平行线的性质，得到，得证；
（2）由得到，易证，得到，从而得到，通过同弧所对的圆周角相等可以知道的度数，再结合平行，推出的度数，以及，然后利用三角形内角和算出和的度数，最后结合弧长的计算公式算出答案．
【详解】（1）为直径，
，
平分，
，
又，
，
又为半径
为的切线
（2）
在和中
，
，
又
的长度为
【点睛】本题考查了切线的证明，弧长的计算，全等三角形的证明，圆周角定理以及推论，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由角平分线的意义及等腰三角形性质得，再由垂直条件即可完成；
（2）易得，得的长度，再证是等边三角形，即可求解；
（3）设，则可得，则由勾股定理得；证明，由相似三角形的性质求出x的值，即可求得结果．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：是直径，
，
，
，
在中，，
，
，，
为等边三角形，
，
．
（3）解：设，则，，
在中，，
为直径，
，
而，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、含度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18．如图1，为的直径，为圆弧上的一点，，垂足为，平分，的延长线交直线于点.

(1)求证：是的切线；
(2)若，为的中点，，垂足为点，求的长；
(3)如图2，连接交于点，若，求的值.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，由等边对等角结合角平分线的定义推出得到，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）求出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案；
（3）连接，证明，，得出，，设半径为，，求出，由勾股定了得出，再由正切的定义计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
，
，
为的中点，
，
由（1）可得，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，

由（1）可得，
，，
，，
设半径为，，
，
解得：，
，
，
．
19．某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①；②t＝4时，w最小＝22 700元
【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）①．
②
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
20．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
(1)求树苗基地每捆种树苗的价格．
(2)树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆；
（2）解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，
∵
解得：
∵，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为
21．同学们都知道随着海拔高度的上升温度在不断的降低．那地表以下岩层的温度随着深度的增加会怎么变化呢？科学家们做过一次试验，发现地表以下岩层的温度与所处的深度的变化情况如下表所示：
（己知温度与所处的深度满足一次函数关系式）
(1)根据上表的数据，请你写出与之间的函数关系式．
(2)某种岩石在温度达到时，会融化成液体，请问这种岩石处在地表下多少千米时就会变成液体？
【答案】(1)
(2)这种岩石处在地表下千米时就会变成液体
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把代入中得：，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴这种岩石处在地表下千米时就会变成液体．
22．为丰富学生体育活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价八折出售；
乙：一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款，超过其一定金额的部分享受打折优惠．
设需要购买体育用品的原价总额为元，实际付款为元，其函数图象如图所示．
当时，在甲、乙两个专卖店购买商品实际付款相同．
(1)当时，________．
(2)当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，求与之间的函数关系式，并直接写出打几折出售．
(3)当在甲、乙两个专卖店一次购买商品的原价总额相同，而实际付款相差20元时，直接写出的值．
【答案】(1)480
(2)，打七折出售
(3)100，400，800
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据“甲专卖店所有商品按原价八折出售”计算即可；
（2）根据“乙专卖店一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款”，求出当时对应该图象上的值，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，根据的系数可直接写出打几折出售；
（3）分别求出甲、乙两个专卖店与之间的函数关系式，根据实际付款的差值列绝对值方程并求解即可．
【详解】（1）解：当时，．
故答案为：480．
（2）解：根据题意，当时，对应乙图象上．
当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，设与之间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，与之间的函数关系式为，打七折出售．
（3）根据题意，在乙专卖店一次购买商品没有打折优惠时，，
在乙专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为；
根据题意，在甲专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为．
当时，，解得；
当时，，解得或．
的值为100、400或800．
23．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等．
(1)求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？
【答案】(1)甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元
(2)最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为w元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种树苗的单价分别为x元，y元．
由题意得：
解得：
答：甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元．
（2）解：设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，总费用为w元
由题意得：
解得：
，
w随m的增大而增大，
又，且m为整数，
当时，w取得最小值，最小值为．
答：最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元．
24．某农户准备在一个大棚里种植甲、乙两种水果．实际种植中，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积的函数关系如图所示，乙种水果的种植费用为每平方米20元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)甲、乙两种水果种植面积共，其中，甲种水果的种植面积x满足，怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？
【答案】(1)
(2)应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是和，才能使种植总费用最少，最少总费用为元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设种植费用为W元，根据题意可得甲种花卉种植为，则乙种花卉种植，然后分别求出两种花卉的费用，求和得到W关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，设，
把代入中得：，
解得，即；
当时，设，
把，代入中得：
，
解得，
∴，
综上所述，；
（2）解：设种植费用为W元，
根据题意可得甲种花卉种植为，则乙种花卉种植
∴．
，
∴随的增大而减小，
当 时．元，
当甲的种植面积为时，总费用最少，最少总费用为元．
此时乙种花卉种植面积为．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是和，才能使种植总费用最少，最少总费用为元．
25．知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】(1)，证明见解析
(2)米
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB，
AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可．
【详解】（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，
．

