2024年广东省韶关市新丰县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省韶关市新丰县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−15的相反数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为( )
A. 3.85×106B. 3.85×105C. 38.5×105D. 0.385×106
4.下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.一组数据2，3，2，5，4的众数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为( )
A. 1.52米
B. 1.38米
C. 1.42米
D. 1.24米
7.在平面直角坐标系中，点A(2,−3)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 1
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么csα的值是
( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
10.如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D.点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：m2−25= ______．
12.已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则b−a ______0.(填“>”，“<”或“=”)
13.若x，y为实数，且 x−3+(y+2)2=0，则xy= ______．
14.已知2a+3b=4，则代数式6a+9b−4的值为 ．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是______°.
16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2−2x−8=0
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算： 4−(−2020)0+2sin60°．
19.(本小题6分)
今年植树节，九年级(1)班同学参加义务植树活动，共同种植一批樟树苗，如果每人种4棵，则剩余25棵；如果每人种5棵，则还缺20棵，求该班的学生人数和樟树苗的棵数．
20.(本小题7分)
如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
(1)此光源下形成的投影属于______.(填“平行投影”或“中心投影”)
(2)已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m.求路灯的高度OP．
21.(本小题7分)
如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O(0,0)，B(3,−1)，C(2,1)．
(1)以点O(0,0)为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍，得到△OB′C′，放大后B，C两点的对应点分别为B′，C′，画出△OB′C′，并写出点B′，C′的坐标；
(2)求△OB′C′的面积．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
(1)求证：BE=CE；
(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的长．
23.(本小题9分)
【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表：
请选择其中一个方案及其数据：
(1)求∠AHB的度数；
(2)求出河宽(精确到1m)．
参考数据：sin74°≈0.96，sin37°≈0.60，tan74°≈3.50，tan37°≈0.75．
24.(本小题12分)
如图，一次函数y=12x+b与反比例函数y=kx(k<0)图象交于点A(−4,m)，B(−1,2)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
(1)填空：m=______，b=______，k=______；
(2)观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S△PCA=S△PDB，求点P的坐标．
25.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
【活动猜想】
(1)如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：______．
【问题解决】
(2)如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上．
【深入探究】
(3)如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由．
(4)在(3)的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【角度】
解：−15的相反数是15．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】B
【解析】解：将数据385000用科学记数法表示为：3.85×105．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：这组数据中出现次数最多的数据为：2．
故众数为2，
故选：A．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．
本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
6.【答案】D
【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴ab≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：D．
根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特征分别是：第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：点A坐标为(2,−3)，它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限，
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是13，
故选：A．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；概率计算公式为所求情况数与总情况数之比．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
9.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得OA= 32+42=5，
所以csα=45．
故选D．
利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可；
本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：(1)点P在AB上运动时，0∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP=PQ=x，∠EBQ=∠DQC=45°，
∴BP=5−x，QE= 22x，
∴△BPQ的面积为：y=12BP⋅QE=12×(5−x)× 22x=− 24x2+5 24x(0∴此时图象为抛物线开口方向向下；
(2)点P在BC上运动时，5∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AP+BP=BQ=x，∠DQC=45°，
∴BP=x−5，QE= 22x，
