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2023-2024学年广东省深圳中学共同体七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳中学共同体七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.锂离子电池是一种二次电池(充电电池)，它主要依靠锂离子在正极和负极之间移动来工作，一个锂离子在某种环境下大小为0.076nm，即0.000000000076m，数字0.000000000076用科学记数法表示为( )
A. 0.076×10−8B. 7.6×10−11C. 76×10−10D. 0.76×10−12
2.下列运算正确的是( )
A. (−a2)3=−a6B. 2a2+3a2=6a2
C. 2a2⋅a3=2a6D. (−2ab)3=−6a3b3
3.在下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
4.如图，DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1=60°，则∠ABE的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 55°
D. 60°
5.如图的两个三角形全等，则∠1的度数为( )
A. 50°B. 58°C. 60°D. 62°
6.若(a2+b2+1)(a2+b2−1)=15，则a2+b2=( )
A. 4B. 5C. ±4D. ±5
7.下列说法正确的是( )
A. 两个锐角的和是钝角B. 同一平面内的两条不相交的直线互相平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 相等的角是同位角
8.如图所示图象(折线ABCDE)描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个过程中的平均速度为1603千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法是( )
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
9.作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点A′，C′；②以O为圆心BC′为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心A′C′为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．( )
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
10.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=60°时，∠DOE=60°；②与∠BOD相等的角有三个；③OD为∠EOG的平分线；④∠COG=180°−2∠EOF.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.长方形的面积是a2b2−2a2+a，宽是a，那么它的长是______．
12.如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=145°，则∠COD= ______．
13.小丽现已存款200元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y(元)与时间x(月)之间的关系式为______．
14.(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×(1+1216)×(1+1232)×(1+1264)+12127，计算结果是______．
15.如图，四边形ABCD中，E，F，G，H依次是各边中点，O是四边形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、6，四边形DHOG的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
(1)(−1)3+(π+2024)0+(12)−2；
(2)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2；
(3)(x−y)(x+3y)−x(x+2y)．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x−2y)2−(x+3y)(x−3y)+3y2]÷(−4y)，其中x=2024，y=−14．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB=DE．
(1)求证：△ACB≌△EBD；
(2)若DB=12，求AC的长．
19.(本小题8分)
端午节假期间，小亮一家到某度假村度假.小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发.他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村.如图是他们离家的距离s(km)与小亮离家的时间t(h)的关系图.请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______．
(2)爸爸比小亮和他妈妈晚______h出发，爸爸驾车的速度是______km/h．
(3)请写出图中点A表示的意义；
(4)当t= ______h时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇．
20.(本小题7分)
把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：如图，∠1=∠2，∠4+∠5=180°，求证：∠6=∠7．
证明：∵∠1=∠2，(已知)
∠2=∠3(______)，
∴∠1= ______，(______)
∴a//c.(同位角相等，两直线平行)
∵∠4+∠5=180°，
∴b// ______(______)，
∴a//b(______)，
∴∠6=∠7(______).
