2024年安徽省包河区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义分析，即可求解．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2. 空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其半径到毫米，毫米米．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，为整数”是解题的关键．
【详解】解：，
故选A．
3. 如图，几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解；从上面看看到的图形是一个正方形，在左上角有一个长方形，即看到的图形如下：
，
故选：D．
4. 计算的 结 果 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，掌握积的乘方和幂的乘方法则是关键．根据积的乘方和幂的乘方法则求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
5. 如图， 一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】如图所示，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故选：A．
6. 小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数m 个是楼层的层数n层（的整数） 的一次函数，其部分对应值如表所示；
已知每个台阶的高为m， 小明家在楼，他家距地面的高度是（ ）
A. mB. mC. mD. m
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设一次函数的表达式，再将两个点的坐标代入求出表达式，最后将代入求值即可．
本题考查一次函数的简单应用及通过横坐标求纵坐标，能提取题目信息用待定系数法求出一次函数解析式是解决本题的关键．
【详解】设 ． 则 ， 解得 ，
∴， 当 时， ，
∴ 小明家距地面的高度为 ．
故选C．
7. 甲、乙两名技工每天的基本工作量都是做件产品，质检部将他们一周的优等品件数绘制如 图的折线统计图，根据统计图中的数据，下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙的优等品件数的平均数相同
B. 甲、乙的优等品件数的中位数相同
C. 甲优等品件数的众数小于乙的众数
D. 甲的优等品件数的方差大于乙的方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，解题的关键是掌握相关的概念，根据平均数，中位数，众数和方差的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、，，故该选项错误，不符合题意；
B、甲优等品件数的中位数为：，乙优等品件数的中位数为：，故该选项错误，不符合题意；
C、甲的优等品件数的众数为和，乙的优等品件数的众数为，故该选项正确，符合题意；
D、，，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
8. 已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解．
【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确，
B．∵，∴，∴，即，故该选项正确，
C．，∵，∴，即，故该选项正确．
D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误．
故选：D．
9. 如图，菱形的面积为48，，为锐角，点E，F，G分别在，，上，，，若，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理．作于点H，于M点，取的中点O，连接，证明四边形和为正方形，求得，证明，求得，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作于点H，于M点，取的中点O，连接，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵菱形的面积为48，，
∴，
∵，，，
∴，，
同理，四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 已知点，是抛物线上的不同两点，抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当时 ，；②若点P 是线段AB上方的点，作轴于点M，交AB于点N，当时，的长度随m增大而减小；③当，时，；④当时，点P 不与点A，B 重合，直线．其中正确的有（ ）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线方程，得到对称轴解析式，、坐标，进而得到直线的解析式，当时，根据中点公式，得到、的对称轴，即可判断①，将分别代入直线与抛物线方程，并配方，根据一元二次方程的增减性，即可判断②，当，时，计算的值，即可判断③，当时，计算的值，结合点P 不与点A，B 重合，即可判断④，
本题考查了，求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的综合，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线, ，，
∴设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴，，是关于直线的对称点，
∴，故①正确，
若点P 是线段AB上方的点，则，
，
当时，的长度随m增大而减小，故②错误，
当，时，，
∴，故③正确，
时，，
∵点P 不与点A，B 重合，直线，故④正确，
综上所述，①③④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________．
【答案】如果，那么互为相反数
【解析】
【分析】把原命题的条件作为逆命题的结论，把原命题的结论作为逆命题的条件，即可．
【详解】“如果互为相反数，那么”的逆命题为：“如果，那么互为相反数”．
故答案是：如果，那么互为相反数．
【点睛】本题主要考查逆命题的定义，掌握逆命题与原命题的关系，是解题的关键．
12. 如图，是半径为3的的切线，切点为A，的延长线交于点C，连接，若，则的长为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质以及弧长公式等知识，利用切线的性质以及三角形外角的性质求出的度数，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
∵是半径为3的的切线，
∴，
又，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
13. 如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，
设，易知，
点，，
，
或（舍去），
，
，
故答案为：．
14. 已知，点是正方形边上一点，连接，延长至， 使， 连接交于点．

（1）若， 则_______________° ；
（2）连接，，与交于，若， 则_______________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解；
（2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解．
【详解】解： (1)在正方形 中，，
∵，
，
，
，
，
，
；
(2)作交于点，则，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
∴
，
，
，
∴
；
故答案为：、．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算二次根式、负整数指数幂、绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
原式
16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）将向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到（其中A与D，B与E，C与F是对应点），在网格中画出；
（2）用无刻度直尺在网格中画出边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，作三角的高线，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先根据平移作出点A、B、C的对应点D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）延长，取格点G，连接，交的延长线于一点H，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图，就是所画的图形；
【小问2详解】
解：如图，线段就是所画的三角形的高．