．
．
．
．
（2）（解答问题）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．
26．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算：______；
(2)对于，的正对值的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，
底边腰长，
故答案为：1；
（2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，
的正对值的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：如图：
在中，，
令，则，，
在上取点，使，连接，作，为垂足，
∴，
，，
．
27．【问题情境】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
【问题设置】把筒车抽象为一个半径为的，如图2，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点处．
【问题解决】

(1)求的度数；
(2)求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角函数的定义．
（1）先求出旋转速度，然后根据旋转时间求出结果即可；
（2）过点，点A分别作的垂线，垂足分别为点，，解直角三角形先求出（米），（米），最后求出结果即可．
【详解】（1）解：筒车每旋转一周用时120秒，
每秒转过，
经过95秒后转过，
．
（2）解：过点，点A分别作的垂线，垂足分别为点，，如图所示：

在中，，米，
（米）．
在中，，米，
（米），
（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
28．综合与实践
问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．
操作：
探究：
(1)如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
(2)如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长．
(3)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值 ．（结果保留根号）
【答案】(1)不赞同，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了，勾股定理，锐角三角函数的应用，充分理解题意正确列式是解题的关键．
（1）连结，根据勾股定理，求出的长，与比较大小，即可求解，
（2）过点作的平行线，交过道两侧分别于点、，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，
（3）根据勾股定理，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，
【详解】（1）
解：如图，连结，由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，故答案为：不赞同．
（2）
解：如图，过点作的平行线，交、分别于点、，
，
，
，
，
答：的长为．
（3）解：当，时，物品能通过直角过道．
当，时，
，
同理，
此时，，
故答案为．
29．已知的三个内角，，的对边分别为，，．
观察：若，
则有，．
．
模仿：已知，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积．
（1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解；
（2）先求出c的值，由边角关系求出，根据即可求解．
【详解】（1）解：由观察可知，，
，
；
（2）解：，
由观察得，
，
，
又由观察得，
，
．
30．通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化. 类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）. 如下图在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA，这时. 我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60º=_____________；sad90º=________________．
（2）对于，的正对值sadA的取值范围是_____________．
（3）试求sad36º的值.
【答案】（1）1， ；（2）0＜sadA＜2；（3）sad36°=．
【详解】试题分析：
（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出等腰△ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答．
试题解析：
（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°==1．
根据正对定义，
当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，
则三角形为等腰直角三角形，
则sad90°==
故答案为1， ．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，
∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴，
∴，
解得:BC=CD，
∴sad36°=．
考点：解直角三角形．
31．已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】(1)
(2)n＝2
(3)见解析
【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；
（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；
（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴
∴∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，
当y＝0时，，
解得：或，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．
∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），
∴n+1＝－n2+2n+3．
解得：n＝2或n＝－1（舍去）．
故n的值为2.
（3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）
点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），
抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，
∴点E的坐标为（2，3）．
∴点G的坐标为（1，3）．
设直线BE解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴y＝x+1．
当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．
∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．
∴四边形CDEF为矩形．
又∵CE⊥DF，
∴四边形CDEF为正方形．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．
32．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求b，c的值；
(2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b的值为，c的值为3
(2)存在，或或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求解即可；
（2）求出平移后的解析式，求出点坐标，根据菱形的性质，分3种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）把点和点代入，得：
，解得：；
∴b的值为，c的值为3；
（2）存在；
由（1）知：，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，得：，
∴，
∵
∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为，
联立：，解得：，
∴，
设，
∵，
∴，，，
①当时，，解得：或，
∴或，
由中点坐标公式可得：或；
②当时，，解得：（舍去）或，
∴，
由中点坐标公式可得：；
③当时，，解得：，
∴，
由中点坐标公式可得：；
综上：或或或
33．抛物线：交y轴于A点，点B为点A上方y轴上一点，将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C，交抛物线于点D，E．
(1)如图①，当点B坐标为，求出此时抛物线的表达式；
(2)如图②，顺次连接A，E，C，D四点，请证明四边形为菱形，并说明当m为何值时四边形为正方形；
(3)如图③，过点B作直线l：交抛物线，于P，Q，M，N，若在点B的运动过程中始终保持，求出此时k和m的数量关系.
【答案】(1)
(2)见解析，时，四边形为正方形
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法求解析式、菱形的性质、二次函数与一元二次方程综合等知识点，掌握相关知识点是解题关键
（1）根据求出A坐标为，进而得即可求解；
（2）联立，可得，；根据四边形为菱形当时，四边形为正方形即可求解；
（3）分别联立l，，联立l，可得，，，，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵：
∴A坐标为
∵B坐标为
∴
∴：
（2）解：∵A坐标为，B坐标为
∴
∴：
联立，
得
解得，
∴，
∴D，B，E共线且
∴四边形为菱形
当时，四边形为正方形
即
解得（舍），
∴时，四边形为正方形
（3）解：联立l，
得
解得，，
联立l，
得
解得，，
∵
∴
∴
∴
∴
34．如图，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，以为对称轴的抛物线与x轴分别交于点A、C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接，交于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与相似时点P的坐标；