∴△BPQ的面积为：y=12BP⋅QE=12×(x−5)× 22x= 24x2−5 24x(5∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．
11.【答案】(m+5)(m−5)
【解析】解：原式=(m+5)(m−5)，
故答案为：(m+5)(m−5)
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：根据图示，可得：a<0∴b−a>0．
故答案为：>．
根据图示，可得：a<0此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
13.【答案】−6
【解析】解：∵ x−3+(y+2)2=0，
∴x−3=0，y+2=0，
∴x=3，y=−2，
∴xy=3×(−2)=−6；
故答案为：−6．
利用非负数的性质得到x=3，y=−2，然后求出代数式的值．
本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：因为2a+3b=4，
所以6a+9b−4
=3(2a+3b)−4
=3×4−4
=12−4
=8．
故答案为：8．
首先把6a+9b−4化成3(2a+3b)−4，然后把2a+3b=4代入化简后的算式计算即可．
此题主要考查了代数式求值问题，掌握整体代入法是解题的关键．
15.【答案】105
【解析】解：∵∠BAD=105°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=75°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=105°．
故答案为：105．
由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE=180°，可得∠DCE=∠BAD．
此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】52
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，∠A=∠C=90°，
∴BD= CD2+BC2= 9+16=5，
由翻折可知，AB=BF=3，AE=EF，∠A=∠EFB=∠EFD=90°，
∴DF=BD−BF=5−3=2，
设DE=x，则AE=EF=4−x，
在Rt△DEF中，则有x2=(4−x)2+22，
解得x=52，
∴DE=52，
故答案为：52．
由翻折可知，AB=BF=3，AE=EF，∠A=∠EFB=∠EFD=90°，可得DF=BD−BF=5−3=2，设DE=x，则AE=EF=4−x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：∵x2−2x−8=0，
∴(x+2)(x−4)=0，
则x+2=0或x−4=0，
解得x1=−2，x2=4．
【解析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．利用因式分解法求解可得．
18.【答案】解：原式=2−1+2× 32
=2−1+ 3
=1+ 3．
【解析】根据算术平方根的定义、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值，先计算乘方和开方，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值．
19.【答案】解：设该班的学生人数为x人，
根据题意得：4x+25=5x−20，
解得：x=45，
∴4x+25=4×45+25=205(棵)．
答：该该班的学生人数为45人，樟树苗为205棵．
【解析】设该班的学生人数为x人，根据“如果每人种4棵，则剩余25棵；如果每人种5棵，则还缺20棵”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出该班的学生人数，再将其代入(4x+25)中，即可求出樟树苗的棵数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】中心投影
【解析】解：(1)∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
(2)∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP//AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ABOP=BCPC，
即：2OP=33+4.5，
解得：OP=5(m)，
∴路灯的高度为5米．
(1)由中心投影的定义确定答案即可；
(2)先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△OB′C′即为所求，

由图形可知，B′(−6,2)，C′(−4,−2)；
(2)S△B′C′O=6×4−12×2×4−12×4×2−12×6×2=10．
【解析】(1)根据位似图形的性质，找到点B′、C′即可；
(2)利用割补法求△OB′C′的面积．
本题主要考查了作图−位似变换，点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出△OB′C′是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE=CE；
(2)解：∵AB=6，
∴OA=3．
又∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=180°−2×54°=72°，
∴AD的长为：72×π×3180=6π5．
【解析】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理(或圆半径相等)的性质求得相关角的度数是解题的难点．
(1)如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；
(2)如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答．
23.【答案】解：(1)由题意得：AH⊥AC，
∴∠HAB=90°，
∵∠ABH=74°，
∴∠AHB=90°−∠ABH=16°，
∴∠AHB的度数为16°；
(2)若选择方案一：
∵∠ABH是△BCH的一个外角，∠ABH=74°，∠ACH=37°，
∴∠CHB=∠ABH−∠ACH=37°，
∴∠ACH=∠CHB=37°，
∴BC=BH=200m，
在Rt△ABH中，AH=BH⋅sin74°≈200×0.96=192(m)，
∴河宽约为192m；
若选择方案二：
设AB=x m，
在Rt△ABH中，∠ABH=74°，
∴AH=AB⋅tan74°≈3.5x(m)，
在Rt△ACH中，∠ACH=37°，
∴AC=AHtan37∘≈(m)，
∵AB+AC=BC，
∴x+143x=311，
解得：x=93317，
∴AH=3.5x≈192(m)，
∴河宽约为192m．
【解析】(1)根据题意可得：AH⊥AC，从而可得∠HAB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
(2)若选择方案一：先根据三角形的外角性质可得∠ACH=∠CHB=37°，从而可得BC=BH=200m，然后在Rt△ABH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；若选择方案二：设AB=x m，先在Rt△ABH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，然后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后根据BC=311m，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】12 52 −2
【解析】解：(1)∵一次函数y=12x+b与反比例函数y=kx(k<0)图象交于点A(−4,m)，B(−1,2)，
∴k=−4m=−1×2，2=12×(−1)+b，
∴m=12，k=−2，b=52，
故答案为：12，52，−2；
(2)当−4(3)由(1)可知，一次函数y=12x+52.设P点坐标为(t,12t+52)，
∵△PCA和△PDB的面积相等，
∴12×12×(t+4)=12×1×(2−12t−52)，
解得t=−52，
∴P点坐标为(−52,54).
