人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题15矩形正方形翻折模型-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题15矩形正方形翻折模型-原卷版+解析，共30页。
【模型讲解】
一、折在外
◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？
结论：，
【证明】矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，在中，
，即，
∴，即，
∴，，
∴．
【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？
结论：AF＝FC
【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝5，
即AF＝5，
二、折在里
【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF

【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE
∴AE＝AD，EF＝DF，
∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF
方法总结：翻折前后的图形是全等图形，找到对应边和对应角，同时会出现角平分线，内错角之类，也会出现等腰三角形等特殊图形，求线段的长，转化为同一个直角三角形中即可求解。
1．（2023春·福建·八年级期中）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A．是等腰三角形B．
C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．
3．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点M，若，，则的长为（ ）
A．B．8C．6D．
4．（2023春·江苏徐州·八年级徐州市第二十六中学校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A．1.5B．2C．3D．3.5
5．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
6．（2023春·全国·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处．
(1)若P为上一点．
①如图1，当点E落在边上时，求的长；
②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．
7．（2023春·广东东莞·九年级阶段练习）如图，已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，求的长．
8．（2023春·全国·八年级期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当点E是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
9．（2023春·湖南长沙·八年级期中）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
10．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现把矩形纸片沿对角线折叠，点 落在点处，交于点，求的长．
11．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，现有一张边长为2的正方形纸片，P为正方形的边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为EF，连接，．
(1)求证：
(2)当点P在边上移动时，的度数是否发生变化？请判断并证明你的结论．
(3)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，请直接写出答案．
12．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长．
13．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，将边长为12cm的正方形折叠，使A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为13cm，求线段的长．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒．
(1)当 时，为直角；
(2)是否存在某一时刻t，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
培优专题15 矩形、正方形翻折模型

【模型讲解】
一、折在外
◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？
结论：，
【证明】矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，在中，
，即，
∴，即，
∴，，
∴．
【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？
结论：AF＝FC
【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝5，
即AF＝5，
二、折在里
【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF

【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE
∴AE＝AD，EF＝DF，
∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF
方法总结：翻折前后的图形是全等图形，找到对应边和对应角，同时会出现角平分线，内错角之类，也会出现等腰三角形等特殊图形，求线段的长，转化为同一个直角三角形中即可求解。
1．（2023春·福建·八年级期中）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】根据矩形和折叠的性质可得，，从而得到，
，设，则，在中，根据勾股定理求x，即可得到结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，在中运用勾股定理求x是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A．是等腰三角形B．
C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、C、D，无法判断和是否相等．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
∴，
∴是等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形
无法判断和是否相等，
故其中正确的是A、C、D，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，借助矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
3．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点M，若，，则的长为（ ）
A．B．8C．6D．
【答案】B
【分析】过点M作于点N，由折叠得，，，再由可证得，可得，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点M作于点N，
由折叠可得：，，，
∵四边形为矩形，
，
，
又，
，，
在和中，
，
．
，
设，则，
在中，由勾股定理有：，
即，
解得：．
故．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并在中运用勾股定理建立方程求解是解答此题的关键．
4．（2023春·江苏徐州·八年级徐州市第二十六中学校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A．1.5B．2C．3D．3.5
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得，，根据矩形对边平行的性质推出，证得，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得，，
即，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】D
【分析】根据平行加角平分线，先证明，设,则,在中，由勾股定理列方程可得x的方程，解方程即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠知：，，，
∴，
∴，
设,
则,
在E中，由勾股定理得：
，
∴，
解得，
∴
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质，以及勾股定理等知识，证明出是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处．
(1)若P为上一点．
①如图1，当点E落在边上时，求的长；
②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①2；②，理由见解析
(2)10或30
【分析】（1）①以点A为圆心，为半径交于点E，利用勾股定理求出的长即可；
②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而；
（2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去．
【详解】（1）①如图：以点A为圆心，为半径交于点E，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵将沿直线翻折至的位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵是直角三角形，
当时，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，
则，
∴，
∵，
∴点E、D、C三点共线，
由翻折知，根据勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
∴；
当时，点P在线段上，不符合题意，舍去，
综上：或30．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（2023春·广东东莞·九年级阶段练习）如图，已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，再根据“”证明即可；
（2）根据全等三角形性质得出，从而得出，证明，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：将沿折叠后得到，
∴，
∴，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴ ，
即．
（2）解：由（1）知 ，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在矩形中，，
又由折叠可知，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，负值舍去．
【点睛】本题主要考查了矩形性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
8．（2023春·全国·八年级期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当点E是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
(3)的长为或
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，设，
第一种情况，点在线段上，如图所示：
则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示：
则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．
9．（2023春·湖南长沙·八年级期中）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，得到，进而得到，根据折叠的性质，得到，从而得到，即可得证；
（2）利用矩形的性质，折叠的性质，易证，是直角三角形，在中利用勾股定理进行求解即可；
（3）作于，交于，易得四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠知：，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（3）如图，作于，交于，

，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，同时考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键．
10．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现把矩形纸片沿对角线折叠，点 落在点处，交于点，求的长．
【答案】
【分析】由矩形的性质得，，，求出，由折叠的性质得，进而得，设，将问题转化到直角三角形中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
11．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，现有一张边长为2的正方形纸片，P为正方形的边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为EF，连接，．
(1)求证：
(2)当点P在边上移动时，的度数是否发生变化？请判断并证明你的结论．
(3)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，请直接写出答案．
【答案】(1)见解析
(2)不变，证明见解析
(3)的周长不会发生变化，为定值
【分析】（1）利用折叠的性质，得到，得到，，利用等角的余角相等，即可得证；
（2）如图，过作，垂足为，证明，得到，证明，得到，即可得出结论；
（3）由（2）可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的度数是定值，不会发生变化；证明如下：
如图，过作，垂足为，则：，
由（1）知，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∴，
∴的度数是定值，不会发生变化．
（3）的周长不会发生变化，为定值；
由（2）知：，
∴的周长为，
∵正方形的边长为，
∴的周长为；
∴的周长不会发生变化，为定值．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
12．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长．
【答案】
【分析】连接，根据将正方形沿翻折，点落在点处，可证得，有，设，可得，即可解得答案．
【详解】解：连接，如图：
将正方形沿翻折，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
的长为．
【点睛】本题考查正方形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质，能利用勾股定理列方程解决问题．
13．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，将边长为12cm的正方形折叠，使A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为13cm，求线段的长．
【答案】
【分析】过点作交于点，再根据折叠的性质可知，可证，再由勾股定理可求出的长，由正方形的性质即可求解．
【详解】解：过点作交于点，交于点，由折叠的性质可知，
，
，四边形为平行四边形，
，在中，，
，，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒．
(1)当 时，为直角；
(2)是否存在某一时刻t，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【分析】（1）由正方形的边长，且长为，得到，由折叠可得，，求得，即可求得
（2）存在，过点作，交，于点M，N，过E作，交于H，得到四边形是矩形，然后分两种情况讨论可得到t的值
【详解】（1）∵正方形的边长，E为边上一点且长为，
∴，
当时，，
∴由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动，
∴（秒），
故答案为：
（2）存在，过点作，交，于点M，N，过E作，交于H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形是矩形，
同理可得：四边形是矩形．
①如图，若点P在之间时，则，，
∵，，
由折叠可得，，
∴中，，
∴，
设，
∴，，
∵中，，
∴，
解得：．
∴，
∴；
②如图2，若点P在右边时，则，，
由折叠可得，，
∴中，，
∴，
设，
∴，
∵中，，
∴，
解得：．
∴，
∴．
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换（折叠问题）和勾股定理，熟练掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．