2022年广东省韶关市乐昌市中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省韶关市乐昌市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 中新网月日电综合报道，据美国约翰斯．霍普金斯大学的统计数据，截至目前，美国累计新冠确诊病例已超万例，死亡人数超过万．预防新冠，人人有责，打疫苗，不聚集，做好个人防护，戴口罩，勤洗手，常通风．将数据万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，若为整数且，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定≌的是

A.  B.
C.  D.

7. 某校名学生在某次测量体温单位：时得到如下数据：，，，，，，，对这组数据描述正确的是

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

8. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是

A.
B.
C.
D.

9. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、若四边形的面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 不等式的解集为______．
12. 因式分解： ______ ．
13. 若，则______．
14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
15. 某地铺设矩形人行道，由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．当正方形地砖只有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；当正方形地砖有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；以此类推．
    
    现在街道上铺设一条这样的人行道，一共有为正整数块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______用含的代数式表示．
16. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
    
     

17. 抛物线的对称轴是直线抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，；；；所述个结论中正确的是______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：．
19. 化简式子，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
20. 如图，四边形是平行四边形．
    尺规作图：过点作的垂线，垂足为不要求写作法，保留作图痕迹；
    在的条件下，已知平行四边形的面积为，，求的长．

21. 为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定儿童青少年近视防控光明行动工作方案，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设篮球、足球、排球、乒乓球球类四种户外体育选修课程．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查要求必须选择且只能选择其中一门课程，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表，排球的圆心角为根据图表信息，解答下列问题：

分别求出表中，的值；
求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
该校共有名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

22. 疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品某药店销售，两种口罩，今年月份的进价是：种口罩每包元，种口罩每包元，已知种口罩每包售价比种口罩贵元，包种口罩和包种口罩总售价相同．
    求种口罩和种口罩每包售价．
    若该药店月份购进种和种口罩共包进行销售，且种口罩数量不超过种口罩的，若所进口罩全部售出，则应该购进种口罩多少包，才能使利润最大，并求出最大利润．
23. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．
    求证：四边形是平行四边形；
    当时，求的长．
24. 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
    求证：是的切线；
    过作于，求证∽；
    若的半径为，的面积为，求的长．

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点．
求抛物线的解析式；
若为线段上一点，，求的长；
在的条件下，设是轴上一点，试问：抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的倒数是：．
故选：．
根据倒数：乘积是的两数互为倒数，即可得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明≌，故不符合题意；
B、添加，可用证明≌，故不符合题意；
C、添加，不能证明≌，故符合题意；
D、添加，可用证明≌，故不符合题意；
故选：．
由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
 

7.【答案】

【解析】解：个数中出现了三次，次数最多，即众数为，故A选项正确，符合题意；
将个数按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，第个数为，即中位数为，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：根据函数图象可知，不等式的解集是：，
故选：．
根据图象过点，且，即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：将从左到右的三条竖线分别记作、、，将从上到下的三条横线分别记作、、，列表如下，

由表可知共有种等可能结果，其中所选矩形含点的有、；、；、；、这种结果，
所选矩形含点的概率为，
故选：．
将从左到右的三条竖线分别记作、、，将从上到下的三条横线分别记作、、，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找到所选矩形含点的的情况，继而利用概率公式可得答案．
本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，并从所有结果中找到符合条件的结果数．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数 的几何意义，正确的求出 是解题的关键．易证 ∽ ∽ ，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出 的面积，进而可求出 的面积，则 的值也可求出．
【解答】
解： ，
∽ ∽ ，
、 是 的三等分点，
， ，
，
四边形 的面积为 ，
，
，
，
，
图象在第一象限， ，
，
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：，
则．
故答案为：．
直接利用不等式解法得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式以及二次根式的应用，正确解不等式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
利用提公因式法与公式法，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，解决本题的关键是熟记提公因式法与公式法．
 

13.【答案】

【解析】解：，而，，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
直接利用绝对值以及算术平方根的非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意，得，．
则．
所以．
故答案是：．
根据一元二次方程解的定义得到，由根与系数的关系得到；然后代入求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】

【解析】解：观察图可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加块；
观察图形可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有个等腰直角三角形，即，
图和图中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图一样的规律，
图：，
归纳得：即，
若一条这样的人行道一共有为正整数块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 块，
故答案为：；
观察图形可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有个等腰直角三角形，即；图和图中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图一样的规律，据此可得答案．
本题以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

16.【答案】

【解析】解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为，
正六边形的边长为，
，
故答案为：．
先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
 

17.【答案】

【解析】解：抛物线的对称轴为，
，
，
故正确；
由图象可知，当时，，
即，
，
，即．
故不正确；
由图象可知，当时，，
即．
故不正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
．
，
，
，
．
故正确．
故答案为：．
由对称轴为，可判断；由时，，以及对称轴为，变形可判断；由时，，可判断；根据抛物线的顶点坐标为，可得，再结合，即可对作出判断．
本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的开口方向与系数的关系、对称轴、顶点坐标公式以及二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：

．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

19.【答案】解：原式

，
分式中分母不能为．
，，
当时，原式．

【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简，结合分式有意义的条件取值得出答案．
 

20.【答案】解：如图，直线即为所求．


平行四边形的面积为，，
，
．

【解析】利用尺规作出图形即可；
利用平行四边形的面积公式求解即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：人，
即参加这次调查的学生有人，
选择篮球的学生，
选择乒乓球的学生；
所以，；
，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是；
人，
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有人．

【解析】根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出、的值；
用乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设种口罩每包售价元，根据题意得：
，
解得，
元，
答：种口罩每包售价元，种口罩每包售价元；
设该药店月份购进种口罩包，则购进种口罩包，所获利润为元，根据题意得：
，
整理，得，
，
，
，
随的增大而减小，
当取最小值时，，
答：应该购进种口罩包，才能使利润最大，最大利润为元．

【解析】设种口罩每包售价元，根据“种口罩每包元，种口罩每包元，已知种口罩每包售价比种口罩贵元，包种口罩和包种口罩总售价相同”列方程解答即可；
设该药店月份购进种口罩包，所获利润为元，根据题意得出与的关系式即可；再根据题意列不等式求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形是平行四边形；
解：，四边形是平行四边形
四边形是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
 ，
在中，根据勾股定理，有，
，
．

【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
推出四边形是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

证明：，，
∽；

解：的半径为，
，
，
，
在中，，根据勾股定理得，，
由知，∽，
，
，
．

【解析】先判断出，进而判断出，进而判断出，即可得出结论；
利用两角相等的两三角形相似直接得出结论；
先利用三角形的面积求出，进而利用勾股定理求出，最后利用∽，得出比例式求解，即可求出答案．
此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．
 

25.【答案】解：由题意抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
对于抛物线，令，解得或，
，
，，
，，
，，
∽，
，
，
．
由可知，，，

当为平行四边形的边时，点的横坐标为或，
，
当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．

【解析】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
利用待定系数法解决问题即可．
求出，，，利用相似三角形的性质求解即可．
分两种情形：为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可解决问题．当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，求出点的坐标即可解决问题．