2024年广东省梅州市丰顺县龙泉中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
2. 在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
故选：D．
3. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，从左面看得到的形状图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从左面看，有两列，分别有2个，1个，即可得解．
【详解】解：从左面看，有两列，分别有2个，1个正方体，
则形状图为：

故选：B．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，运用空间想象能力观察是关键．
4. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质，二次根式的减法运算，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，立方根的性质，二次根式的减法运算，熟练掌握算术平方根的性质，立方根的性质，二次根式的减法运算法则是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则即可判断选项A；根据完全平方公式即可判断选项B；根据积的乘方运算法则即可判断选项C；根据同底数幂的乘法法则即可判断选项D．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
6. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，计算即可得出答案．
【详解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：C．
8. 如图所示，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据作图方法可知平分，，由角平分线的性质可得即可判断A；证明，得到，即可判断B；根据三角形内角和定理即可判断C；根据现有条件无法证明，即可判断D．
【详解】解：由作图方法可知，平分，，
又∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线和垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
9. 已知不等式组仅有个整数解，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先先利用含的式子表示不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，即可求出的范围．
【详解】，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题可得不等式组的解集为，
因为不等式组仅有个整数解，即2和3，所以，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数．已知解集（整数解）求字母的取值或取值范围的一般思路：先把题目中除了未知数以外的字母当做常数看待，解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的式子，求解即可．
10. 如图，在正方形中，点E、F为和上的点且，连接与相交于点G，若，空白部分面积为，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质和已知可以得到，根据全等三角形的性质可知，推出，最后根据勾股定理得到，因为空白部分的面积等于，把这个式子和前面得到的式子联立为二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
在与中
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 能使有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的有意义的条件可得，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，，，，，若以点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ____________________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理，分两种情况：①点在点的右边，过作于；②点在点的左边时，过作于，分别求出和的长即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：①点在点的右边，过作于，如图1所示：
∵，，，，且，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
②点在点的左边时，过作于，如图2所示：
∵，，，，且，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
故答案为：或或或．
14. 函数和的图象的交点在第_____象限．
【答案】一
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，根据反比例函数与一次函数所在的象限得出交点所在的象限，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：根据题意反比例函数在第一象限，而的图象过一、二、四象限，
故其交点应在第一象限，
故答案为：一．
15. 如图，矩形的对角线相交于O，平分交于E，若，则_______度．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质，能识别其中的特殊图形是解此题的关键．
根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等边三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】在矩形中，
，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
在中
，
∴．
故答案为：45．
16. 如图是一组有规律的图案，按照这个规律，第n（n为正整数）个图案由______个▲组成．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了图形规律的探索，根据前面几个图形得到规律，即可求解．
【详解】解：由所给图案得，
第1个图案需要▲的个数为：；
第2个图案需要▲的个数为：；
第3个图案需要▲的个数为：；
…
所以第n个图案需要▲的个数为：．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 计算：2cs45°﹣（π﹣3）0+﹣|﹣1|．
【答案】．
【解析】
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、零次幂、算术平方根、绝对值，然后再计算加减即可．
【详解】原式＝2×﹣1+﹣（﹣1），
＝﹣1+﹣+1，
＝．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18. 先化简，再求值：，其中a＝．
【答案】，
【解析】
【分析】先把各分子和分母因式分解和把括号内通分以及除法运算转化为乘法运算，约分化简成最简式，然后把x的值代入计算即可．
【详解】
，
当a=时，
原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为_____人，在扇形统计图中，m的值为_____；
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
【答案】（1）40，30
（2）800人 （3）a同学参加的概率为
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值；
（2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人），
则选择“书画展览”的人数为（人），
∴在扇形统计图中，，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有（人）；
【小问3详解】
列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，
所以a同学参加的概率为．
20. 如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．