21.(本小题9分)
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图(1)，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图(2).图(1)中阴影部分面积可表示为a2−b2，图(2)中阴影部分面积可表示为(a+b)(a−b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
【类比探究】(1)用两种不同方法表示图(3)中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、(a+b)2、ab的等量关系式是______．
【应用】(2)根据(1)所得的关系式，若a+b=10，ab=5，则a2+b2= ______．
【拓展】(3)若x满足(11−x)(x−8)=2，求(11−x)2+(x−8)2的值．
【知识迁移】(4)如图(4)，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE.该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为252，AC=7，求种草区域的面积和．
22.(本小题10分)
光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1=∠2.在△ABC中，BC与AC是两块平面镜，D是边AB上一点，从D点出发的光线DE经平面镜BC反射成EF，再经平面镜AC反射成FG，设∠C=α．
(1)如图2，当α=90°时，此时ED与FG的位置关系是______，并说明理由．
(2)如图3，若DE//AC，FG⊥BC于点P，求α的值．
(3)若FG所在直线与DE所在直线相交于点H(H不与E重合)，直接写出∠EHF= ______.(用含有α的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000000000076=7.6×10−11，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(−a2)3=−a6，故选项A符合题意；
B、2a2+3a2=5a2，故选项B不符合题意；
C、2a2⋅a3=2a5，故选项C不符合题意；
D、(−2ab)3=−8a3b3，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和合并同类项等知识点计算即可．
本题考查的是单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：只有选项C中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
根据同位角定义直接判断即可．
本题考查的是同位角定义，关键是同位角定义的熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=30°，
故选：B．
先利用平行线的性质可得∠1=∠ABC=60°，然后再利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠C=180°−∠A−∠B=180°−58°−62°=60°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠C=60°，
故选：C．
根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设 a2+b2=y，则原方程换元为 (y+1)(y−1)=15，
∴y2=16，
解得：y1=4，y2=−4，
即 a2+b2=4或 a2+b2=−4(不合题意，舍去)，
∴a2+b2=4．
故选：A．
设 a2+b2=y，则原方程换元为y2=16，可得y1=4，y2=−4，即可求解．
本题考查了高次方程，换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故A不符合题意；
B、同一平面内的两条不相交的直线互相平行，故B符合题意；
C、同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意；
故选：B．
根据平行线，垂线，同位角、内错角、同旁内角，平行线的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的性质，平行线，垂线，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，故①说法错误；
根据图象从1.5时到2时，是停留时间，停留0.5小时，故②说法正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为2404.5=1603(千米/时)，故③说法正确；
汽车自出发后3小时至4.5小时之间路程与时间成一次函数关系，因而速度不变，故④说法错误，
故正确的说法是：②③．
故选：B．
根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，共用时间是4.5小时．
此题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9.【答案】A
【解析】解：连接A′C′，DE．
由作图可知：BA′=BC′=OE=OD，C′A′=DE，
∴△A′BC′≌△EOD(SSS)，
故选：A．
由作图可知：BA′=BC′=OE=OD，C′A′=DE，根据SSS即可判断两个三角形全等．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：①∠AOF+∠EOF=∠DOE+∠EOF=90°，因此∠AOF=∠DOE，当∠AOF=60°时，∠DOE=60°，正确，故①符合题意；
②OB平分∠GOD，因此∠GOD=2∠BOD，而∠DOE=90°−∠BOD，所以∠DOE不一定等于∠GOD，因此OD不一定是∠EOG的平分线，故③不符合题意
③∠EOF+∠EOD=∠BOD+∠EOD=90°，因此∠EOF=∠BOD，由OB平分∠GOD得到∠GOB=∠BOD，又∠AOC=∠BOD，因此与∠BOD相等的角有三个，正确，故②符合题意；
④∠COG=∠AOB−∠AOC−∠GOB=∠AOB−2∠EOF，正确，故④符合题意．
其中正确的结论有3个．
故选：C．
由余角的性质得到∠AOF=∠DOE，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与∠BOD相等的角有三个，由平角定义推出∠COG=∠AOB−2∠EOF．
本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
11.【答案】ab2−2a+1
【解析】解：由题意得：(a2b2−2a2+a)÷a
=a2b2÷a−2a2÷a+a÷a
=ab2−2a+1，
故答案为：ab2−2a+1．
根据长方形的长=面积÷宽，列出算式，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则．
12.【答案】45°
【解析】解：∵△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，
∴∠D=∠C=50°，
∵∠A=30°，
∴∠AOD=180°−∠A−∠D=180°−30°−50°=100°，
∵∠AOC=145°，
∴∠COD=∠AOC−∠AOD=145°−100°=45°，
故答案为：45°．
根据全等三角形的性质得出∠D=∠C=50°，进而利用三角形内角和定理得出∠AOD，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．
13.【答案】y=200+10x
【解析】解：存款总金额y=200+10x，
故答案为：y=200+10x．
根据存款总金额=现已存款200元+每月10元×月数即可得出答案．
