安徽省蚌埠市禹泽汉兴友谊联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省蚌埠市禹泽汉兴友谊联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了函数的单调递增区间为，函数的值域为________．，已知函数的一段图象如图所示．等内容，欢迎下载使用。

第二学期第一次月考
数 学 试 题
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
考生必须保证答题卡的整洁。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列变化中，不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
2．下列说法中，正确的是( )
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
3．当为第二象限角时，的值是( )
A．1B．0
C．2D．－2
4．若sin(＋)＋cs(＋)＝－m，则cs(－)＋2sin(2－)的值为( )
A．－eq \f(2m,3)B．eq \f(2m,3)
C．－eq \f(3m,2)D．eq \f(3m,2)
5．将函数的图象上所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为( )
A．B．
C．D．
6.函数的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
7．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
C． eq \f(\r(2),2)D． eq \f(\r(3),2)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在上为单调增函数的是( )
A．B．
C． D．
10．函数的图象为C，下列结论中正确的是( )．
A．图象C关于直线对称；
B．图象C关于点对称；
C．函数在区间内是增函数；
D．由的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C．
11．关于函数，下列说法正确的是( )
A．该函数是以为最小正周期的周期函数
B．当且仅当(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于(k∈Z)对称
D．当且仅当(k∈Z)时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数是________.
13.已知角的终边过点，则＝________.
14.函数的值域为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，且有意义．
(1)试判断角所在的象限；
(2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值．
16.（15分）已知函数，为常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若时，的最大值为3，求的值．
17．（15分）化简：．
18.（17分）已知函数的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在上的递增区间．
19.（17分）如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？在此处键入公式。1．下列变化中，不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
D [由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．]
2．下列说法中，正确的是( )
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
D [因为236°＝－124°＋360°，所以－124°与236°是终边相同的角，故选D．]
3．当α为第二象限角时，eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α)),sin α)－eq \f(cs α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs α)))的值是( )
A．1B．0
C．2D．－2
C [∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cs α<0.
∴eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α)),sin α)－eq \f(cs α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs α)))＝eq \f(sin α,sin α)－eq \f(cs α,－cs α)＝2.]
4．若sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－m，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－eq \f(2m,3)B．eq \f(2m,3)
C．－eq \f(3m,2)D．eq \f(3m,2)
C [∵sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝eq \f(m,2).
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)m.]
5．将函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))
A [将y＝sin x的图象上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象．]
6.函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调递增区间为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z
C [由kπ－eq \f(π,2)7．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解析】当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，
所以的值域为.故选：C.
8．函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0且|φ|<\f(π,2)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
C． eq \f(\r(2),2)D． eq \f(\r(3),2)
A [由函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减，且eq \f(1,2)T＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，
则T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin(2x＋φ)，
又feq (\a\vs4\al\c1(x))＝sin(ωx＋φ)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))，代入可得φ＝eq \f(π,6)，
因此feq (\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
令x＝0，可得y＝eq \f(1,2)，故选A．]
9．下列函数中，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为单调增函数的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
C．y＝sin 2xD．y＝tan x
[答案] BD
10．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，下列结论中正确的是( )．
A．图象C关于直线x＝eq \f(11π,12)对称；
B．图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
C．函数f(x)在区间x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；
D．由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C．
ABC [由于2× eq \f(11π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(3π,2)，故A正确；
由于2× eq \f(2π,3)－eq \f(π,3)＝π，故B正确；
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))得2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故函数f(x)为增函数，故C正确；
将函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可得函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))的图象，故D不正确．]
11．关于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，sin x≤cs x,cs x，sin x>cs x))，下列说法正确的是( )
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于x＝eq \f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)对称
D．当且仅当2kπ＜x＜eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤eq \f(\r(2),2)
CD [画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．
由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故AB错误，由图象知，函数图象关于直线x＝eq \f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤eq \f(\r(2),2).故CD正确．]
12．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数是________.
[解] 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lR，得1＝eq \f(1,2)(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝eq \f(l,R)＝eq \f(2,1)＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
13.已知角α的终边过点Peq (\a\vs4\al\c1(－3a，4a))eq (\a\vs4\al\c1(a≠0))，则2sin α＋cs α＝________.
[解] r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
∴2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，
∴2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.
14函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
[－4,4] [∵－eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4)，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．]
15．已知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α))＝－sin α，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，求m的值及sin α的值．
[解] (1)∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α))＝－sinα，∴sin α＜0.①
∵lg(cs α)有意义，∴cs α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))在单位圆上，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5)，又α是第四象限角，
∴m＜0，∴m＝－eq \f(4,5).
则sin α＝－eq \f(4,5).
16.已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．
[解] (1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋a.
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，f(x)∈[－1＋a,2＋a]，故a＝－2或1.
17．化简：eq \f(sinkπ－αcs[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]cskπ＋α)(k∈Z)．
[解] 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin2nπ－αcs[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cs2nπ＋α)
＝eq \f(sin－αcs－π－α,sinπ＋αcs α)＝eq \f(－sin α－cs α,－sin αcs α)＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin[2n＋1π－α]cs[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]cs[2n＋1π＋α])
＝eq \f(sinπ－αcs α,sin αcsπ＋α)＝eq \f(sin αcs α,sin α－cs α)＝－1.
综上，原式＝－1.
18.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．
[解] (1)由函数的图象知，A＝2eq \r(3)，eq \f(T,2)＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，
∵T＝eq \f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq \f(2π,16)＝eq \f(π,8)，
∴y＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋φ))，
∵函数图象经过点(2，－2eq \r(3))，
∴eq \f(π,8)×2＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)，
即φ＝2kπ－eq \f(3π,4)，又|φ|<π，
∴φ＝－eq \f(3π,4)，
∴函数的解析式为y＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4))).
(2)由已知得2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(π,8)x－eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，
即16k＋2≤x≤16k＋10，
即函数的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(16k＋2，16k＋10))，k∈Z，
当k＝－1时，为[－14，－6]，
当k＝0时，为[2,10]，∵x∈[－2π，2π]，
∴函数在[－2π，2π]上的递增区间为[－2π，－6]和[2,2π]．
19.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
[解] (1)如图所示建立直角坐标系，设角φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<φ<0))是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为eq \f(5×2π,60)＝eq \f(π,6).
则OP在时间t(s)内所转过的角为eq \f(π,6)t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－eq \f(1,2)，即φ＝－eq \f(π,6).
故所求的函数关系式为z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2.
(2)令z＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2＝6，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＝1，令eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.