13，江苏省镇江市京口区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份13，江苏省镇江市京口区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1. 某学校为了解“双减”后1000名七年级学生每天做家庭作业所用的时间，现从七年级学生中随机抽取120名学生进行调查，在这个抽样调查中，样本的容量是________．
【答案】120
【解析】
【分析】从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量，据此解答即可．
【详解】解：由题意，在这个抽样调查中，样本的容量是120，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了样本的容量，熟记样本容量的定义是解题关键，需注意的是，样本容量只是个数字，没有单位．
2. 描述临海市本周最低气温的变化情况，最适合采用 ___________统计图（填“扇形”、“折线”或“条形”）．
【答案】折线
【解析】
【分析】条形统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，根据各种统计图的特点可作出判断．
【详解】解：描述临海市本周最低气温的变化情况，最适合采用折线统计图．
故答案为：折线．
【点睛】本题主要考查各种统计图的特点，关键是要牢记各种统计图的特点．
3. 在中，已知，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形的内角和可得，再根据平行四边形对角相等，即可进行解答．
【详解】解：如图：试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等的性质．
4. 2023年奥林匹克日用数字20230623表示，这组数字中出现频数最高的数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据频数的定义即可得出结论．
【详解】因为20230623中出现数字“2”有3个，“0”有2个，“6”有1个，
所以这组数字中出现频数最高的数是2
故答案为：2．
【点睛】本题考查频数的定义的理解能力．频数：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数．明确频数的定义是解本题的关键．
5. 已知矩形的较短边长为6，两对角线的夹角为60°，则矩形的面积为_____________；
【答案】36
【解析】
【分析】根据题意画图，矩形对角线相等且互相平分，由两对角线的夹角为60°可知，△AOB为等边三角形，即可求得AC=12，利用勾股定理可求得BC，进而求得面积.
【详解】
根据题意画图可知
AB=6，∠1=60°
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴△AOB为等边三角形
∴AC=2AB=2AO=12
在直角△ABC中
BC===
∴S□ABCD=6×=
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用矩形中对角线相等且互相平分来求矩形的长，从而解题.
6. 成语“水中捞月”反映的事件是______事件（填必然、不可能或随机）．
【答案】不可能
【解析】
【分析】根据事件的分类，进行判断即可．
【详解】解：成语“水中捞月”反映的事件是不可能事件；
故答案为：不可能．
【点睛】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7. 已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【解析】
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，
故答案为：ADCB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
8. 一个容量为80的样本，最大值为145，最小值为50，取组距为10，则样本分成________组．
【答案】10
【解析】
【分析】根据组距，最大值、最小值、组数以及样本容量的关系进行计算即可．
【详解】解：在样本数据中最大值为145，最小值为50，它们的差是，
已知组距为10，那么由于，
∴可以分成10组，
故答案为：10．
【点睛】此题考查的是组数的计算，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可．
9. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可．
【详解】在中，若，则，则应假设，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键．
10. 如图，菱形ABCD的周长为16，若，E是AB的中点，则点E的坐标为_____________．
【答案】(，1)
【解析】
【分析】首先求出AB的长，进而得出EO的长，再利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出E点横纵坐标即可．
【详解】解：如图，过E作EM⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，且周长为16，∠BAD=60°，
∴AB=CD=BC=AD=4，AC⊥DB，∠BAO=∠BAD=30°．
∵E是AB的中点，
∴根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半可得EO=EA=EB=AB=2，
∴∠BAO=∠EOA=30°，
∴EM=OE=1，
∴OM=，
∴点E的坐标为(，1)．
故答案为：(，1)．
【点睛】本题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．根据已知得出EO的长以及∠EOA=∠EAO=30°是解题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，E，F分别为，的中点，．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】延长AE交DC的延长线于M，过点M作MN⊥AF于N，先证明△ABE≌△MCE，得到AM=6，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AN，MN，然后利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：延长AE交DC的延长线于M，过点M作MN⊥AF于N，
∵E为BC的中点，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DM，AB=CD
∴∠B=∠ECM，
又∵∠AEB=∠MEC，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴，，
∴，
∵MN⊥AF，
∴∠MNA=∠MNF=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠AMN=30°，
∴，
∴，
∵AF=4，
∴，
在直角三角形MNF中：，
∵F为BC的中点，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，点D是的中点，点P在边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 ____________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、菱形的性质、勾股定理，先由点A和点C求得点D的坐标、点B的坐标和点P的纵坐标，然后分类讨论求出点Q的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
①如图1所示，以为对角线，点P在点D的左侧时，，
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
②如图2所示，以为对角线，点P在点D的左侧时，．
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
③如图3所示，以为对角线，点P在点D的右侧时，，
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或；
故答案为：或或．
二、单选题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题．
故选：B．
14. 下列调查中，适合普查方式的是（ ）
A. 调查全国初中生的睡眠时间B. 调查某班级学生的身高情况
C. 调查长江江苏段的水质情况D. 调查某品牌灯泡的使用寿命
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
【详解】解：A、调查全国初中生的睡眠时间，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意；
B、调查某班级学生的身高情况，范围小，人数不多，适合普查，符合题意；
C、调查长江江苏段的水质情况，范围广，人数众多，应采用抽样调查，不符合题意；
D、调查某品牌灯泡的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意；
故选：B．
15. 抛掷一枚质地均匀的1元硬币10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次抛掷该硬币，则正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果9次是正面朝上，1次是反面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
16. 平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（ ）
A. 12和16B. 20和22C. 10和16D. 8和36
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系来判断对角线的范围．根据平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴能构成三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
17. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，利用含角的直角三角形的性质求出，在中利用勾股定理求出，利用平行四边形求出，，在中利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
18. 如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则，
∴和均为等边三角形，，
∴，
∴，
∴、、共线时最短，
由于点E也动点，
∴当时最短，而，
∴，，
∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为 ．
故选C．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，进而求出答案 ．
【小问1详解】
证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
∵，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
为的中点， 等边的边长是4，
，，，
．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、 三角形中位线定理等知识， 正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
20. 在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．某校有2000名学生，为了调查学生对雾霾天气知识的了解情况，在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图．

