广西壮族自治区河池市宜州区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意：
1.本试题卷满分120分，考试时间120分钟．
2.考生必须在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效．
3.考试结束，上交答题卡．
一、选择题：（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分．）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．
形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意；
B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意；
C、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意，
故选：D．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，4，5B. 6，8，10C. 13，12，5D. 7，24，25
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握两小边的平方和等于最长边的平方是解答本题的关键．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，所以不能组成直角三角形；
B、因为，所以能组成直角三角形；
C、因为，所以能组成直角三角形；
D、因为，所以能组成直角三角形．
故选：A．
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了二次根式的性质，二次根式的加减运算．根据二次根式的性质，二次根式的加减运算，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
5. 如图，为测量位于一水塘旁，两点间的距离，在地面上确定点，分别取和的中点和，量得，则，两点之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：点，为，的中点，
是的中位线，
，
，
，两点之间的距离是．
故选：C．
6. 若，则（ ）
A. B. C. D. x为一切实数
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
7. 一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（ ）
A. 2B. 4C. D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，分当斜边长为时；当两条直角边长分别为1和时，两种情况利用勾股定理求出第三边的长即可．
【详解】解：当斜边长为时，第三边长．
当两条直角边长分别为1和时，第三边长．
∴第三边长为或．
故选：D．
8. 若，为实数，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件，求出的值是解答本题的关键．
先根据二次根式有意义的条件，求的值，进而求的值，然后代入计算．
详解】解：，，
，
，
，
，
故选．
9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点A作于点H，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式．充分利用菱形的面积与三角形面积的关系是解答本题的关键．
由菱形的性质可得，从而根据三角形的面积公式求得，进而根据勾股定理在中求得，根据的面积即可求的．
【详解】∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵在菱形中，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
故选：A
10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】
【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．
11. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ）
A. 13.5尺B. 14尺C. 14.5尺D. 15尺
【答案】C
【解析】
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【详解】解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1-5）2=x2，
解得：x=14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
12. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A. 3B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，

在和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
二、填空题：（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内．）
13. 若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，即可求得．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：
14. 与最简二次根式能合并，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出关于m的方程是解答本题的关键．先将化简，然后根据同类二次根式的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】解：∵与最简二次根式能够合并，
即与是同类二次根式
∴，即．
故答案为1．
15. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是________．（填序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定分别进行求证即可．
【详解】解：∵，，
∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意；
∵，，
∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意；
∵，，
∴不能判定四边形平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意；
∵，，
∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意；
故答案为：①④
16. 若a，b，c是的三边，且，则的面积为_________．
【答案】60
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根等知识点，熟练掌握这些性质，得到三角形的三边长是解题的关键． 先根据非负数的性质得到的三边a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积为．
故答案为60．
17. 菱形对角线、相交于点，于，，，则=_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，在根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得菱形的面积，代入数据即可求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴对角线相互垂直平分，即，
又，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴菱形的面积是，
故答案为．
18. 如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝____度．
【答案】18
【解析】
【分析】连接DM，如图，设∠DAF=x．根据矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质求出∠DMC=2x，根据轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质和等价代换思想求出∠DCF=4x和∠MDC=4x，最后根据三角形内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：连接DM，如图所示，设∠DAF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=90°．
∵M是AC中点，
∴．
∴∠ADM=∠DAF=x，∠DCF=∠MDC．
∴∠DMC=∠DAF+∠ADM=2x．
∵△DCE沿直线DE折叠，点C落在对角线AC上的点F处，
∴FD=CD，∠DFC=∠DCF．
∴FD=AB．
∵MF=AB，
∴FD=MF．
∴∠FDM=∠DMC=2x．
∴∠DFC=∠FDM+∠DMC=4x．
∴∠DCF=∠DFC=4x．
∴∠MDC=∠DCF=4x．
∵∠MDC+∠DCF+∠DMC=180°，
∴4x+4x+2x=180．
∴x=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，综合应用这些知识点是解题关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步嚎．请将解答写在答题卡上对应的区域内．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．
【详解】解：原式
；
20. 如图，在珠海横琴一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积．
【答案】绿地的面积为96
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD
＝×10×24−×8×6
＝96．
∴绿地的面积为96．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
21. E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先由得，从而得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
【小问2详解】
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23. 如图，将正方形各边，，，顺次延长至，，，，且使．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，，求正方形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等、正方形的判定方法、勾股定理，熟练掌握三角形全等、正方形的判定方法、勾股定理是解题的关键．
（1）先根据正方形的性质，可证，得四边形为菱形，再求一个角是直角，从而证明它是正方形.
（2）根据，，得，根据勾股定理可得，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形
，
又，
，
，
，，
∴四边形为菱形．
，，
即，
∴四边形是正方形．
【小问2详解】
解：，，
，
，
．
24. 如图，四边形中，，，，E是的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记矩形，正方形的判定方法是解本题的关键；
（1）利用有三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可；
（2）先证明，再结合（1）的结论可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
当满足时，四边形是正方形．
理由：∵，E是的中点，，
∴，
由（1）可知四边形矩形
∴四边形是正方形．
25. 我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：
；
像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）分母有理化的值为________．
（2）分母有理化的值为________（n为正整数）．
（3）计算：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
（1）分子、分母都乘以即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；
（2）分子、分母都乘以求解可得；
（3）原式变形，再进一步计算可得．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：原式
26. 探索与发现：
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．

（1）小李同学通过观察发现图中，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
（3）进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．
【答案】（1）见解析；
（2），证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证明；
（2）过点F作于点H，则，根据全等三角形的判定和性质得出，然后计算三角形面积即可；
（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，由题意得出当点P运动时，点F在直线上运动，利用矩形的判定和性质及三角形三边关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴， ，
∴（同角的余角相等）；
【小问2详解】
如图，过点F作于点H，则，

∵四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，

由（2）得，
∴当点P运动时，点F在直线上运动，
∵四边形是边长为3的正方形，
∴， ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点B与点M关于对称，
∴，点M在上，，
∴，
∴，
∵(当且仅当点F在上时等号成立)，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．