本题考查了函数关系式，根据存款总金额=现已存款200元+每月10元×月数列出函数关系式是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：原式=2×(1−12)×(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−122)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−124)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−128)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
…，
=2×(1−12128)+12127
=2−12127+12127
=2，
故答案为：2．
利用平方差公式将原式变形后计算即可．
本题考查平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=4，S四边形BFOE=5，S四边形CGOF=6，
∴4+6=5+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=5．
故答案是：5．
连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
16.【答案】解：(1)原式=−1+1+4
=4；
(2)原式=−8a6b3⋅12b4c÷10a3b2
=−4a6b7c÷10a3b2
=−25a3b5c；
(3)原式=x2+3xy−xy−3y2−x2−2xy
=−3y2．
【解析】(1)根据正整数指数幂．零指数幂．负整数指数幂的定义计算即可；
(2)先计算乘方，再计算乘除即可；
(3)去括号，合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．掌握整数指数幂的运算法则．
17.【答案】解：[(x−2y)2−(x+3y)(x−3y)+3y2]÷(−4y)
=[(x2−4xy+4y2)−(x2−9y2)+3y2]÷(−4y)
=(x2−4xy+4y2−x2+9y2+3y2)+(−4y)
=(−4xy+16y2)÷(−4y)
=x−4y，
当x=2024，y=−14时，
原式=2024−4×(−14)=2025．
【解析】本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把x=2024，y=−14时，代入化简后的代数式计算即可．
本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠A，
在△ACB和△EBD中，
∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ACB≌△EBD(AAS)；
(2)解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC=DB，AC=EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=12BC，
∵DB=12，BC=DB，
∴BC=12，
∴AC=EB=12BC=6．
【解析】(1)由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
(2)由全等三角形的性质可得BC=DB=12，AC=EB，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】时间 距离 1 60 2.25
【解析】解：(1)自变量是时间或t，因变量是距离或s；
故答案为：时间；距离；
(2)小爸爸比小亮和他妈妈晚1h出发，爸爸驾车的速度是60km/h；
故答案为：1，60；
(3)图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
(4)妈妈的速度为20km/h；
根据题意得：20t=60−60(t−2)，
解得t=2.25，
即当t=2.25h时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇．
故答案为：2.25．
(1)直接利用常量与变量的定义得出答案；
(2)利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，再根据“速度=路程÷时间”可得答案；
(3)根据函数图象的横纵坐标的意义得出A点的意义；
(4)根据题意列方程解答即可．
此题主要考查了函数图象以及常量与变量、函数关系式，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
20.【答案】对顶角相等 ∠3 等量代换 c 同旁内角互补，两直线平行 平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2，(已知)
∠2=∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠3，(等量代换)
∴a//c.(同位角相等，两直线平行)
∵∠4+∠5=180°，
∴b//c(同旁内角互补，两直线平行)，
∴a//b(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠6=∠7(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；∠3；等量代换；c；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab 90
【解析】解：(1)图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即a2+b2，
由于大正方形的边长为(a+b)，因此面积为(a+b)2，两个空白矩形的面积和为2ab，因此阴影部分的面积为(a+b)2−2ab，
所以有a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)∵a+b=10，ab=5，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab
=100−10
=90，
故答案为：90；
(3)设m=11−x，n=x−8，则m+n=3，mn=(11−x)(x−8)=2，
∴(11−x)2+(x−8)2
=m2+n2
=(m+n)2−2mn
=9−4
=5；
(4)∵AC⊥BD，AE=DE=p，BE=CE=q，
∴S△ADE=12p2，S△CDE=12pq，S△ABE=12pq，S△BCE=12q2，
∵种花区域的面积和为252，即12p2+12q2=252，
∴p2+q2=25，
∵p+q=AE+CE=AC=7，
∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE
=12pq+12pq
=pq
=(p+q)2−(p2+q2)2
=49−252
=12．
(1)用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案；
(2)利用(1)的结论，整体代入计算即可；
(3)设m=11−x，n=x−8可得m+n=3，mn=2，根据m2+n2=(m+n)2−2mn代入计算即可；
(4)设AE=DE=p，BE=CE=q，由题意得到p+q=7，p2+q2=25，根据pq=(p+q)2−(p2+q2)2代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
22.【答案】ED//FG 180°−2α或2α或2α−180°
【解析】解：(1)ED//FG；
理由：∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
由题意，∠BED=∠CEF，∠AFG=∠CFE，
∴∠BED+∠AFG=90°，