请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有___________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是___________度；
（4）根据调查结果请估算全校有多少学生达到对雾霾天气知识比较了解或非常了解．
【答案】（1）400人
（2）见解析 （3）54
（4）400名
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）用A等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；
（2）先求出D等级的人数，再补全统计图即可；
（3）用360度乘以B等级的人数占比即可得到答案；
（4）用2000乘以样本中A等级和B等级的人数占比之和即可得到答案．
【小问1详解】
解：名，
∴本次参与调查的学生共有400名，
故答案为：400名；
【小问2详解】
解：由（1）得D等级的人数为名，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：，
∴扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：54；
【小问4详解】
解：名，
∴估算全校有400名学生达到对雾霾天气知识比较了解或非常了解
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【答案】（1）见解析 （2）62°
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，从而得到∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，可证得△AEF≌△DCF，进而得到AE=CD，即可求证；
（2）根据AB＝AE，可得BE=2AE，从而得到BC=BE，进而得到∠BCE=∠E＝31°，进而得到∠ABC=118°，即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥CD，
∴∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
∴△AEF≌△DCF，
∴AE=CD，
∴AB=AE；
【小问2详解】
解：∵AB=AE，
∴BE=2AE，
∵BC＝2AE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠E＝31°，
∴∠ABC=180°-∠E-∠BCE=118°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=62°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
22. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球．
（1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则 ；如果事件A是随机事件，则 ；
（2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值．
【答案】（1）3，1或2
（2）1
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量．
（1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球，
∴；
如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球，
∴或2；
故答案为：3，1或2；
【小问2详解】
由题意，得：，
解得：．
23. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，在10×10的网格中，有一格点三角形ABC．（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）将△ABC绕点C旋转180°，得到△A'B'C，请直接画出旋转后的△A'B'C．（友情提醒：别忘了标上相应的字母!）
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质直接作图即可；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，得到BO=DO，∠FDO=∠EBO，进而通过△BOE≌△DOF得解．
【详解】解：（1）如图1，△A′B′C即为所求；
（2）如图2：
连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，
又∵∠FOD=∠EOB，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查作旋转对称图形，平行四边形的性质应用．熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
24. 如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线长度的平方是四边形某两边长度的乘积，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，在这个四边形中，，满足，四边形是闪亮四边形，是亮线．
（1）以下说法在确的是__________（填写序号）
①正方形不可能是闪亮四边形
②矩形有可能是闪亮四边形
③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为
（2）如图2，在四边形中，，四边形是否为闪亮四边形？如果是，哪条线段是亮线，并写出验证过程，如果不是，说明理由．
【答案】（1）①③；（2）四边形ABCD是闪亮四边形，BD为亮线
【解析】
【分析】（1）根据正方形、矩形和菱形基本性质逐项分析即可；
（2）先分别根据勾股定理求出BD，BC以及AC的长度，从而结合题干定义进行分析即可．
【详解】解：（1）①设正方形的边长为，则对角线为，
∵，，
∴，
∴正方形不可能是闪亮四边形，①正确；
②设矩形的一组邻边为，则对角线的平方为，
该矩形两边长乘积为，
∴若成立时，可满足闪亮四边形的定义，
∵，
∴恒成立，
∴矩形不可能是闪亮四边形，②错误；
③如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，
若菱形ABCD闪亮四边形，则，
即：，
∵AB=BC，
∴AB=AC=BC，△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为，③正确；
故答案为：①③；
（2）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AD=9，AB=12
∴由勾股定理得BD2=225，
如图，作DE⊥BC于E点，则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=12，BE=AD=9，
在Rt△DEC中，CD=20，
由勾股定理得CE=16，
∴BC=BE+CE=25，
在Rt△ABC中，，
∵，
∴，
∴四边形ABCD是闪亮四边形，BD为亮线．
【点睛】本题考查新定义多边形，涉及勾股定理解三角形，理解题干意思，熟悉常见四边形的基本性质，并灵活运用勾股定理是解题关键．
25. 如图，中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F，连接．

