2024年广东省梅州市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹签字笔或钢笔在答题卡填写学校、班级、准考证号、姓名和座号，用2B铅笔在答题卡的“准考证号”栏相应位置填涂准考证号．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 如图是一个正方体六个面的展开图，则文字“当”在原正方体中所对面的文字是（ ）
A. 有B. 理C. 想D. 能
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．建立空间观念是解决此类问题的关键．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“有”与面“能”相对，面“理”与面“担”相对，面“想”与面“当”相对．
故选：C．
2. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查绝对值，比较有理数的大小关系．先求出绝对值，比较大小，即可．
【详解】解：∵，，，，
∵，
∴绝对值最小的数为，
故选：D．
3. 计算：（ ）
A. B. 8C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
故选：B．
4. 如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，设点关于的对称点的坐标为，则，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设点关于的对称点的坐标为，
∴点是的中点，
∴，则，
，则，
∴点的坐标为，
故选：C．
5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，过点C作，即可得出，根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系可得出，进而即可求出．
【详解】解：过点C作，如下：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到．
【详解】解：根据题意，则，
∴，，
∴
=
=
=；
故选：B．
7. 如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点，水平移动一个含角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点．小明测量出，则这枚徽章的半径是（ ）．
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，锐角三角形函数．
设徽章的圆心为点O，连接，，．由求得，从而在中，，代入即可求解．
【详解】解：如图，设徽章的圆心为点O，连接，，，
由题意得，与、分别相切于B、C，
∴，，
因为
∴
∴，
在中，，
故选：B．
8. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同，现从甲、乙两袋中各随机摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数有6种，
∴“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为，
故选：B．
9. 如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可．
【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则，
过点作于点，
∵，
∴，
∵在等腰梯形中，，，，
∴，
设，
当点在线段上，
，，
∴的面积：，
∵，，
∴，
此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分；
当点在线段上，
在中，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的面积：，
此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分；
当点在线段上，
则，
∴，
∴的面积：，
∵，，
∴，
此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分；
综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像，
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
10. 如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，构造平行线进行求解．过点D作，可得，根据相似三角形的性质可得，从而证明，即可求解．
【详解】过点D作，交于M，
则
∴
∵为中点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 《2023年广东省国民经济和社会发展统计公报》显示，2023年末，广东省常住人口12706万人，将127060000用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，将127060000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，根据平行四边形的性质及角平分线的性质得，进而可得，根据即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
14. 已知克的糖水中含有克糖，再添加克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度比例变大）．将这一现象表示为不等式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式的应用，考查了学生的应用能力．糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即可得到答案．
【详解】解：糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
故答案为：
15. 已知二次函数，当时，的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据可可知二次函数开口向下，且对称轴为，进而根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵
∴二次函数开口向下，
∵对称轴，且，
∴离对称轴距离越远的，函数值越小，即当时，y取的最小值为：
当时，y取的最大值为：，
∴当时，，的取值范围为．
故答案为：．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】首先证明点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA与⊙O交于点D，此时DA最小，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DBC=∠DCA，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA交⊙O于点D，此时DA最小，
在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=BC=3，
∴OA==5，
∴DA=OA-OD=5-3=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式先对分式化简，然后求值即可.
详解】解：
，
当时，原式.
