2023-2024学年安徽省蚌埠市皖北私立联考（致远、禹泽、汉兴）高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市皖北私立联考（致远、禹泽、汉兴）高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)的图象与直线4x−y−4=0相切于点(2,f(2))，则f(2)+f′(2)=( )
A. 4B. 8C. 0D. −8
2.下列求导运算结果正确的是( )
A. (x+1x)′=1+1x2B. (xlnx)′=lnx+1
C. (sinπ)′=csπD. (exx)′=ex(x+1)x2
3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4,5)，则P(2≤X<5)=( )
A. 13B. 12C. 35D. 910
4.已知(1+x)(1−2x)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则a1的值为( )
A. −9B. −7C. 9D. 7
5.已知f(x)=2x3−6x2+a(a为常数)在[−2,2]上有最大值3，则此函数f(x)在[−2,2]上的最小值是( )
A. −37B. −29C. −5D. −8
6.用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？( )
A. 240
B. 480
C. 120
D. 200
7.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)+2f(x)>0，则下列四个判断正确的为( )
A. f(−2)<4f(1)B. f(−2)>4f(1)C. f(−2)f(1)4
8.重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观.现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩.记事件M：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件N：甲和乙选择的景区不同，则概率P(N|M)=( )
A. 716B. 78C. 37D. 67
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x+2x)5的展开式，下列结论正确的是( )
A. 奇数项的二项式系数和为32B. 所有项的系数和为243
C. 只有第3项的二项式系数最大D. 含x项的系数为40
10.有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=k)=C5k32(k∈{0,1,2,3,4,5})，则新的样本数据( )
A. 众数是1的概率是532B. 极差不变的概率是3132
C. 第25百分位数不变的概率是316D. 平均值变大的概率是12
11.已知函数f(x)=xex−x2−2x−1，则( )
A. f(x)的极小值点为−1
B. f(x)的极大值为−1e
C. 曲线y=f(x)在(−∞,ln2)单调递减
D. 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设曲线f(x)=ax3+x在(1,f(1))处的切线与直线2x−y−6=0平行，则实数a的值为______．
13.有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有______种.(用数字作答)
14.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3：5：5，则这一行是第 行.
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛．
(1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？
(2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
(3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax+1．
(1)当a=−1时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17.(本小题15分)
某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X，求X的分布列．
18.(本小题17分)
在( x−2x2)8的展开式中：
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第k项是有理项，求k的取值集合．
(3)系数的绝对值最大的项是第几项．
19.(本小题18分)
已知函数f(x)=ax2−2lnx．
(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若对∀x∈[1,3]，都有f(x)≤14恒成立，求a的取值范围；
(3)已知a>0，若∃x1，x2且满足00．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线4x−y−4=0的斜率为4，直线与函数f(x)的图象相切于点(2,f(2))，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以f′(2)=4，
又点(2,f(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2−f(2)−4=0，
所以f(2)=4.则f(2)+f′(2)=8．
故选：B．
根据导数的几何意义直接求解出f′(2)的值，再根据点在直线上求解出f(2)的值，即可计算出结果．
本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A：(x+1x)′=1−1x2，故A错误；
对于B：(xlnx)′=x′lnx+(lnx)′x=lnx+1x⋅x=lnx+1，故B正确；
对于C：(sinπ)′=0，故C错误；
对于D：(exx)′=(ex)′x−x′exx2=xex−exx2=ex(x−1)x2，故D错误．
故选：B．
根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4,5)，
则P(X=1)=1a，P(X=2)=2a，P(X=3)=3a，P(X=4)=4a，P(X=5)=5a，
又由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1a+2a+3a+4a+5a=15a=1，则a=15，
故P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=215+315+415=915=35．
故选：C．
根据题意，由分布列的性质求出a的值，又由P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)，计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据(1−2x)4的展开式Tr+1=C4r⋅(−2)r⋅xr(r=0,1,2,3,4)，