（1）当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数）
（2）为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，）
【答案】（1）29.7厘米
（2）31.6厘米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，添加适当的辅助线，构造直角三角形，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）连接，延长交过点的水平线于点．根据是等腰直角三角形可得厘米，，求出，再解直角三角形得出的长度，从而即可得解；
（2）作于点．易得，解直角三角形求出的长，由勾股定理得出的长，再解直角三角形得出的长，从而得出的长，最后由勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，延长交过点的水平线于点．
，
由题意得：厘米，，，
∴（厘米），．
∴．
∵始终垂直于水平桌面，
∴．
∴（厘米）．
∵投影仪的底座高3厘米，
∴探头的端点到桌面的距离（厘米）．
答：探头的端点到桌面的距离约为29.7厘米；
【小问2详解】
解：如图，作于点．

∴．
由题意得：，．
∴．
∵厘米，
∴（厘米），
∴（厘米）．
由题意得：．
∴（厘米）．
∴（厘米）．
由题意得：，
∴（厘米）．
答：支架长度大约为31.6厘米．
21. 某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是10本，款销售数量是5本，销售总价是140元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是15本，销售总价是320元．
（1）求，两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过500元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本款毕业纪念册．
【答案】（1）单价10元，单价8元
（2）最多能买纪念册10本
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设款毕业纪念册的销售单价为元，款毕业纪念册的销售单价为元，根据“第一周款销售数量是10本，款销售数量是5本，销售总价是140元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是15本，销售总价是320元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可求出结论；
（2）设购买本款毕业纪念册，则购买本款毕业纪念册，利用总价单价数量，结合总价不超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设款毕业纪念册的销售单价为元，款毕业纪念册的销售单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：款毕业纪念册的销售单价为10元，款毕业纪念册的销售单价为8元；
【小问2详解】
解：设购买本款毕业纪念册，则购买本款毕业纪念册，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为10．
答：最多能够买10本款毕业纪念册．
22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接．反比例函数的图象经过线段的中点D，并与分别交于点E、F．一次函数的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：四边形为矩形，
∴，，，
．
∴由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，
，
∴反比例函数表达式为．
在中，令，则；令，则．
∴点和点F的坐标为，．
把，代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，得：，
解得：．
∴直线的解析式为，
在中，令，则．
点坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
23. 如图，为的内接三角形，P为延长线上一点，，为的直径，过C作交于E，交于F，交于G．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）直线与的位置关系：直线与相切，理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由直径对的圆周角为直角得，从而有；再由同弧对的圆周角相等及等量代换得，即，从而问题得证；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：直线与的位置关系：直线与相切，理由：
连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
证明：连接，
∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径对的圆周角为直角，同弧或等弧对的圆周角相等，切线的判定，相似三角形的判定与性质，构造适当的辅助线是解题的关键．
24. 在矩形ABCD中，，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA= 度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．
【答案】（1）①45；②当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是２；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是；（2）.
【解析】
【详解】（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．
∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．
∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°
②分两种情况讨论：
第一种情况：如答图1，∠AHE为锐角时，
∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．
由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．
∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．
∴∠AHE=22.5°．
此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2．
第二种情况：如答图2，∠AHE为钝角时，
∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．
由折叠可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．
∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．
∴∠AHE=90°+225°=112.5°．
此时，当B与E重合时，a的值最小，
设DH=DA=x，则AH=CH=x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．
∴AB=AE=2x+x．
∴a的最小值是 ．
综上所述，当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是2；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是．
（2）如答图3：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GQH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．
∴四边形DAQH为矩形．∴AD=HQ．
设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．
在Rt△EFG中，EG=EF×cs60°＝2y，
在Rt△HQE中， ，
∴．
∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．
∴AE=AQ+QE=．
由折叠可知：AE=EF，即，即．
∴AB=2AQ+GB=．
∴．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点是抛物线上一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）1，
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答；
（2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可；
（3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A，
∴A的坐标为，
∴，
∵为等腰直角底边上的高，
∴，
∴．
把代入，解得：，
∴抛物线的解析式为即．
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
∵，
∴的函数解析式为．
设，，

，
∴当时，最大为1，
∴．
【小问3详解】
解：∵在抛物线上，
∴．
∵是此抛物线的对称轴，
∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，;
∴最短．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
a
b
c
d
a
b
c
d