【点睛】本题主要考查了分式的化简和因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 某同学解一个关于的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图所示．
（1）求的值；
（2）解此不等式组，并在数轴上表示出解集．
【答案】（1）
（2），数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示：
（1）解不等式①得，再对照数轴即可求解；
（2）解不等式②得，再结合①，得解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
熟练掌握解不等式的方法及把解集在数轴上表示的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：解不等式①得：，
对照图示，知：，
因此．
【小问2详解】
解不等式②得：，
综合①②得：，
把在数轴上表示如图所示：
19. （综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）作，使得；
（2）作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了余弦的定义，根据等腰三角形的性质作已知角的角平分线等，根据网格作图知识．
（1）根据三角函数的定义，构造，其中，，即可得到；
（2）在上取点E，使得，连接，取的中点C，就是的平分线．
【小问1详解】
解：如图1，即为求作的角：
；
证明：在中，，
∴；
【小问2详解】
解：如图2所示，在上取点E，使得，
连接，取的中点C，就是的平分线．
证明：∵，C为线段的中点，
∴就是的平分线．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点的坐标为．
（1）求函数与的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）
（3）3
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键．
（1）点的坐标分别代入与，列出方程即可求得，的值，进而即可求解；
（2）联立与，即可求解；
（3）设直线与轴交于点，求得，再根据即可求解．
【小问1详解】
解：将点坐标分别代入与中得，
解得，
因此所求解析式为：，．
【小问2详解】
根据题意，联立，解得，，
因此点的坐标是．
【小问3详解】
如图，设直线与轴交于点，
由（1）得，直线的解析式为，令得，，
．
21. 为调查学生对客家文化的了解程度，某校从300名九年级学生中随机抽取了50名学生进行“我爱客家文化”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”“较好”“一般”“较差”四类统计分析，并绘制了如下扇形统计图．
（1）在抽取的学生中，成绩为“较好”的所占比例为多少？
（2）在抽取的学生中，成绩为“较差”的有多少人？
（3）根据抽查数据，估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有多少人？
【答案】（1）在所抽取的学生中，成绩为“较好”的占比为
（2）在所抽取的学生中，成绩为“较差”的有7人
（3）估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有48人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，利用样本估计总体：
（1）成绩为“较好”的圆心角与360度的比值即为所占比例；
（2）所抽取的学生人数减去“很好”“较好”“一般”的人数即为成绩为“较差”的人数；
（3）用九年级总人数乘以样本中成绩为“很好”的学生所占比例即可．
【小问1详解】
解：
答：在所抽取的学生中，成绩为“较好”的占比为．
【小问2详解】
解：（人）
答：在所抽取学生中，成绩为“较差”的有7人．
【小问3详解】
解：（人）
答：估计该校九年级学生成绩为“很好”的学生有48人．
22. 周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
（1）若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
（2）假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）小明的速度为，爸爸的速度为
（2）小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有
【解析】
【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可．
【小问1详解】
解：（1）设小明速度为，爸爸的速度为，
则依题意得：，于是，
，得，即有：，
，得，即有：，
答：小明的速度为，爸爸的速度为．
【小问2详解】
（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有．
理由：爸爸跑到半圈所用时间为，
此时小明所跑路程为，
爸爸和小明的距离，
因此小明接下来追上爸爸所需时间，
追上时，小明的爸爸总路程，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图所示，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．
（1）若，求的值；
（2）过点作的切线，交于点，求证：是的中点．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）在中，由，可知，在中，，因而，于是，，即有，从而即可得解．
（2）证，得，又，从而，进而证明，根据平行线分线段成比例定理即可得证．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，，
∴．
【小问2详解】
证明：连结接，，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是的中点．
【点睛】本题主要考查了切线的判定及性质，平行线的判定，平行线分线段成比例，全等三角形的判定及性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定及性质以及直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
24. 如图所示，在正方形内有一点，且，，．将线段BP绕点逆时针旋转得到线段，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，
（1）首先根据题意得到，然后证明出；
（2）首先根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理得到，，然后由求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转，知，
正方形中，，
所以，
在和中，
，
因此．
【小问2详解】
解：由旋转，知，，
有：，
在中，，，
，
由（1）知，．
25. 如图所示，已知二次函数的图像经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当或或4时，为等腰三角形
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键；
（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解．
【小问1详解】
解：将代入，
得，
解得：，
所以．
【小问2详解】
解：设直线，因为，
∴，解得：，
所以直线，
∴，
∴，
根据题意设有，，，过点作，垂足为点，
∴轴，
∴，
∴；
∴
∴；；
∴；；
若为等腰三角形，分以下三种情况：
①当时，有，解得：或5或0，而又，因此．
②当时，有，即，解得：或0，而又，因此．
③当时，有，解得：或0，而又，因此．
综上所述，当或或4时，为等腰三角形．