（1）求证：；
（2）①当线段、满足什么数量关系时，四边形是正方形，并说明理由；
②已知，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①当时，四边形是正方形，理由见解析②
【解析】
【分析】（1）证明，得到，斜边上的中线得到，即可得推出；
（2）①先证明四边形是菱形，利用有一个角是的菱形是正方形，得到，即可得出结论；②勾股定理求出的长，推出菱形的面积等于的面积，进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵中，，是斜边上的中线，点E是的中点，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，四边形是正方形；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形菱形，
当菱形是正方形时，则：，
即：，
∵，
∴为的中垂线，
∴，
即当时，四边形是正方形；
②∵，
设，
∵，，
∴，即：
解：（负值已舍去）；
∴，
设边上的高为，则：；
∵四边形是菱形，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查斜边上的中线，菱形的判定和性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，证明四边形为菱形．
26. 实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点落在矩形的边上（如图①）．
①当点与点重合时， ；当点与点重合时， ；
②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
深入探究
（2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值．
拓展延伸
（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②边长是，证明见解析（2）2（3）存在，长度是或
【解析】
【分析】（1）①当点与点重合时，如图1，画出图形可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分；
②证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可；
（2）如图4，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以；
（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）①；
当点与点重合时，是的中垂线，
；
当点与点重合时，此时．
②设交于点，
四边形是矩形

，
点沿折叠后对应点为，

在和中，



四边形是平行四边形

是菱形
当时，菱形的边长为．
设菱形边长为，则
在中，由勾股定理得：，
，
．
（2）的最小值为．
若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上，
设，则，
当在一条直线上时，最小，
最小值为，
所以当最大取时，的最小值为．
（3）或．
情况一：连接，
，
设，则，
则



解得：；
情况二：
设，则，
则，，
则，，，

解得：．
综上所述，的长度为或
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．