(3)点M是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）先根据直线方程可求出点坐标，由抛物线的对称性可以求得点的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当时，∽．此时点在对称轴上，即点为抛物线的顶点，坐标为；②当时，∽．过点作于点，则∽．根据相似三角形的对应边成比例列出关于的一元二次方程：，通过解该方程可以求得t的值；
（3）需要分类讨论：以为边和以为对角线时的平行四边形．
【详解】（1）解：令，得，
∴点坐标为，
∵抛物线的对称轴为，
∴点的坐标为，
∴抛物线的解析式为：，
（2）解：∵抛物线的对称轴为，
∴点的坐标为，
当时，∽．
此时点在对称轴上，
即点为抛物线的顶点，坐标为；
当时，∽．过点作于点，则∽．
则有，
∴，
即：，
解得(不合题意，舍去)，
当时，，
此时点坐标为，
综上所述，点的坐标为， ；
（3）解：如图当为一条边时，如图作垂直于抛物线的对称轴于，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又，，
∴≌，
∴，
则点横坐标为2，此时，
点坐标为；
如图，当为一条边时，过作垂直轴于，作垂直于于，
有，点的横坐标为为，则，
此时点坐标为，
如图，当为对角线时，过作轴的垂线，过作垂直于这条直线于，过作垂直于轴于，
则有，则点横坐标为，此时，
此时点坐标为．
故在抛物线上存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
35．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
(1)直接写出直线的解析式；
(2)如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若，求点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别交x轴交于P，Q两点，若，求点H的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先根据抛物线解析式求出A，B，C坐标，再根据待定系数法即可求出直线的解析式．
（2）过点作轴交于，过点作轴交延长线于，
得出，根据相似三角形的性质和得出，设，得出，，即可列方程求解；
（3）设，联立和，得出，联立和，得出，从而得出，求出，，即可化简求解；
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，
令，则，故，
令，则，解得：或，
故，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，
解得：，
故直线的解析式为．
（2）解：过点作轴交于，过点作轴交延长线于，
∴，
，
∵，
，
由，得，直线，
设，
则，
将代入直线的解析式得，
，
∵，
，
解得：，
∴点坐标为或；
（3）解：将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，则抛物线解析式为，故，，
设，
则和，
联立得，
则，
设和，
联立得，
则，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
即，
同理可得，
∴，
∴，
，
∴，
解得：，
．
【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的解析式求解，相似三角形的性质和判定，二次函数与一次函数交点问题等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
36．如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值，
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作，交y轴于点F，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，，根据，利用三角形相似的性质得到，进而得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由点B，点C的坐标得出的长，原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T在x轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
拋物线的解析式为：；
（2）解：如图，过点B作，交y轴于点F，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
在中，令，则，
或，
，
，
也是等腰直角三角形
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，，
当时，由最大值，最大值为，
取得最大值，此时；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，，
∴，，
∴，
∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线，
，
∴，
如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得：，
解得：或（与点N重合，舍去），
；
如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K，
同理得，
，，
，
，
设，则，
，即，
整理得：
解得：或（与点N重合，舍去），
；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
37．如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
(1)填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
(2)当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)①点D坐标为；②存在，
【分析】（1）根据题意易得∠AOB=60°从而∠AOC=30°和∠CDA=60°，根据tan30°求得AC的长，再根据sin60°求得AD的长，当OA=AD和OD=OA时分情况讨论，即可得到OD的长，从而得到D点坐标；
（2）①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝－a，易证，从而得出，代入即可得到m与a的函数关系，化为顶点式即可得出答案；
②作FH⊥y轴于点H，得到ACPDFHx轴，易得，，易证得出，即，设，则，通过证得得出，代入即可得到n的值，进一步得到m的值．
【详解】（1）∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，
∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，），
∴OC=，
∴，
当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，
∴∠CDA=60°，
∴，
∴，
∴D的坐标为，
当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，,
∴OD=OA=2，
∴点D坐标为（0，2），
故答案为：或（0，2）；
（2）①解：设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝－a，
∵△AOB是等边三角形，
∴，
∴，
在RtΔAOC中，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴当时，m的最大值为；
∴m的最大值为时，点D坐标为；
②存在这样的m值，使BE＝BF；
作FH⊥y轴于点H，
∴ACPDFHx轴，
∴，，
，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得： 或 ，
当时，点P与点A重合，不合题意，舍去，
当时， ，
存在这样的m值，使BE＝BF．此时 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用，解题的关键是得出二次函数的关系式，是对知识的综合考查．
38．如图1，已知函数经过两点．
(1)求B点的坐标；
(2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式；
(3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，得，求解即可；
（2）令，得，得，，，再根据即可求解；
（3）由勾股定理得，过点作轴，根据，，得，在上取，过点作轴交于，则，，可知，可证四边形是矩形，得轴，，，由，知，则，进而可知，可知平分，由平分，可知点与点重合，得，，设，则，，由勾股定理可得，，列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式为：，的解析式为：，联立，即可求解得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，解得：，
∴点的坐标为；
（2）当时，，则，
∴，，
∵点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，
∴，则，
则的面积，
∴；
（3）在中，，
∴，
过点作轴，
∵，即，
又∵，
∴，
在上取，过点作轴交于，则，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴轴，，，
又∵，
∴，则，
∵轴，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴点与点重合，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
则，，，
设的解析式为：，代入，，可得，解得：，
∴的解析式为：，
同理，的解析式为：，
联立，解得：
故点的坐标为．
【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键．
39．在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点，在上取一点，若，以，为邻边作菱形，则菱形为的相关菱形，称为的相关菱角，的对边称为的相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表轴．
例如：如图，，，，则菱形为的相关菱形，为的相关菱角，的对边为的相关菱边．

