数学（辽宁卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．数0，﹣2，，2中最小的是（ ）
A．0B．﹣2C．D．2
【答案】B
【分析】根据有理数的大小排列即可判断大小，得到最小值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴最小的数是﹣2，
故选：B．
2．下面搭成的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形．
故选：A．
3．下列图形中，只是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图只是中心对称图形，符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】B
【分析】感觉同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方法则分别计算．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故错误，不合题意；
故选：B．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，列得，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故选：C．
6．方程的解是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】D
【分析】去分母，转化为整式方程，求解，然后验证即可．
【详解】解：两边同乘，得 ，
去括号，移项并合并同类项，得 ，
系数化为1，求得 ，
经检验，为原分式方程的增根，原方程无解．
故选：D
7．已知，且，则关于自变量的一次函数的图象一定经过第几象限（ ）.
A．一，二B．三，四C．二，三D．一，四
【答案】B
【分析】首先由，根据二次根式和完全平方式确定m n的值，再由，利用比例的性质确定k的值，根据函数的图象特点即可判断出选项．
【详解】∵
∴，
∴m=5，n=3，
∵，
∴a+b-c=ck，a-b+c=bk，-a+b+c=ak，
相加得：a+b+c=（a+b+c）k，
当a+b+c=0时，k=-2，
当a+b+c≠0时，k=1，
即：y=-2x-15或y=x-15，
所以函数图象一定经过第三、四象限.
故选B.
8．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设有x名工人生产螺栓，则人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元一次方程解决问题．
【详解】设有x名工人生产螺栓，则人生产螺母，依题意得,
,
故选B．
9．如图，直线与交于E， 过上一点A 作则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查对顶角相等，根据求出，再根据对顶角相等得到．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选：D．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EFB．EF∥CDC．AE平分∠BEFD．AB＝AE
【答案】D
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了乘法公式的运用．先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．如图，已知棋子“车”的位置表示为(﹣2，3)，则棋子“炮”的位置可表示为 ．
【答案】(3，2)
【分析】根据棋子“车”的位置表示为(﹣2，3)，确定原点，建立平面直角坐标系，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的位置可表示为，
故答案为：．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0，2，3，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为 ．
【答案】
【分析】根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果数除以总的结果数，由此即可求出答案．
【详解】解：可能出现的结果如表所示，
总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，
∴，
故答案是：．
14．如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是 ．
【答案】2
【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
【详解】解：延长BC，交x轴于点D，
设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x−a，2y)，
∴2y(x−a)=2，
∴xy−ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
15．如图，扇形的圆心角，，将扇形沿射线平移得到扇形，与相交于点，若点为上靠近点的三等分点，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，过点作交的延长线于点．由平移的性质结合已知求出，再根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点．

根据平移的性质：，
∴在中，，
根据平移的性质得：，
∵点为上靠近点的三等分点，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，，
在中，
，
∴，
∴．
∴
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】；
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解．
【详解】解： 原式


；
，
原式
．
17．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元．
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【答案】(1)甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟
(2)单独租用一台车，租用乙车合算
【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据工作总量=工作时间×工作效率建立方程求出其解即可；
（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费5280元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．
【详解】（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据题意得出：
，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：（元），
单独租用甲车总费用是：（元），
单独租用乙车总费用是：（元），
，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
18．某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等第：不合格，基本合格，合格，良好，优秀，制作了如下的统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图：
（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数：
（3）如果80分以上（包括80分）为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．
【答案】（1）参加测试的总人数为人，补全图形见解析；（2）；（3）1200名学生中达标人数为760人．
【分析】（1）用基本合格这个等第的总人数除以这个等第的占比可得总人数，再求解良好这个等第的人数，再补全条形图即可得到答案；
（2）由优秀这个等第的占比乘以即可得到答案；
（3）由全校总人数乘以“优秀”的百分比即可得到答案．
【详解】解：（1）由基本合格这个等第的信息可得：
（人），
所以参加测试的总人数为人，
则良好这个等第有人；
补全条形图如下：
（2）由题意可得：
，
答：“优秀”所对圆心角度数为；
（3）由题意可得：
（人）．
答：1200名学生中达标人数为760人．
19．某商店以60元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式如图所示．
（1）根据图象求出y与x的函数表达式：并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价应定为多少元时，商店获得利润达到5400元？
（3）当销售单价应定为多少元时，商店获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的函数表达式：y＝﹣2x+360（60≤x≤180）；（2）销售单价应定为90元或150元；（3）当销售单价定为120元时，商店获得利润最大，最大探究竟7200元．
【分析】（1）设出一次函数的一般解析式，再代入图上已知的两点坐标，求得待定系数便可；
（2）根据“（销售单价−成本）×销售数量＝总利润”列出方程解答便可；
（3）根据题意求出商店获得利润w与销售单价x的函数关系式，再根据函数性质求出最值便可．
【详解】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴y与x的函数表达式：y＝﹣2x+360（60≤x≤180）；
（2）由题意得，y（x﹣60）＝5400，
即（x﹣60）（﹣2x+360）＝5400，
解得，x1＝90，x2＝150，
答：销售单价应定为90元或150元；
（3）商店获得利润为w，根据题意，得
w＝（x﹣60）（﹣2x+360）＝﹣2（x﹣120）2+7200，
∵a＝﹣2＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝120时，w有最大值为7200元，
答：当销售单价定为120元时，商店获得利润最大，最大探究竟7200元．
20．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1m，HF段的长为1.50m，篮板底部支架HE的长为0.75m．
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1 m；参考数据：cs75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)

【答案】（1）∠FHE＝60°；（2）篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米．
【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出cs∠FHE=，进而得出答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1 ）由题意可得：cs∠FHE＝，则∠FHE＝60°；
（2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM 于 G，

在 Rt△ABC 中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在 Rt△AGF 中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米．
21．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）连接OD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵，∴OE⊥AD．
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE22．
22．【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．
任务1 请你写出关于的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务3 利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？

【答案】任务1：；任务2：①2000，1000；②见解析；③见解析；任务3：当时，容积取得最大值，最大值为．
【分析】本题考查了函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．
任务1 根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式，根据的实际意义可直接分析出其取值范围；
任务2 ①分别将和10代入函数关系式可求出的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
任务3 根据数形结合的思想可直接从图象中估出的为5时，容积最大．
【详解】解：任务1
；
任务2 ①在中，
当时，；当时，，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，

③如图2所示：

任务3 由图可知，当为5时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
23．在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到（），点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用边角条件证明，得到与的关系，再利用直角三角形三边勾股定理得到；
（2）通过和点M为的中点得到，再通过计算角度和边长关系得到，得到，然后计算角度得到，得到，最后转换边长得到；
（3）利用四点共圆找到最大位置，求出点P位置，构造相似找出Q、R的位置及关系，找到的线段，利用动点Q得到的最值位置，最后利用特殊角构造直角三角形求解即可．
【详解】（1），，
，，
，，
又，
，
，，
又，
，
，
，
；
（2）
连接
，，
，
设，
，
，，
又，，
，，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）由沿翻折至，
可知，，
∴A、P、C、B四点共圆，圆心为外心，
最大时为直径，
又，，，
得为等边三角形，
，，，
在上取，作，连接，使，
，得，
在、射线上取，连接，
由得，
，，
，，
即点为条件中的点，
，
，
又，
，
，
，
，
当HQP三点共线时，的最小值为，
，，，
作交延长线于点，
，，，
中，，
最小时平方的值为．第一次抽到的数
0
2
第二次抽到的数
0
2
2
0
0
2
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
0
1562.5
1687.5
312.5
0