2023-2024学年福建省莆田第二中学、仙游第一中学高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田第二中学、仙游第一中学高二上学期期中联考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．5B．3C．5或3D．20
【答案】C
【分析】由题意可得，讨论焦点在轴或轴，根据即可求解.
【详解】因为焦距是，所以，
当焦点在轴时，
解得，，
当焦点在轴时，
解得，，
故选：C．
2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，所以，
所以直线即为，即，
所以两直线的距离为.
故选：A.
3．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】B
【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
4．已知点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.
【详解】设，
可求得，
所以．
故选：B
5．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可
【详解】如图，
,
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：D
6．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的方程求出，，求出，设左焦点为，由双曲线的定义可得：
的周长为：，当、、共线时，
周长最小，联立直线与双曲线的方程求得点坐标，再由即可求解．
【详解】由双曲线的方程可得，，因为，所以，
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
所以的周长为：，
要使的周长最小，则最小，即、、共线，
因为，，所以直线的方程为，
即代入整理得，
解得：或（舍），所以点的纵坐标为，
所以，
故选：D.
7．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点（在轴的上方），连接，再作的角平分线，点在上的投影为点，则（其中为坐标原点）的长度为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设，进而结合椭圆定义和余弦定理得，即，，再延长交于，再结合题意可知是的中点，，最后根据中位线定理即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为在椭圆上，所以，
设，
在中，由余弦定理得，解得，
所以，，，
延长交于，
因为是的角平分线，点在上的投影为点，
所以是的中点，，
因为是的中点，
所以.
故选：D
8．过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．8D．
【答案】A
【分析】根据题意设点在直线上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O的方程得出直线AB的方程，进而可得直线AB恒过定点，
将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果.
【详解】由题意知，设点在直线上，则，
过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则，
所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：，
又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为，
即，因为，所以，所以，
当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点，
所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径，
又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为.
故选：A
二、多选题
9．以下四个命题正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．直线关于原点对称的直线方程为
D．经过点(1， 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】A：求出直线斜率即可判断倾斜角；
B：根据圆心到直线的距离与半径作比较，判断直线与圆的位置关系，即可判断；
C：根据点关于原点对称的性质求出对称直线对称，即可判断；
D：经过点(1，1)且到x轴和y轴的截距都相等的直线方程为和.
【详解】A：由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，所以，故A正确；
B：圆心到直线的距离，圆的半径，
所以直线与圆相交，故到直线l距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，
故B正确；
C：设所求直线上的点为，则该点原点对称的点为，代入
方程，得，即直线关于原点对称的
直线方程为.故C错误；
D：经过点(1，1)且到x轴和y轴的截距都相等的直线方程为和，故D错误.
故选：AB
10．如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（ ）
A．CD⊥平面ABCB．AC与BE所成角的大小为C．D．该六面体外接球的表面积为3π
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.
【详解】因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，
所以，
即 又，
所以CD⊥平面ABC，故A正确；
因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，
因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，
因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，
在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，
同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，
所以，三点共线；
因为，因为正三角形的中心，所以，
设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，
所以，解得，所以，所以，又，
所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；
因为，所以，故C正确；
显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，
所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当时，的最大值为
C．存在点，使得
D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；
B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；
C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；
D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，
所以得：，故A项正确；
对于B项：由椭圆定义知，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；
对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知：，得，
又因为，得，
所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D项正确.
故选：ABD.
12．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】ACD
【分析】由等积法可以判断A；
建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算可以判断B,C；根据题意设出球心，然后求出t的最大值，进而求出外接球半径的最大值.
【详解】对A，，故A正确；
对B，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，
设平面的法向量为，，
所以，令x=1，则.
设，
所以，若平面EFG//平面BDC1，则，故B错误；
对C，设EG与BC1所成角为，此时，，
所以.故C正确；
对D，因为平面，且，所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球球心在过线段EF的中点且垂直于平面的直线上，记球心为，由，易得,则外接球半径，
而，则当时，，即.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.
【详解】由方程，则其渐近线方程为，由椭圆，则其焦点为，
由题意可知，双曲线的标准方程设为，则，解得，
则双曲线的标准方程为，
故答案为：.
14．三棱锥，则点P到底面的距离为 .
【答案】
【分析】把三棱锥放入球中分析即可
【详解】
如图,因为,所以可以把三棱锥放入一个球中,其中为球心,为外接圆圆心,则到底面ABC的距离即为OP的长.
在中由正弦定理得,所以
所以
故答案为:
15．平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆C上存在点M，使，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】设点，由化简得，结合点在圆上，推出，由此求得的取值范围.
【详解】设点，因为，且，所以
，化简得，
即，
所以在以为圆心，为半径的圆上.
所以即在圆上，又在圆上，即圆和圆有公共点，
所以，
即，
即，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题.