(1)若菱形是的相关菱形，则的相关菱角的度数是______；
(2)若菱形是的相关菱形，当点在的相关菱边上时，求的值；
(3)当的相关菱边与（其中）的相关菱边都经过点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)或
(2)的值为
(3)
【分析】本题考查了正比例函数与菱形的性质，勾股定理的应用；
（1）根据题意得出两条直线为，，则或；
（2）先得出点是菱形的一个顶点，根据题意画出图形，即可求解；
（3）根据新定义，设，勾股定理求得，进而分为边和对角线两种情况求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：菱形是的2相关菱形，
∴两条直线为，，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：到原点距离为，
∵菱形是的4相关菱形，
∴点是菱形的一个顶点，
如图，点F在直线上，即，
解得：，

如图，点E坐标，则点在直线上，即，
解得：，

∴的值为；
（3）∵点与原点的距离为，
如图所示，菱形，的对边分别为，设,当在相关菱边上时，如图所示，当在上时，则，此时取得最大值，
当在菱形的对角线上时，且菱形为正方形时，菱形的边长最小，即取得最小值的临界值（取不到最小值），如图所示，菱形，的对边分别为，
∴
∵，又，要使经过点，则，即
∴．
40．在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．
【答案】(1)，；
(2)的值不会发生变化，理由见解析；
(3)．
【分析】（）由，，则，故有，，然后证明可得，从而求解；
（）延长交于点，证明，则，再证明即可求解；
（）过点作分别交，于，，则四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证，得，设，则，，，求出的值，最后通过勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）的值不会发生变化，理由如下：
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作分别交，于，，则四边形是矩形，

∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， 分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
41．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系；
（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系；
（3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：结论：，
理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，与交于点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为6．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．
42．在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）；
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)证明见解析
(3)存在，点的坐标或
【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可．
（2）设的交点为点，先根据SAS证明 ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”．
（3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可．
【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等．
故①不正确．
∵“双直四边形”的对角线互相垂直，
∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半．
故②正确．
∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的的平行四边形是正方形．
∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
故③正确．
故答案为：②③；
（2）证明：如图，设与的交点为，
∵四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为“双直四边形”．
（3）解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为
∵，，
，
即，
，
解得，
，
是的中点，
，
设直线的解析式为则

解得
∴直线的解析式为
设，
①当时，则，
，
则；
②当时，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
此时点坐标还是；
③当时，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∵，，
∴，
∴，
整理得，
，
当时，，
此时在第四象限，不符合题意．
当时，，
此时在第一象限，符合题意．
综上，或．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数等知识，综合性较强，题目难度较大．熟练掌握以上知识以及分类讨论思想是解题的关键．
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
学生成绩
组
组
组
组
组
人数
平均数
中位数
众数
学期初抽取学生成绩
学期末抽取学生成绩
男
男
男
男
女
女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
女
女男
女男
女男
女男
女女
女
女男
女男
女男
女男
女女
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
B
B
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
岩层深度
1
2
3
4
岩层温度
60
95
130
165
步骤
动作
目标
1
靠边
将如图1中矩形的一边靠在上
2
推移
矩形沿方向推移一定距离，使点在边上
3
旋转
如图2，将矩形绕点旋转
4
推移
将矩形沿方向继续推移