∴∠CEF+∠CFE+∠BED+∠AFG=180°，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴ED//FG；
(2)∵FG⊥BC，
∴∠FGC=90°，∠CFG=90°−α，
∴∠AFE=90°−α
∴∠EFG=180°−2(90°−a)=2α．
∵DF//AC，
∴∠BED=∠C=α，
又∠FEG=∠BED，
∴α=90°−2α，
解得，α=30°．
(3)①当α<90°时，如图所示，
∵∠C=α，
∴∠CEF+∠CFE=180°−α，
又∠CEF=∠BEH，∠CFE=∠AFH，
∴∠CEF+∠BEH+∠CFE+∠AFH=360°−2α，
∴∠EFH+∠FEH=360°−(360°−2α)=2α，
∴∠EHF=180°−2α．
②当α<90°时，如图所示，
∵∠C=α，
∴∠CEF+∠CFE=180°−α，
设∖angBED=x，∠AFE=y，
∴∠CFE=180°−y，∠CEF=x，
∴180°−y+x=180°−α，
∴α=y−x．
在△EFH中，∠EFH+∠FEH+EHF=180°，
∴∠EHF=180°−(180°−2y)−2x
=2y−2x
=2α；
③当α>90°时，如图所示，
∠CEF+∠CFE=180°−α，
∠CEF+∠BED+∠CFE+∠AFG=360°−2α，
∴∠EFG+∠FED=360°−(360°−2α)=2α，
∴∠HFE+∠HEF=360°−2α
∴∠EHF=180°−(360°−2α)=2α−180°．
(1)根据题意得∠CEF+∠CFE+∠BED+∠AFG=180°，可求出∠DEF+∠EFG=180°，从而得出ED//FG；
(2)根据题意得∠AFE=∠CFG=90°−α，求得∠EFG=2α，由DF//AC得∠BED=∠C=α.根据∠FEG=∠BED得α=90°−2α，从而求出α=30°；
(3)分α<90°和α>90°两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，
1.锂离子电池是一种二次电池(充电电池)，它主要依靠锂离子在正极和负极之间移动来工作，一个锂离子在某种环境下大小为0.076nm，即0.000000000076m，数字0.000000000076用科学记数法表示为( )
A. 0.076×10−8B. 7.6×10−11C. 76×10−10D. 0.76×10−12
2.下列运算正确的是( )
A. (−a2)3=−a6B. 2a2+3a2=6a2
C. 2a2⋅a3=2a6D. (−2ab)3=−6a3b3
3.在下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
4.如图，DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1=60°，则∠ABE的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 55°
D. 60°
5.如图的两个三角形全等，则∠1的度数为( )
A. 50°B. 58°C. 60°D. 62°
6.若(a2+b2+1)(a2+b2−1)=15，则a2+b2=( )
A. 4B. 5C. ±4D. ±5
7.下列说法正确的是( )
A. 两个锐角的和是钝角B. 同一平面内的两条不相交的直线互相平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 相等的角是同位角
8.如图所示图象(折线ABCDE)描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个过程中的平均速度为1603千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法是( )
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
9.作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点A′，C′；②以O为圆心BC′为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心A′C′为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．( )
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
10.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=60°时，∠DOE=60°；②与∠BOD相等的角有三个；③OD为∠EOG的平分线；④∠COG=180°−2∠EOF.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.长方形的面积是a2b2−2a2+a，宽是a，那么它的长是______．
12.如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=145°，则∠COD= ______．
13.小丽现已存款200元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y(元)与时间x(月)之间的关系式为______．
14.(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×(1+1216)×(1+1232)×(1+1264)+12127，计算结果是______．
15.如图，四边形ABCD中，E，F，G，H依次是各边中点，O是四边形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、6，四边形DHOG的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
(1)(−1)3+(π+2024)0+(12)−2；
(2)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2；
(3)(x−y)(x+3y)−x(x+2y)．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x−2y)2−(x+3y)(x−3y)+3y2]÷(−4y)，其中x=2024，y=−14．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB=DE．
(1)求证：△ACB≌△EBD；
(2)若DB=12，求AC的长．
19.(本小题8分)
端午节假期间，小亮一家到某度假村度假.小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发.他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村.如图是他们离家的距离s(km)与小亮离家的时间t(h)的关系图.请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______．
(2)爸爸比小亮和他妈妈晚______h出发，爸爸驾车的速度是______km/h．
(3)请写出图中点A表示的意义；
(4)当t= ______h时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇．
20.(本小题7分)
把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：如图，∠1=∠2，∠4+∠5=180°，求证：∠6=∠7．
证明：∵∠1=∠2，(已知)
∠2=∠3(______)，
∴∠1= ______，(______)
∴a//c.(同位角相等，两直线平行)
∵∠4+∠5=180°，
∴b// ______(______)，
∴a//b(______)，
∴∠6=∠7(______).