当与1配对时，r=1，x的系数为C41⋅(−2)=−8，
当与x配对时，r=0，x系数为C40=1，
故x的系数为−8+1=−7．
故选：B．
直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：函数的导数为f′(x)=6x2−12x=6x(x−2)，
由f′(x)>0得x>2或x<0，此时函数递增，
由f′(x)<0得0∵x∈[−2,2]，
∴函数在[−2,0]上递增，则[0,2]上递减，
则函数的最大值为f(0)=a=3，
则f(x)=2x3−6x2+3，
∵f(2)=2×23−6×22+3=−5，
f(−2)=2×(−2)3−6×(−2)2+3=−37，
∴当x=−2时，函数取得最小值为−37，
故选：A．
求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数在闭区间上的最值是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界”两两相邻，有A53=5×4×3=60种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有60×4=240种方法．
故选：A．
利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：令g(x)=x2f(x)，则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))>0在(0,+∞)恒成立，
所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以g(1)又因为函数f(x)为定义在R上的偶函数，
所以f(1)<4f(−2)，即f(−2)>f(1)4．
故选：D．
由xf′(x)+2f(x)>0(x>0)结构特征可知xf′(x)+2f(x)是函数g(x)=x2f(x)的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数g(x)=x2f(x)的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区对应的基本事件有4×4−3×3=7个，
甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的条件下，甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有7−1=6个，
P(N|M)=67．
故选：D．
分别求出事件M，事件N对应基本事件的个数，再结合条件概率公式即可解得．
本题考查条件概率的应用，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：(x+2x)5的展开式的所有二项式系数和为25=32，奇数项的二项式系数和为16，故A错误；
取x=1，可得所有项的系数和为35=243，故B正确；
(x+2x)5的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，故C错误；
展开式的通项为Tr+1=C5rx5−r(2x)r=2rC5rx5−2r，
由5−2r=1，得r=2，
∴含x项的系数为22⋅C52=40，故D正确．
故选：BD．
由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取x=1求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意得P(X=k)=C5k32，k∈{0,1,2,3,4,5}；
对于A，众数是1的概率是P(X=1)=C5132=532，选项A正确；
对于B，若极差不变，则X=0，1，2，3，4，概率为1−P(X=5)=1−C5532=3132，选项B正确；
对于C，由于5×25%=1.25，6×25%=1.5，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以X=1，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是1−P(X=0)=1−C5032=3132，选项C错误；
对于D，原样本平均值为15×(0+1+2+3+4)=2，平均值变大，
则X=3，4，5，概率为C5332+C5432+C5532=1032+532+132=12，选项D正确．
故选：ABD．
根据题意得到X取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数的概念与计算公式逐一判断即可．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，概率的求法，也考查了推理与运算能力，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为f(x)=xex−x2−2x−1，所以f′(x)=(x+1)ex−2x−2=(x+1)(ex−2)，
由f′(x)=0，得到x=−1或x=ln2，
当x<−1或x>ln2时，f′(x)>0，当−1所以极大值点为x=−1，极大值为f(−1)=−e−1，极小值点为x=ln2，A错误，B正确；
又y=f(x)的增区间为(−∞,−1)，(ln2,+∞)，减区间为(−1,ln2)，C错误；
对于选项D，因为f′(0)=−1，f(0)=−1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+1=−x，即x+y+1=0，D正确．
故选：BD．
根据条件，直接求出y=f(x)的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的几何意义，求出切线方程，即可判断出选项D的正误．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
12.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．
【解答】
解：f(x)=ax3+x的导数为f′(x)=3ax2+1，
可得f(x)=ax3+x在(1,f(1))处的切线斜率为1+3a，
切线与直线2x−y−6=0平行，可得1+3a=2，
解得a=13．
故答案为：13．
13.【答案】50
【解析】解：根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当A单位只有甲时，其余四人分配到B，C，不同分配方案有C41C33A22+C42C22=14种；
当A单位不只有甲时，其余四人分配到A、B、C，不同分配方案有C41C31C22A22A33=36种；
合计有50种不同分配方案．
故答案为：50．
根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
14.【答案】7
【解析】解：由题意得这一行为第2n+1(n∈N*)行，且这三个数分别为C2n+1n−1，C2n+1n，C2n+1n+1，
由题意可得C2n+1n−1C2n+1n=(2n+1)!(n−1)!⋅(n+2)!⋅n!⋅(n+1)!(2n+1)!=nn+2=35，
解得n=3，
∴这一行是2×3+1=7行．
故答案为：7．
设这一行为第2n+1(n∈N*)行，且这三个数分别为C2n+1n−1，C2n+1n，C2n+1n+1，利用组合数公式可得出关于n的等式，解出n，能求出结果．