(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据图象即可求得；
(3)由于点P在直线y=12x+52上；可设P(t,12t+52)，利用两个三角形的面积相等列方程求出t，进而确定点P的坐标．
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
25.【答案】(1)菱形
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=8，BF=3，
∴BC=AD=8，CD=AB=4，∠BCD=90°，
∴CF=BC−BF=8−3=5，
∴BD= BC2+CD2= 82+42=4 5，
如图，设EF与BD交于点M，过点B′作B′K⊥BC于K，
由折叠得：∠A′B′F=∠ABF=∠BMF=∠B′MF=90°，B′F=BF=3，BB′=2BM，
∴∠BMF=∠BCD，
∵∠FBM=∠DBC，
∴△BFM∽△BDC，
∴BMBC=BFBD，即BM8=34 5，
∴BM=6 55，
∴BB′=12 55，
∵∠BKB′=∠BCD，∠B′BK=∠DBC，
∴△BB′K∽△BDC，
∴B′KCD=BKBC=BB′BD，即B′K4=BK8=12 554 5，
∴B′K=125，BK=245，
∴CK=BC−BK=8−245=165，
∴B′C= B′K2+CK2= (125)2+(165)2=4，
∵B′F2+B′C2=32+42=25，CF2=52=25，
∴B′F2+B′C2=CF2，
∴∠CB′F=90°，
∴∠A′B′F+∠CB′F=90°+90°=180°，
∴点A′，B′，C在同一条直线上．
(3)解：当BC= 3AB时，始终有A′B′与对角线AC平行．
理由：如图，设AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠OBA+∠OBC=90°，
∴∠OAB=∠OBA，
设∠OAB=∠OBA=α，
则∠OBC=90°−α，
由折叠得：∠A′B′F=∠ABC=90°，B′F=BF，
∴∠BB′F+∠A′B′B=90°，∠BB′F=∠OBC=90°−α，
∴A′B′B=∠OBA=α，
∵A′B′//AC，
∴A′B′B=∠AOB=α，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴α+α+α=180°，即3α=180°，
∴α=60°，
∴∠BAC=60°，
∴BCAB=tan∠BAC=tan60°= 3，
∴BC= 3AB；
(4)解： 3EF=2(AP+B′D)，理由如下：
如图，过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H，
由折叠得：EF⊥BD，B′F=BF，∠BFE=∠B′FE，
设AE=m，EF=n，
由(3)得：∠BAC=60°=∠ABD，
∴∠BB′F=∠DBC=30°，
∴∠BFE=∠B′FE=60°，
∴EG=EF⋅sin60°= 32n，FG=EF⋅cs60°=12n，
∵∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴AB=EG= 32n，BG=AE=m，AD//BC，
∴BF=B′F=m+12n，
∴BH=BF⋅cs30°= 32(m+12n)，
∴BB′=2BH= 3(m+12n)，
∵BD=2AB= 3n，
∴B′D=BD−BB′= 3n− 3(m+12n)= 32n− 3m，
∵AD/​/BC，
∴∠DEF=∠EFG=60°，
∴∠APE=∠DEF−∠DAC=60°−30°=30°=∠DAC，
∴AP=2AE⋅cs30°= 3m，
∴AP+B′D= 3m+( 32n− 3m)= 32n，
∴AP+B′D= 32EF，
即 3EF=2(AP+B′D)．
【解析】(1)解：当点B′与点D重合时，四边形BEDF是菱形．
理由：设EF与BD交于点O，如图，
由折叠得：EF⊥BD，OB=OD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BFO和△DEO中
∠OBF=∠ODEOB=OD∠FOB=∠EOD
∴△BFO≌△DEO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：菱形．
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=8，BF=3，
∴BC=AD=8，CD=AB=4，∠BCD=90°，
∴CF=BC−BF=8−3=5，
∴BD= BC2+CD2= 82+42=4 5，