21.(本小题9分)
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图(1)，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图(2).图(1)中阴影部分面积可表示为a2−b2，图(2)中阴影部分面积可表示为(a+b)(a−b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
【类比探究】(1)用两种不同方法表示图(3)中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、(a+b)2、ab的等量关系式是______．
【应用】(2)根据(1)所得的关系式，若a+b=10，ab=5，则a2+b2= ______．
【拓展】(3)若x满足(11−x)(x−8)=2，求(11−x)2+(x−8)2的值．
【知识迁移】(4)如图(4)，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE.该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为252，AC=7，求种草区域的面积和．
22.(本小题10分)
光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1=∠2.在△ABC中，BC与AC是两块平面镜，D是边AB上一点，从D点出发的光线DE经平面镜BC反射成EF，再经平面镜AC反射成FG，设∠C=α．
(1)如图2，当α=90°时，此时ED与FG的位置关系是______，并说明理由．
(2)如图3，若DE//AC，FG⊥BC于点P，求α的值．
(3)若FG所在直线与DE所在直线相交于点H(H不与E重合)，直接写出∠EHF= ______.(用含有α的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000000000076=7.6×10−11，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(−a2)3=−a6，故选项A符合题意；
B、2a2+3a2=5a2，故选项B不符合题意；
C、2a2⋅a3=2a5，故选项C不符合题意；
D、(−2ab)3=−8a3b3，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和合并同类项等知识点计算即可．
本题考查的是单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方和合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：只有选项C中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
根据同位角定义直接判断即可．
本题考查的是同位角定义，关键是同位角定义的熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=30°，
故选：B．
先利用平行线的性质可得∠1=∠ABC=60°，然后再利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠C=180°−∠A−∠B=180°−58°−62°=60°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠C=60°，
故选：C．
根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设 a2+b2=y，则原方程换元为 (y+1)(y−1)=15，
∴y2=16，
解得：y1=4，y2=−4，
即 a2+b2=4或 a2+b2=−4(不合题意，舍去)，
∴a2+b2=4．
故选：A．
设 a2+b2=y，则原方程换元为y2=16，可得y1=4，y2=−4，即可求解．
本题考查了高次方程，换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故A不符合题意；
B、同一平面内的两条不相交的直线互相平行，故B符合题意；
C、同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意；
故选：B．
根据平行线，垂线，同位角、内错角、同旁内角，平行线的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的性质，平行线，垂线，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，故①说法错误；
根据图象从1.5时到2时，是停留时间，停留0.5小时，故②说法正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为2404.5=1603(千米/时)，故③说法正确；
汽车自出发后3小时至4.5小时之间路程与时间成一次函数关系，因而速度不变，故④说法错误，
故正确的说法是：②③．
故选：B．
根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，共用时间是4.5小时．
此题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9.【答案】A
【解析】解：连接A′C′，DE．
由作图可知：BA′=BC′=OE=OD，C′A′=DE，
∴△A′BC′≌△EOD(SSS)，
故选：A．
由作图可知：BA′=BC′=OE=OD，C′A′=DE，根据SSS即可判断两个三角形全等．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：①∠AOF+∠EOF=∠DOE+∠EOF=90°，因此∠AOF=∠DOE，当∠AOF=60°时，∠DOE=60°，正确，故①符合题意；
