2024年安徽省中考数学三模冲刺训练试卷（解析卷）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 华为Mate60Pr手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
2. 如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（ ）

A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法对各选项进行运算，然后作出判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2x﹣1＞x＋1，得：x＞2，
解不等式x＋8＞4x﹣1，得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3，
故选：D．
5. 我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，
固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，
则点C的对应点的坐标为（ ）

A．B． C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：由已知得，
∵AB的中点是坐标原点O，
∴，
∴，
，，
．
故选：A．
6. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
,
故选：C．
7 . 若点在反比例函数的图像上，
则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点在反比例函数的图象上，
可以求得的值，从而可以比较出的大小关系．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
8 . 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，
其中，且，则矩形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故选：A．
9 . 二次函数的图象如图所示，
则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．C．D．
【答案】D
【分析】观察二次函数图象得：，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
【详解】解：观察二次函数图象得：，
∴，
∴一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
∴只有D选项符合题意．
故选：D
10 .如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案．
【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
故答案为：且．
12 . 使分式与的值相等的x的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到方程，解出即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
13 .如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，
则为 ．

【答案】
【分析】连接CD，根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，确定CD，
根据勾股定理计算DO，根据同弧上的圆周角相等，计算tan∠ODC即可
【详解】如图，连接CD，
∵∠DOC=90°，
∴CD是圆A的直径，
∵半径为3的经过原点和点，
∴CD=6，OC=2，
∴DO==，
∴tan∠ODC==,
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=,
故答案为：．
14 . 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．
图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．
小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．

【答案】210．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为210．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
把代入得：原式=．
学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．
已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；
购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．
甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？
学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，
那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？
【答案】(1)甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元
(2)购买25副甲种品牌球拍最省钱
【分析】（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，根据“购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种品牌球拍的单价；
（2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，根据乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校购买100副球拍所需费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元．
（2）解：设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，
依题意得：100﹣m≤3m，
解得：m≥25．
设学校购买100副球拍所需费用为w元，则w＝50m+40（100﹣m）＝10m+4000．
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最小值，
∴购买25副甲种品牌球拍最省钱．
四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）
17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点
（网格线的交点）

以点O为位似中心，在点O的另一侧画出的位似，
使与的位似比是．
（2）将绕点顺时针方向旋转得到，请画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别连接，并令，，，即可确定的位置；
（2）借助网格，分别找出点和的位置，连接即可．
【小问1详解】
如图即为所求；
【小问2详解】
如图即为所求．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，
利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【小问1详解】
解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到AE的距离为多少cm．（参考数据：）

解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，

∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN，
在RtABM中，∠BAE=30°，AB=20cm，
∴∠ABM=90°-∠BAE=30°，
BM=AB•sin30°=20×=10（cm），
∵∠ABC=97°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=37°，
∴∠BCD=90°-∠CBD=53°，
在Rt△BCD中，BC=5cm，
∴BD=BC•sin53°=5×=4（cm），
∴DM=BM-BD=10-4=6（cm），
∴CN=DM= 6cm，
∴点C到AE的距离为6cm．
故答案为：6．
20. 如图，是内接三角形，是的直径，点是弦上一点，连接，．

若，求证：；
在(1)的条件下，若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据垂直的定义得到；
（2）根据圆周角定理得到，根据垂直的定义得到，得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，

是的直径，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
六、（本题满分12分）
21. 北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．
某校通过抽样调查的方法统计了对花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪
（每人必选且限选一项）这四个项目最感兴趣的人数，并制作了如下所示的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了________名学生；若该校共有2000名学生，估计对花样滑冰项目最感兴趣的学生有________名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校将从这四个项目中抽出两项来做重点推介，若把花样滑冰记为A，短道速滑记为B，自由式滑雪记为C，单板滑雪记为D，请用列表或画树状图的方法求抽到的项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【答案】(1)100，800
(2)见解析
(3)抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
【分析】（1）由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
（2）求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪C的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的，
∴一共调查了（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有（人），
故答案为：100，800；
（2）解：∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占，
∴爱好单板滑雪的学生数为（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为（人），
补全条形统计图如下：
；
（3）解：列表如下，

从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有6种，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
七、（本题满分12分）
22 ． 如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．
观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．
当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 ；
②的度数为 度；
类比探究：
如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，45
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或．
【分析】（1）如图所示，设与交于O，求得，，，
证明，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）分两种情形：如图3-1和图3-2所示，分别求出，根据（1）（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由于点E与点F重合，
∴，
故答案为：，45；
（2）解：设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图3-1所示，当于O时，
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴同（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，延长交于O．
同理可得，，，
∴；
综上所述，的长为或．
八、（本题满分14分）
23. 如图①，抛物线与x轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值：
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标；
（3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解．
【详解】（1）解：将、代入中，
有：，
解得：；
即抛物线解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
令，即有：，则C点坐标为：，
由可得其对称轴为：，
设直线的解析式为：，
代入、有：
，解得：，
直线的解析式为：，
如图，连接，，，，
∵、，，
∴，
∴的周长为：，
∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
即当点、、三点共线时，有最小，且为，
此时即可得到的周长最小，且为，
如图，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴将代入直线的解析式中，
有：，
即Q点坐标为：；
（3）解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，
∵轴，
∴点、的横坐标相同，均为m，
∵点在抛物线上，
∴点坐标为：，
结合图象，根据题意有：，
∴，
整理得：，
∵，且，
∴当时，，
即的最大值为：．