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福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
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这是一份福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设随机变量X服从正态分布N2,σ2且P(X<4)=0.9,则P(0A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.9
2.一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处,则它可以迪行的不同最短路径条数有( )
A.40 B.60 C.80 D.120
3.若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.-40 B.40 C.41 D.82
4.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是( )
A. E(2X−1)=43 B. D(X)=15 C. E(X)=2 D. D(2X−1)=85
5.已知函数f(x)=x3−32x2−alnx(a∈R)在(2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A. a<12 B. a⩽12 C. a<−49 D. a⩽−49
6.在棱长为1的正四面体ABCD中,点M满足AM=xAB+yAC+(1−x−y)AD,点N满足DN=λDA−(λ−1)DB,当AM、DN最短时,AM⋅MN=( )
A.−13 B.13 C.−23 D.23
7.一个盒子里装有5个小球,其中3个是黑球,2个是白球,现依次一个一个地往外取球(不放回),记事件Ak表示"第k次取出的球是黑球",k=1,2,⋯,5,则下面不正确的是( )
A.PA3=35 B.PA1A2=310 C.PA4+A5=910 D.PA2∣A1=13
8.已知a=1020ln10,b=22e3,c=ln33,则( )
A.a二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知变量x,y之间的经验回归方程为y=−0.4x+7.6,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法中错误的是( )
A.变量x,y之间呈现负相关关系
B.m的值等于5
C.变量x,y的样本相关系数r=−0.4
D.由表格数据知该经验回归直线必过点(9,4)
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M是棱BC的中点,N是棱DD1上的动点(含端点),则下列说法中正确的是( )
A.三棱锥A1−AMN的体积为定值
B.若N是棱DD1的中点,则过A,M,N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形的周长为752
C.若N是棱DD1的中点,则四面体D1−AMN的外接球的表面积为7π
D.若CN与平面AB1C所成的角为θ,则sinθ∈33,63
11.如图,一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发,每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点,其中顺时针的概率为13,逆时针的概率为23,设蚂蚁经过n步到达B,D两点的概率分别为pn,qnn∈N+.下列说法正确的有( )
A.p3=1327
B.p2n+q2n=1
C.p2n−1=16×−19n−1+12
D.∑k=12022 pk>505
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在x3−2x8的展开式中,x3的系数为_______.
13.已知空间三点A(1,−1,−1),B(−1,−2,2),C(2,1,1),则AB在AC上的投影向量的坐标是_______ .
14.已知函数f(x)=−1x,x<0,4xx2+1,x≥0.函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）9月22日秋分,在第三个“中国农民丰收节”到来之际,全国处处五谷丰登、瓜果飘香,广大农民共庆丰年、分享喜悦四川某地也是“小小花椒树种出致富路”!但花椒树一般需要3年长成,为更好提高花椒等级,该地某村组织了一次关于花椒田间种植技术学习时长的调查,随机收集了该村150户种植户的统计数据,以此研究种植户参与田间种值技术学习的时长和花椒等级的关系.
(I)根据以上数据,是否有99.9%的把握认为种植户参与田间种植技术学习时长和花椒等级具有相关性?
(II)若以该村种植户参与田间种植技术学习的时长和花椒等级的情况估计全县的情况,则从该县中任取3户花椒种植户,记取到参与田间种植技术学习时长不足三年且种植花椒等级为“一等”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
参考公式:k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d. 临界值表:
（15分）如图,三棱柱ABC−A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1=2AB1,交A1B于点O,D为A1C1中点,AB⊥AD.
(1)证明:AB⊥AC;
(2)设CE=λCB(0<λ<1),当λ为何值时,平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值等于63?
17.（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”
(1)求甲发生的概率;
(2)证明:甲与乙相互独立.
18.（17分）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行,这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会,浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛,该市A社区举办了一场选拔赛,选拔赛分为初赛和决赛,初赛通过后才能参加决赛,决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13,通过初赛后再通过决赛的概率均为13,假设他们之间通过与否互不影响.
(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率;
(2)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率;
(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛,给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案:
方案一:参加了选拔赛的选手都可参与抽奖,每人抽奖1次,每次中奖的概率均为12,且每次抽奖互不影响,中奖一次奖励600元;
方案二:只参加了初赛的选手奖励200元,参加了决赛的选手奖励500元.
若品牌商希望给予选手更多的奖励,试从三人奖金总额的数学期望的角度分析,品牌商选择哪种方案更好。
19.（17分）已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1.