②OB平分∠GOD，因此∠GOD=2∠BOD，而∠DOE=90°−∠BOD，所以∠DOE不一定等于∠GOD，因此OD不一定是∠EOG的平分线，故③不符合题意
③∠EOF+∠EOD=∠BOD+∠EOD=90°，因此∠EOF=∠BOD，由OB平分∠GOD得到∠GOB=∠BOD，又∠AOC=∠BOD，因此与∠BOD相等的角有三个，正确，故②符合题意；
④∠COG=∠AOB−∠AOC−∠GOB=∠AOB−2∠EOF，正确，故④符合题意．
其中正确的结论有3个．
故选：C．
由余角的性质得到∠AOF=∠DOE，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与∠BOD相等的角有三个，由平角定义推出∠COG=∠AOB−2∠EOF．
本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
11.【答案】ab2−2a+1
【解析】解：由题意得：(a2b2−2a2+a)÷a
=a2b2÷a−2a2÷a+a÷a
=ab2−2a+1，
故答案为：ab2−2a+1．
根据长方形的长=面积÷宽，列出算式，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则．
12.【答案】45°
【解析】解：∵△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，
∴∠D=∠C=50°，
∵∠A=30°，
∴∠AOD=180°−∠A−∠D=180°−30°−50°=100°，
∵∠AOC=145°，
∴∠COD=∠AOC−∠AOD=145°−100°=45°，
故答案为：45°．
根据全等三角形的性质得出∠D=∠C=50°，进而利用三角形内角和定理得出∠AOD，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．
13.【答案】y=200+10x
【解析】解：存款总金额y=200+10x，
故答案为：y=200+10x．
根据存款总金额=现已存款200元+每月10元×月数即可得出答案．
本题考查了函数关系式，根据存款总金额=现已存款200元+每月10元×月数列出函数关系式是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：原式=2×(1−12)×(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−122)×(1+122)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−124)×(1+124)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
=2×(1−128)×(1+128)×…×(1+1264)+12127
…，
=2×(1−12128)+12127
=2−12127+12127
=2，
故答案为：2．
利用平方差公式将原式变形后计算即可．
本题考查平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=4，S四边形BFOE=5，S四边形CGOF=6，
∴4+6=5+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=5．
故答案是：5．
连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
16.【答案】解：(1)原式=−1+1+4
=4；
(2)原式=−8a6b3⋅12b4c÷10a3b2
=−4a6b7c÷10a3b2
=−25a3b5c；
(3)原式=x2+3xy−xy−3y2−x2−2xy
=−3y2．
【解析】(1)根据正整数指数幂．零指数幂．负整数指数幂的定义计算即可；
(2)先计算乘方，再计算乘除即可；
(3)去括号，合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．掌握整数指数幂的运算法则．
17.【答案】解：[(x−2y)2−(x+3y)(x−3y)+3y2]÷(−4y)
=[(x2−4xy+4y2)−(x2−9y2)+3y2]÷(−4y)
=(x2−4xy+4y2−x2+9y2+3y2)+(−4y)
=(−4xy+16y2)÷(−4y)
=x−4y，
当x=2024，y=−14时，
原式=2024−4×(−14)=2025．
【解析】本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把x=2024，y=−14时，代入化简后的代数式计算即可．
本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠A，
在△ACB和△EBD中，
∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ACB≌△EBD(AAS)；
(2)解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC=DB，AC=EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=12BC，
∵DB=12，BC=DB，
∴BC=12，
∴AC=EB=12BC=6．
【解析】(1)由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
(2)由全等三角形的性质可得BC=DB=12，AC=EB，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】时间 距离 1 60 2.25
【解析】解：(1)自变量是时间或t，因变量是距离或s；
故答案为：时间；距离；
(2)小爸爸比小亮和他妈妈晚1h出发，爸爸驾车的速度是60km/h；
故答案为：1，60；
(3)图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
(4)妈妈的速度为20km/h；
根据题意得：20t=60−60(t−2)，