本题考查杨辉三角、组合数公式、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，
则在剩下的10人中任选2人，有C102=10×92=45种选法；
(2)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，
故有C124−C74−C54=455种选法．
(3)若女生至少要有2人参加，
则分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人．
女生有2人男生2人，有C52C72=210种选法；
女生有3人男生1人，有C53C71=70种选法；
女生有4人，有C54=5种选法；
则共有210+70+5=285种选法．
【解析】(1)在剩下的10人中任选2人即可；
(2)从所有12人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况．
(3)分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法和分步乘法计数原理，属中档题．
16.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=−1时，f(x)=lnx−x+1，
所以f′(x)=1x−1=1−xx，令f′(x)=0，解得x=1，
令f′(x)>0，解得：0令f′(x)<0，解得：x>1，即f(x)的单调减区间为(1,+∞)，
所以当x=1时，f(x)取得极大值，极大值为f(1)=0，
故当a=−1时，f(x)的极大值为0，无极小值；
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+a=ax+1x，
①当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，
②当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−1a，
令f′(x)>0，解得：0令f′(x)<0，解得：x>−1a，即f(x)在(−1a,+∞)单调递减．
综上所述：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，在(−1a,+∞)单调递减．
【解析】(1)将a=−1代入函数中，求出函数f(x)的导函数，即可求出函数的极值．
(2)求导数，分类讨论a≥0和a<0，利用导数的正负，即可求f(x)的单调区间．
本题主要考查利用导数单调性和极值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)共有C21C42=12种选派方法；
(2)由题意知，X的取值范围为{−3,−1,1}，
所以P(X=−3)=C43⋅C20C63=15，P(X=−1)=C21⋅C42C63=35，P(X=1)=1−P(X=−3)−P(X=−1)=15，
所以X的分布列为：

【解析】(1)由排列组合性质求出结果；
(2)先求出随机变量X的取值集合，再求出其概率，进而求出其分布列．
本题考查排列组合的性质的应用及随机变量的分布列的求法，属于基础题．
18.【答案】解：(1)Tr+1=C8r( x)8−r(−2x2)r=(−1)rC8r2rx4−52r，r=0，1，⋯，8，
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以T5=(−1)4C8424x4−202=1120x−6；
(2)Tr+1=C8r( x)8−r(−2x2)r=(−1)rC8r2rx4−52r，r=0，1，⋯，8，
当4−52r为整数时为有理项，即r=0，2，4，6，8，
则k的取值集合为{1,3,5,7,9}；
(3)设第r+1项的系数的绝对值最大，
则C8r2r≥C8r−12r−1C8r2r≥C8r+12r+1，所以2r≥19−r18−r≥2r+1，解得5≤r≤6，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项．
【解析】(1)利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
(2)当4−52r为整数时为有理项，即可求解；
(3)设第r+1项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解．
本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−2lnx，
f(1)=1，f′(x)=2x−2x，
k=f′(1)=0，
所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=1．
(2)由题意对∀x∈[1,3]，f(x)max≤14，f′(x)=2ax−2x=2(ax2−1)x，
①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在[1,3]上单调递减，
所以f(x)max=f(1)=a≤14恒成立，所以a≤0，
②当a>0时，f′(x)>0，x>1 a，
所以f(x)在(0,1 a)上单调递减，在(1 a,+∞)上单调递增，
当1 a≤1，a≥1时，f(x)在[1,3]上单调递增，
f(x)max=f(3)≤14，a≤14+2ln39，舍去，
当1 a≥3，0f(x)max=f(1)≤14，a≤14，所以0当1<1 a<3，19所以f(1)≤14f(3)≤14，a≤14，所以19综上，a的取值范围为(−∞,14].
(3)证明：因为x1+x2>0，要证 a(x1+x2)2−2(x1+x2)>0，只需证明x1+x2>2 a，
由(2)可知02 a，只需证明x2>2 a−x1，
因为x2>1 a，2 a−x1>1 a，且函数f(x)在(1 a,+∞)上单调递增，
所以只需证明f(x2)>f(2 a−x1)，
又因为f(x2)=f(x1)，即证f(x1)>f(2 a−x1)，
令g(x)=f(x)−f(2 a−x)(0即g(x)=ax2−2lnx−a(2 a−x)2+2ln(2 a−x)=4 ax−4−2lnx+2ln(2 a−x)，
注意到g(1 a)=0，
因为g′(x)=4 a−2x−22 a−x=4 a−4 a⋅1x(2 a−x)≤4 a−4 a⋅1(x+2 a−x2)2=0，
则g(x)在(0,1 a)上单调递减，所以g(x)>g(1 a)=0，在x∈(0,1 a)恒成立，所以f(x2)=f(x1)>f(2 a−x1)，所以x1+x2>2 a，
所以x1+x2>2 a，即满足 a(x1+x2)2−2(x1+x2)>0．
【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于较难题．
(1)当a=1时，f(x)=x2−2lnx，求导，根据导数的几何意义可得k切=f′(1)，由点斜式可得切线的方程为y−f(1)=k切(x−1)，化简即可得答案．
(2)问题可转化为f(x)max≤14，对f(x)求导，分析单调性，求出f(x)得最大值，使得它小于等于14，进而可得a的取值范围．
(3)问题转化为只需证明x1+x2>2 a，由x2>1 a，2 a−x1>1 a，且函数f(x)在(1 a,+∞)上单调递增，推出只需证明f(x2)>f(2 a−x1)，即可得出答案．X
−3
−1
1
P
15
35
15