10，河南省漯河市召陵区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份10，河南省漯河市召陵区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。
1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分．
2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：A．
2. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，本选项符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3. 由线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. ，，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、∵ ，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B、 ∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C、∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D、∵，设，，，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意，
故选：D．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可；掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B.，故选项B错误；
C.，故选项C正确；
D.，故选项D错误．
故选：C．
5. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意；
添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意；
添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；
添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
6. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ）
A. 对顶角相等B. 若，则C. 直角三角形的两锐角互余D. 全等三角形的对应角相等
【答案】C
【解析】
【分析】先写出各选项的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
B、若，则的逆命题是若，则，当时，不成立，不符合题意；
C、直角三角形的两锐角互余的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形，成立，符合题意；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是三个角对应相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查判断逆命题的真假．正确的写出逆命题，是解题的关键．
7. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）

A. 甲对、乙不对B. 甲不对、乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲乙作图的方式可得到边和角相等，再根据平行四边形的性质与判定即可解答．
【详解】解： 由甲图可知，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故甲正确；
由乙的作图可知是的角平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故乙正确；
故选．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
8. 如图，是内一点，，，，，、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）

A. 7B. 8C. 11D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据中位线定理得出，，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵、、分别是、、、中点，，
∴，，
∴四边形的周长，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
9. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为，根据题意求出的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解．
【详解】，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为，
则，
∵直角三角形的一个锐角为，
∴
∴
∴，
由图②可知，阴影部分的面积，
故选：D．
10. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，；
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴点E为中点，
∴，
∴
∴；
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴；
故②正确；
∵，
∴直角三角形中斜边最长，即，
故③错误；
∵，
∴平分，，
∴；
故⑤正确；
在中，，
∴；
∵，
∴
故④正确；
故正确的有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 比较大小：3﹣_____﹣2．
【答案】＞
【解析】
【分析】利用作差法比较大小，先将3﹣﹣（﹣2），化简以后判断差与0的大小关系即可.
【详解】解：∵3﹣﹣（﹣2）＝5﹣2，且4＜5＜6.25即2＜＜2.5，
∴4＜2＜5，
∴5﹣2＞0，
∴3﹣＞﹣2．
故答案是：＞．
【点睛】此题考查的是用“作差法”比较大小.
12. 如图，直线ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间距离是_____cm．
【答案】12
【解析】
【分析】根据角平分线得出∠HGI＝90°，利用直角三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：设直线AB与直线CD之间的距离是h，
∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，
∴∠FGI＝∠FGD，∠HGF＝∠CGF，
∵∠CGF+∠FGD＝180°，
∴∠HGF+∠FGI＝90°，
∴∠HGI＝90°，
∵，HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，
∴h＝，
即直线AB与直线CD之间的距离是12cm，
故答案为：12．
【点睛】此题考查角平分线的定义，平角的定义，关键是根据直角三角形的面积公式解答．
13. 如图，在口ABCD中，，，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由平行四边形ABCD，CE平分，可得，利用等角对等边得出，结合图形中线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵CE平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
14. 国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，含角的直角三角形，解答本题的关键是求出的值．根据，得出，由，是直角三角形，可以求得的值．
【详解】解：∵是直角三角形，，，，
∴，
∵，是直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【解析】
【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
详解】解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；
故答案为：1.75或4．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【小问1详解】
原式，
，
；
【小问2详解】
原式，
，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．
18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点的直角三角形，满足它是轴对称图形；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形，且它不是轴对称图形；
（3）若点的坐标为，请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点，使以四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的坐标是：______．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）点的坐标是：或或．
【解析】
【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）画一个等腰直角三角形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据点的坐标，确定平面直角坐标系，画出平行四边形，可得结论．
【小问1详解】
解：取格点，依次连接三点，如图：
由格点可知，，，
∴是等腰直角三角形，又是轴对称图形，
∴就是所求的三角形．
【小问2详解】
解：取格点，依次连接三点，如图：
由格点可知，，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴就是所求的三角形．
【小问3详解】
解：如图：
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
∴点的坐标是：或或．
20. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
（1）______的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）小亮 （2）
（3）10
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的．
故答案为：小亮；
【小问2详解】
错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：．
故答案为：；
【小问3详解】
，
．
原式，
当时，
原式．
21. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）
【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为
【解析】
【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论．
【详解】解：在Rt中, ，，（m），
（m），
在Rt中，，，（m），
（m），
（m），
答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）甲、乙两种方案，证明见解析
（2）48
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故．
【小问1详解】
证明：甲方案：如图，连接，

∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：甲方案和乙方案；
【小问2详解】
∵四边形和四边形都为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：的面积为．
23. （1）如图1，中，D、E分别是和的中点，若，则______，若，则______．
（2）如图2，在四边形ABCD中，，（），点E、F分别是和的中点，，求的值．
小明是这样作的，过点F作交BC于点M，交的延长线于点N，（如图3）据此，他就计算出了的值．请你把这个计算过程完整的写出来．
【答案】（1）3；；（2）．见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行线的性质解答即可；
（2）过点F作交于点M，交的延长线于点N，根据证明，利用全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵D、E分别是和中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
故答案为：3；；
（2）过点F作交于点M，交的延长线于点N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是平行四边形是中位线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的判定和性质，梯形，关键是通过作辅助线构造平行四边形，应用平行四边形的性质证明三角形中位线定理；通过作辅助线构造全等三角形，应用三角形中位线定理，证明梯形中位线定理．∵，
∴，
又∵（ ），
∴四边形是平行四边形．

甲方案
乙方案
分别取的中点E，F
作于点E，于点F