广东省韶关市南雄市2022年中考数学一模试题(含解析)

这是一份广东省韶关市南雄市2022年中考数学一模试题(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省韶关市南雄市中考一模数学试题
数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）每.）
1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．反比例函数y＝的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
5．方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．无法判定
6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
7．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°
9．设x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④8a﹣2b+c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③
二、填空题：（每小题4分，共7题，共28分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 　 　．
12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
50
100
200
400
800
1000
“射中9环以上”的次数
38
82
157
317
640
801
“射中9环以上”的频率
0.760
0.820
0.785
0.793
0.800
0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 　 　．（结果保留小数点后一位）
13．扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为 　 　cm．
14．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转后得到△A′B′C′，E、D分别是AB、AC的中点，经旋转后对应点分别为E′、D′，已知BC＝4，则E′D′等于 　 　．

15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝72°，则∠OBC＝　 　．

16．如果点A（﹣3，2m+1）关于原点对称的点在第一象限，则m的取值范围是 　 　．
17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为 　 　．

三、解答题（每题6分，共3题，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣x＝2（x﹣1）；
（2）x2+6x﹣1＝0．
19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．

20．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，求∠BAC的度数．

四、解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
22．某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
23．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．

五、解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．

25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并证明你的结论．



参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.）
1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选：D．
3．反比例函数y＝的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【分析】根据反比例函数的性质即可得到结论．
解：反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
故选：A．
4．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
5．方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．无法判定
【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1代入Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝（x﹣1）2﹣2为（1，﹣2）．
故选：C．
7．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
解：n＝＝10，
故选：D．
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝40°，进而利用垂径定理得出∠AOB＝80°即可．
解：∵∠ABC＝20°，
∴∠AOC＝40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝80°，
故选：D．
9．设x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出值．
解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，
则原式＝＝＝﹣5．
故选：B．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④8a﹣2b+c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③
【分析】利用图象开口方向，对称轴位置和与y轴交点判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，取x＝﹣3，得出y的范围可判断③，根据﹣0.5和﹣2到对称轴的距离可判断④．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确，
由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，③正确，
∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，
∵1＞0.5，
∴当x＝﹣2时的函数值大于x＝﹣0.5时的函数值，
∴y1＜y2，④错误，
∴正确的有②③，
故选：D．
二、填空题：（每小题4分，共7题，共28分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 　3　．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2﹣4x+m＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝1代入x2﹣4x+m＝0得1﹣4+m＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
50
100
200
400
800
1000
“射中9环以上”的次数
38
82
157
317
640
801
“射中9环以上”的频率
0.760
0.820
0.785
0.793
0.800
0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 　0.8　．（结果保留小数点后一位）
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
13．扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为 　24　cm．
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形＝lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
解：∵S扇形＝lr
∴120π＝•10π•r
∴r＝24；
故答案为24．
14．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转后得到△A′B′C′，E、D分别是AB、AC的中点，经旋转后对应点分别为E′、D′，已知BC＝4，则E′D′等于 　2　．

【分析】由三角形中位线定理可得DE＝2，由旋转的性质可求解．
解：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝2，
由旋转的性质可得：DE＝D'E'＝2，
故答案为：2．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝72°，则∠OBC＝　18°　．

【分析】连接OC，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和三角形内角和定理即可求出结果．
解：如图，连接OC，

∵∠A＝72°，
∴∠BOC＝2∠A＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣144°）＝18°．
故答案为：18°．
16．如果点A（﹣3，2m+1）关于原点对称的点在第一象限，则m的取值范围是 　m＜﹣　．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数判断出2m+1＜0，然后解不等式即可．
解：∵点A（﹣3，2m+1）关于原点的对称点在第一象限，
∴点A（﹣3，2m+1）在第三象限，
∴2m+1＜0，
解得m＜﹣．
故答案为：m＜﹣．
17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为 　4　．

【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值
解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，
∴k＝4，
故答案为：4．
三、解答题（每题6分，共3题，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣x＝2（x﹣1）；
（2）x2+6x﹣1＝0．
【分析】（1）先变形得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到（x+3）2＝10，然后给利用直接开平方法解方程．
解：（1）x2﹣x＝2（x﹣1），
x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2；
（2）x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝10，
（x+3）2＝10，
x+3＝±，
所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．

【分析】（1）直接根据点A、B在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△AB1C1即可；
解：（1）由点A、B在坐标系中的位置可知：A（2，0），B（﹣1，﹣4）；

（2）如图所示：

20．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，求∠BAC的度数．

【分析】由PA，PB分别为圆O的切线，根据切线长定理得到PA＝PB，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P的度数，求出底角∠PAB的度数，又AC为圆O的直径，根据切线的性质得到PA与AC垂直，可得出∠PAC为直角，用∠PAC﹣∠PAB即可求出∠BAC的度数．
解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B点，AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，PA＝PB，
又∵∠P＝50°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝65°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝90°﹣65°＝25°．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
【分析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．
（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：（Ⅰ）画树状图得：


（Ⅱ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次取出的小球标号相同的概率为＝；

（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，
∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为．
22．某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
【分析】（1）设每千克应涨价为x元，根据（售价﹣进价+涨价额）×销售量＝6000，可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据要使顾客得到实惠，可得答案；
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得w关于a的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）设每千克应涨价为x元，由题意得：
（22﹣12+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝5．
∴每千克应涨价5元．
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w＝（a﹣12）[500﹣20（a﹣22）]
＝﹣20a2+1180a﹣11280
＝﹣20+6125，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当a＝时，w有最大值为6125．
∴当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元．
23．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．

【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y＝求k．
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数y＝
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣
（2）联立两个函数的表达式得

解得
或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵S△ACP＝S△BOC
∴
解得x1＝﹣6，x2＝﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
五、解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．

【分析】（1）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
（2）想办法证明∠P＝30°即可解决问题．
【解答】（1）证明：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴PC＝＝2．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）结论：四边形EFCD是正方形．如图1中，连接CE与DF交于点K．求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF⊥CE，DF＝CE，KC＝KE，KF＝KD即可证明．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）结论四边形EFCD是正方形．
理由：如图，连接CE与DF交于点K．
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
∵C、E关于对称轴对称，C（0，﹣3），
∴E（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1．
∴F（1，﹣2），
∴CK＝EK＝1，FK＝DK＝1，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵CE⊥DF，CE＝DF，
∴四边形EFCD是正方形．