16．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率.
【详解】设，
由，解得，
所以，
所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，
两式相加得，即，
过作，垂直为，
则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
【点睛】求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得求得，从而求得椭圆的离心率；一个是求得关于的关系式，可以是一次式，也可以是二次式，但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离心率.
四、解答题
17．已知圆过点，且与圆外切于点.
(1)求圆的方程；
(2)设倾斜角为的直线与圆交于两点，若，求的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意结合圆的性质求圆心和半径，进而可得圆的方程；（2）由分析可得，结合垂径定理可得圆心到直线的距离，列式运算求解.
【详解】（1）因为圆与圆外切于点，
所以三点共线，且的方程为.
又的中点为，，则的中垂线的斜率，
的中垂线方程为，即，
与直线联立，可得圆心，
则半径，所以圆的方程为.
（2）因为的倾斜角为，所以.
由，得，
又，所以，则，
所以圆心到直线的距离.
设的方程为，则，解得，
所以的方程为或.
18．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，、为该双曲线的焦点，当点的纵坐标为时，恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于、两点，且是弦的中点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)条件选择见解析，双曲线的标准方程为
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出的值，结合的值可求得的值，由此可得出双曲线的标准方程；
选②：求出，可得出，结合已知条件可得出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；
选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出，然后利用三角形的面积公式可求得的值，结合的值可求得的值，由此可得出双曲线的标准方程.
（2）假设满足条件的直线存在，设点、，利用点差法可求得直线的斜率，可得出直线的方程，再将直线与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论.
【详解】（1）解：设双曲线的标准方程为.
选①：由题意可知，双曲线的两个焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，则，故，
所以，双曲线的标准方程为.
选②：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，解得，
即，因为，则，，
因此，双曲线的标准方程为.
选③：由勾股定理可得，
所以，，则，则，故，
所以，双曲线的标准方程为.
（2）解：假设满足条件的直线存在，设点、，则，
由题意可得，两式作差得，
所以，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.
联立，整理可得，，
因此，直线不存在.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝2．
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证PA⊥面ABCD，从而得到PA⊥BD，进而可证明BD⊥面PAC，最后由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立坐标系，写出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，利用线面角的向量公式求解即可
【详解】（1）因为∠BAP＝90°，则PA⊥AB，
又侧面PAB⊥底面ABCD，
面PAB∩面ABCD＝AB，PA⊂面PAB，
则PA⊥面ABCD
BD⊂面ABCD，则PA⊥BD
又因为四边形ABCD为平行四边形，
且∠ABC＝60°，AB＝AC
则△ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，
则BD⊥AC
又PA∩AC＝A，则BD⊥面PAC，BD⊂面PBD，
则面PBD⊥面PAC．
（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），由点M为PD中点，M（0，1，1）
则，
设面PBC的法向量为，则，则
设直线MC与面PBC所成角为θ，则
所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为．
20．已知椭圆过点，且右焦点为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题干所给条件及椭圆简单的几何性质可求；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得关于的二次方程，再由韦达定理可得两交点纵坐标关系，再根据题意和两交点纵坐标关系求出.
【详解】（1）由题意可得，，故椭圆的方程为
（2）1、若直线垂直轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如则，，，，，
又∵，求得
，
∴
2、若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得
，设，则
由可得，∴，
由同理可得
∴
21．如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°．
(1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值；
(2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由题意可得是正方形，平面，建立坐标系，用空间向量求解；
(2由题意可得∥平面PBE,于是到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，由解得，进而得平面的法向量，再求得平面的法向量，即可求解.
【详解】（1）解：∥,，,为边的中点，所以四边形是正方形，
因为,异面直线与所成的角为90°,
所以,
又因为在平面内相交，
所以平面,建立如图所示的坐标系：
设，,则，
令，
因为，，
所以是平面PBE的法向量.
要使平面PBE，
只需，
解得：；
（2）,
因为∥,
又因为平面PBE, 平面PBE,
所以∥平面PBE,
所以到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，
于是，
解得：，
所以,,
令，
因为，
所以是平面的法向量，
由(1)可知平面的法向量，
因为平面与平面的夹角为锐角，
所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为：.
22．已知点M为圆上的动点，点，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合几何意义可得，再借助双曲线定义求解作答.
（2）根据给定条件，设出直线OA的方程，与的方程联立求出，进而求出，并表示出的面积，再利用均值不等式求解作答.
【详解】（1）连接，如图，
因为线段的垂直平分线交直线于点P，则，则，
在中，，于是，即，
因此点P的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为，
所以的方程是.
（2）显然，直线都不垂直于坐标轴，
设直线的方程为：，而，则直线的方程为：，，
设，由解得，
则，同理，
因此的面积，
由且得：，
，当且仅当，即时取等号，
则当时，，
所以的面积的最小值是.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.