解得t=2.25，
即当t=2.25h时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇．
故答案为：2.25．
(1)直接利用常量与变量的定义得出答案；
(2)利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，再根据“速度=路程÷时间”可得答案；
(3)根据函数图象的横纵坐标的意义得出A点的意义；
(4)根据题意列方程解答即可．
此题主要考查了函数图象以及常量与变量、函数关系式，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
20.【答案】对顶角相等 ∠3 等量代换 c 同旁内角互补，两直线平行 平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2，(已知)
∠2=∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠3，(等量代换)
∴a//c.(同位角相等，两直线平行)
∵∠4+∠5=180°，
∴b//c(同旁内角互补，两直线平行)，
∴a//b(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠6=∠7(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；∠3；等量代换；c；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab 90
【解析】解：(1)图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即a2+b2，
由于大正方形的边长为(a+b)，因此面积为(a+b)2，两个空白矩形的面积和为2ab，因此阴影部分的面积为(a+b)2−2ab，
所以有a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)∵a+b=10，ab=5，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab
=100−10
=90，
故答案为：90；
(3)设m=11−x，n=x−8，则m+n=3，mn=(11−x)(x−8)=2，
∴(11−x)2+(x−8)2
=m2+n2
=(m+n)2−2mn
=9−4
=5；
(4)∵AC⊥BD，AE=DE=p，BE=CE=q，
∴S△ADE=12p2，S△CDE=12pq，S△ABE=12pq，S△BCE=12q2，
∵种花区域的面积和为252，即12p2+12q2=252，
∴p2+q2=25，
∵p+q=AE+CE=AC=7，
∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE
=12pq+12pq
=pq
=(p+q)2−(p2+q2)2
=49−252
=12．
(1)用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案；
(2)利用(1)的结论，整体代入计算即可；
(3)设m=11−x，n=x−8可得m+n=3，mn=2，根据m2+n2=(m+n)2−2mn代入计算即可；
(4)设AE=DE=p，BE=CE=q，由题意得到p+q=7，p2+q2=25，根据pq=(p+q)2−(p2+q2)2代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
22.【答案】ED//FG 180°−2α或2α或2α−180°
【解析】解：(1)ED//FG；
理由：∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
由题意，∠BED=∠CEF，∠AFG=∠CFE，
∴∠BED+∠AFG=90°，
∴∠CEF+∠CFE+∠BED+∠AFG=180°，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴ED//FG；
(2)∵FG⊥BC，
∴∠FGC=90°，∠CFG=90°−α，
∴∠AFE=90°−α
∴∠EFG=180°−2(90°−a)=2α．
∵DF//AC，
∴∠BED=∠C=α，
又∠FEG=∠BED，
∴α=90°−2α，
解得，α=30°．
(3)①当α<90°时，如图所示，
∵∠C=α，
∴∠CEF+∠CFE=180°−α，
又∠CEF=∠BEH，∠CFE=∠AFH，
∴∠CEF+∠BEH+∠CFE+∠AFH=360°−2α，
∴∠EFH+∠FEH=360°−(360°−2α)=2α，
∴∠EHF=180°−2α．
②当α<90°时，如图所示，
∵∠C=α，
∴∠CEF+∠CFE=180°−α，
设∖angBED=x，∠AFE=y，
∴∠CFE=180°−y，∠CEF=x，
∴180°−y+x=180°−α，
∴α=y−x．
在△EFH中，∠EFH+∠FEH+EHF=180°，
∴∠EHF=180°−(180°−2y)−2x
=2y−2x
=2α；
③当α>90°时，如图所示，
∠CEF+∠CFE=180°−α，
∠CEF+∠BED+∠CFE+∠AFG=360°−2α，
∴∠EFG+∠FED=360°−(360°−2α)=2α，
∴∠HFE+∠HEF=360°−2α
∴∠EHF=180°−(360°−2α)=2α−180°．
(1)根据题意得∠CEF+∠CFE+∠BED+∠AFG=180°，可求出∠DEF+∠EFG=180°，从而得出ED//FG；
(2)根据题意得∠AFE=∠CFG=90°−α，求得∠EFG=2α，由DF//AC得∠BED=∠C=α.根据∠FEG=∠BED得α=90°−2α，从而求出α=30°；
(3)分α<90°和α>90°两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，
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