如图，设EF与BD交于点M，过点B′作B′K⊥BC于K，
由折叠得：∠A′B′F=∠ABF=∠BMF=∠B′MF=90°，B′F=BF=3，BB′=2BM，
∴∠BMF=∠BCD，
∵∠FBM=∠DBC，
∴△BFM∽△BDC，
∴BMBC=BFBD，即BM8=34 5，
∴BM=6 55，
∴BB′=12 55，
∵∠BKB′=∠BCD，∠B′BK=∠DBC，
∴△BB′K∽△BDC，
∴B′KCD=BKBC=BB′BD，即B′K4=BK8=12 554 5，
∴B′K=125，BK=245，
∴CK=BC−BK=8−245=165，
∴B′C= B′K2+CK2= (125)2+(165)2=4，
∵B′F2+B′C2=32+42=25，CF2=52=25，
∴B′F2+B′C2=CF2，
∴∠CB′F=90°，
∴∠A′B′F+∠CB′F=90°+90°=180°，
∴点A′，B′，C在同一条直线上．
(3)解：当BC= 3AB时，始终有A′B′与对角线AC平行．
理由：如图，设AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠OBA+∠OBC=90°，
∴∠OAB=∠OBA，
设∠OAB=∠OBA=α，
则∠OBC=90°−α，
由折叠得：∠A′B′F=∠ABC=90°，B′F=BF，
∴∠BB′F+∠A′B′B=90°，∠BB′F=∠OBC=90°−α，
∴A′B′B=∠OBA=α，
∵A′B′//AC，
∴A′B′B=∠AOB=α，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴α+α+α=180°，即3α=180°，
∴α=60°，
∴∠BAC=60°，
∴BCAB=tan∠BAC=tan60°= 3，
∴BC= 3AB；
(4)解： 3EF=2(AP+B′D)，理由如下：
如图，过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H，
由折叠得：EF⊥BD，B′F=BF，∠BFE=∠B′FE，
设AE=m，EF=n，
由(3)得：∠BAC=60°=∠ABD，
∴∠BB′F=∠DBC=30°，
∴∠BFE=∠B′FE=60°，
∴EG=EF⋅sin60°= 32n，FG=EF⋅cs60°=12n，
∵∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴AB=EG= 32n，BG=AE=m，AD//BC，
∴BF=B′F=m+12n，
∴BH=BF⋅cs30°= 32(m+12n)，
∴BB′=2BH= 3(m+12n)，
∵BD=2AB= 3n，
∴B′D=BD−BB′= 3n− 3(m+12n)= 32n− 3m，
∵AD/​/BC，
∴∠DEF=∠EFG=60°，
∴∠APE=∠DEF−∠DAC=60°−30°=30°=∠DAC，
∴AP=2AE⋅cs30°= 3m，
∴AP+B′D= 3m+( 32n− 3m)= 32n，
∴AP+B′D= 32EF，
即 3EF=2(AP+B′D)．
(1)由折叠可得：EF⊥BD，OB=OD，再证得△BFO≌△DEO(ASA)，可得OE=OF，利用菱形的判定定理即可得出答案；
(2)设EF与BD交于点M，过点B′作B′K⊥BC于K，利用勾股定理可得BD=4 5，再证明△BFM∽△BDC，可求得BM=6 55，进而可得BB′=12 55，再由△BB′K∽△BDC，可求得B′K=125，BK=245，CK=BC−BK=8−245=165，运用勾股定理可得B′C=4，运用勾股定理逆定理可得∠CB′F=90°，进而可得∠A′B′F+∠CB′F=90°+90°=180°，即可证得结论；
(3)设∠OAB=∠OBA=α，则∠OBC=90°−α，利用折叠的性质和平行线性质可得：A′B′B=∠AOB=α，再运用三角形内角和定理即可求得α=60°，利用解直角三角形即可求得答案；
(4)过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H，设AE=m，EF=n，利用解直角三角形可得B′D=BD−BB′= 3n− 3(m+12n)= 32n− 3m，AP=2AE⋅cs30°= 3m，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．项目课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点
C在点A的正西方向
数据
BC=200m，∠ABH=74°，∠ACH=37°
BC=311m，∠ABH=74°，∠ACH=37°