(1)证明:函数f(x)在定义域内存在唯一零点;
(2)设0(3)若数列an的通项an=1+12+13+⋯+1n,求证ln(2n+1)>an.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
学习时长
花椒等级
一等
非一等
三年
90
10
不足三年
30
20
PK2>k0
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设随机变量X服从正态分布N2,σ2且P(X<4)=0.9,则P(0
2.一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处,则它可以迪行的不同最短路径条数有( )
A.40 B.60 C.80 D.120
3.若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.-40 B.40 C.41 D.82
4.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是( )
A. E(2X−1)=43 B. D(X)=15 C. E(X)=2 D. D(2X−1)=85
5.已知函数f(x)=x3−32x2−alnx(a∈R)在(2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A. a<12 B. a⩽12 C. a<−49 D. a⩽−49
6.在棱长为1的正四面体ABCD中,点M满足AM=xAB+yAC+(1−x−y)AD,点N满足DN=λDA−(λ−1)DB,当AM、DN最短时,AM⋅MN=( )
A.−13 B.13 C.−23 D.23
7.一个盒子里装有5个小球,其中3个是黑球,2个是白球,现依次一个一个地往外取球(不放回),记事件Ak表示"第k次取出的球是黑球",k=1,2,⋯,5,则下面不正确的是( )
A.PA3=35 B.PA1A2=310 C.PA4+A5=910 D.PA2∣A1=13
8.已知a=1020ln10,b=22e3,c=ln33,则( )
A.a
9.已知变量x,y之间的经验回归方程为y=−0.4x+7.6,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法中错误的是( )
A.变量x,y之间呈现负相关关系
B.m的值等于5
C.变量x,y的样本相关系数r=−0.4
D.由表格数据知该经验回归直线必过点(9,4)
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M是棱BC的中点,N是棱DD1上的动点(含端点),则下列说法中正确的是( )
A.三棱锥A1−AMN的体积为定值
B.若N是棱DD1的中点,则过A,M,N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形的周长为752
C.若N是棱DD1的中点,则四面体D1−AMN的外接球的表面积为7π
D.若CN与平面AB1C所成的角为θ,则sinθ∈33,63
11.如图,一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发,每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点,其中顺时针的概率为13,逆时针的概率为23,设蚂蚁经过n步到达B,D两点的概率分别为pn,qnn∈N+.下列说法正确的有( )
A.p3=1327
B.p2n+q2n=1
C.p2n−1=16×−19n−1+12
D.∑k=12022 pk>505
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在x3−2x8的展开式中,x3的系数为_______.
13.已知空间三点A(1,−1,−1),B(−1,−2,2),C(2,1,1),则AB在AC上的投影向量的坐标是_______ .
14.已知函数f(x)=−1x,x<0,4xx2+1,x≥0.函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1
15.（13分）9月22日秋分,在第三个“中国农民丰收节”到来之际,全国处处五谷丰登、瓜果飘香,广大农民共庆丰年、分享喜悦四川某地也是“小小花椒树种出致富路”!但花椒树一般需要3年长成,为更好提高花椒等级,该地某村组织了一次关于花椒田间种植技术学习时长的调查,随机收集了该村150户种植户的统计数据,以此研究种植户参与田间种值技术学习的时长和花椒等级的关系.
(I)根据以上数据,是否有99.9%的把握认为种植户参与田间种植技术学习时长和花椒等级具有相关性?
(II)若以该村种植户参与田间种植技术学习的时长和花椒等级的情况估计全县的情况,则从该县中任取3户花椒种植户,记取到参与田间种植技术学习时长不足三年且种植花椒等级为“一等”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
参考公式:k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d. 临界值表:
（15分）如图,三棱柱ABC−A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1=2AB1,交A1B于点O,D为A1C1中点,AB⊥AD.
(1)证明:AB⊥AC;
(2)设CE=λCB(0<λ<1),当λ为何值时,平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值等于63?
17.（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”
(1)求甲发生的概率;
(2)证明:甲与乙相互独立.
18.（17分）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行,这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会,浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛,该市A社区举办了一场选拔赛,选拔赛分为初赛和决赛,初赛通过后才能参加决赛,决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13,通过初赛后再通过决赛的概率均为13,假设他们之间通过与否互不影响.
(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率;
(2)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率;
(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛,给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案:
方案一:参加了选拔赛的选手都可参与抽奖,每人抽奖1次,每次中奖的概率均为12,且每次抽奖互不影响,中奖一次奖励600元;
方案二:只参加了初赛的选手奖励200元,参加了决赛的选手奖励500元.
若品牌商希望给予选手更多的奖励,试从三人奖金总额的数学期望的角度分析,品牌商选择哪种方案更好。
19.（17分）已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1.
(1)证明:函数f(x)在定义域内存在唯一零点;
(2)设0
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
学习时长
花椒等级
一等
非一等
三年
90
10
不足三年
30
20
PK2>k0
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
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