延长过格点M，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变，
（1）今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示）
（2）若今年计划的总销量就比去年增加，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，整式的运算．
（1）根据题意列式，化简即可得解；
（2）根据题意列式，化简即可得解．
【小问1详解】
解：今年燃油汽车计划的销量为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，
，
变形得，，
∴．
18. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， 与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： ）．

【答案】安装师傅应将支架周定在离地面处
【解析】
【分析】过B作于点G，延长、交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：熟练掌握应用三角函数解直角三角形．
【详解】解：过点B作于点G，延长、交于点F，
由题意得：
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴安装师傅应将支架固定在离地面的位置，
答：安装师傅应将支架周定在离地面处．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F．
（1）如图1，若 ，求证：；
（2）如图2，若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理：
（1）利用证得，进而可求证结论；
（2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
，
和中，
，
。
【小问2详解】
平分，
，
由（1）得：，
在和中，
，
，
，
，，
设，，
由勾股定理得：，，
，，
，即：，
解得：，
为直径，
的半径为。
20. 高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
（1）图1的彩色正方形有：；
图2的彩色正方形有：；
图3的彩色正方形有：；
图4的彩色正方形有：…；
图n的彩色正方形有：
（2）图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个．
（3）若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）图n中有66个白色正方形
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程：
（1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可；
（2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可；
（3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可；
（4）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：图1彩色正方形有：；
图2的彩色正方形有：；
图3的彩色正方形有：；
图4的彩色正方形有：，
……，
以此类推可知，图n的彩色正方形有，
故答案为：；
【小问2详解】
解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；
图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：
图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个；
……，
以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个，
∴图n 的白色正方形有个，
故答案为：；
【小问3详解】
解：图1中，等边三角形的个数为2个；
图2中，等边三角形的个数为3个：
图3 中，等边三角形的个数为4个；
图4中，等边三角形的个数为5个；
……，
以此类推可知，图n 中等边三角形个数为个，
∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，
∴，
解得或舍，
当时，，
∴图n 中白色正方形的个数为66个．
六、（本题分12分）
21. 2024年巴黎奥运会新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个项目．为了更好地观资这些项目，学 校在四个场所开展了这四个项目竞技知识讲座，要求每位学生参与其中一场讲座．九（1）班在 不透明的袋子中放置四个大小一样的小球，编号为1，2，3，4．
（1）若1号表示霹雳舞，2号表示滑板，3号表示琴岩，4号表示冲浪．第一位同学从袋子中摸出一球，记录球号后放回袋子中，摇匀后让第二位同学摸出一球…，摸到球号是多少就去参加对应项目的讲座，求包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率；
（2）包包和河河同学都有霹雳舞基础，霹雳舞会场将从这两人中选一人参加讲座．他俩都想去，于是商定：从袋子中一次性摸出两球，若球号之和大于5，则包包去辅助学，否则河河去．问他们商定的方案公平吗?若不公平，请修改游戏规则使游戏平．
【答案】（1）
（2）不公平，修改见解析
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率：
（1）根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解；
（2）利用概率公式分别求出两人的概率，再进行比较即可；
根据题意画出树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：包包、河河同学各摸出一球的球号的结果如下：
由树状图可知，共有16种等可能性结果，其中两人都选中参加霹雳舞讲座有1种，
所以包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率是．
【小问2详解】
不公平，理由如下：
从袋子中随机摸出两球的结果有，，，，，，
共6种等可能性结果，其中球号大于5的结果有2种，
∴包包做助讲的概率为：，而河河做助讲的概带为：，
∵，
∴他们商定的方案更利于河河，
游戏规则可以改为：从暗箱中摸山两球，若球号之积大于5，则包包去轴助教学，否则河河去．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线，
（1）分别求出、关于x的函数关系式；
（2）从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元?
【答案】（1），
（2）5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润是4元
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数最大值的求解，由函数图象读取信息，正确利用函数图象求出解析式是解答本题的关键．
（1）分别设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可；
（2）设每件的销售利润为y元，根据，根据二次函数性质即可求出最大值．
【小问1详解】
解：7月份该产品的销售单价最高，为10元/件，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
；
设的解析式为，
将点，代入解析式，
得：，解得：，
则的解析式为；
设的解析式为，
将点，代入解析式，
得：，解得：，
则的解析式为；
【小问2详解】
设每件的销售利润为y元，
当时，
，
且x取整数，
∴当时，y的值最大，最大利润为，
答：5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润4元．
八、（本题满分12分）
23. 如图，，于点M，D在上，E在上，．
（1）若，，求证：；
（2）作于点N，点F是一点，且，
①求证：；
②求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角，三角形外角的性质以及三角形内角和定理可求出，则，利用三角形的外角性质可得出，然后利用证明即可；
（2）①证明可得出，，进而得出，证明，得出，则，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理即可得证；
②延长至C，使，连接，，利用三角形内角和定理可证明，利用等腰三角形三线合一性质可得出，，可得出，证明，可证得，则，由平行线分线段成比例得出，利用三角形中位线定理得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长至C，使，连接，，
∵， ，
∴，
∴，
∵， ，
∴∠，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，明确题意，添加合适辅助线，寻找出相似三角形是解题的关键．层数n/（层）
2
3
4
5
台阶数m/（个）