山东省日照市五莲县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份山东省日照市五莲县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共26页。试卷主要包含了本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，在草稿纸、试卷上答题均无效等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；共120分．
2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围．
5．在草稿纸、试卷上答题均无效．
第Ⅰ卷（选择题 36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的平方根是（ ）
A 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，4平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键，此题容易错解为B．
2. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示可得答案．
【详解】解：从左面看该几何体，选项C中的图形符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提，掌握看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．
3. 是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为（ ）
A 80°B. 90°C. 100°D. 102°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据平行线性质求出∠A，根据三角形内角和定理得出∠2=180°∠1−∠A，代入求出即可．
详解：∵AB∥CD.
∴∠A=∠3=40°，
∵∠1=60°，
∴∠2=180°∠1−∠A=80°，
故选：A.
点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
5. 若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°
【答案】C
【解析】
【详解】解:设母线长为R，底面半径为r，可得底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=lr=πrR，
根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得3πr2=πrR，即R=3r.
根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n，有，
即.
可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数n=120°．
故选C．
考点：有关扇形和圆锥的相关计算
6. 已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得，，再通分和进行同分母的加法运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
7. 以下说法：①与是同类二次根式；②长度等于半径的弦所对的圆周角为；③若式子有意义，则实数m的取值范围是；④若直线不经过第三象限．则．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义、圆周角定理、二次根式和分式有意义的条件、一次函数的性质分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：①，，因此与是同类二次根式，故①正确；
②长度等于半径的弦与两条半径组成等边三角形，所以该弦所对的圆心角为，所对的圆周角为或，故②错误；
③若式子有意义，则且，所以且，故③错误；
④若直线不经过第三象限，则且，所以，故④错误．
故选D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义、圆周角定理、二次根式和分式有意义的条件、一次函数的性质，熟练掌握圆周角定理、一次函数的性质是解答本题的关键．
8. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）
A. 69.2米B. 73.1米C. 80.0米D. 85.7米
【答案】D
【解析】
【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴,
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，
∴在Rt△CED中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴，
将代入解得：，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．
9. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A. 3B. 5C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的范围，由方程有实数根知且，解得且，继而可得符合条件的整数和．
【详解】解：解不等式得：，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴整数解为，，，0，
∴，
解得：，
关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
在且中，符合条件的整数和为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
10. 如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，
连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．
11. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法：①；②（为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识，由抛物线的对称轴得出，由图象可得，当时，，即可判断①；用与的数量关系，可将原式化简得到关于的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，代入原解析式得：，
由图象可得，当时，，即，
，故①正确；
设，则，
，
左侧为时的函数值，右侧为时的函数值，显然不成立，故②错误；
由题意得，、是一元二次方程的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称，
当且仅当时，存在点和，当时，满足，即m的取值范围为，故③正确；
直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式，即的解集为或，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故选：B．
12. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．
首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出的坐标．
【详解】正方形的边长为1，
，
正方形的边是正方形的对角线，
，
的坐标为，
同理可知，
的坐标为，
同理可知，的坐标为，
的坐标为，的坐标为，
，，，，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，
的坐标为．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．）
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列得关于m的一元一次不等式，解不等式并结合方程的增根即可求得m的取值范围．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵原方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
15. 如图，四边形是的内接四边形，，，的半径为，连接交于点E，则图中阴影部分面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，根据圆内接四边形的性质和已知条件可求出，，进而求出，，再根据直角三角形的边角关系求出，利用解直角三角形求出，再由图形中面积之间的关系即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
四边形是的内接四边形，
，
，
，解得，
，
，
，
的半径为，
，
，，
，解得，
，
，
阴影部分面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形性质，解直角三角形、圆周角定理以及扇形面积的计算方法，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提，求出和是解决问题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，将如图放置，直角顶点与原点重合，顶点，恰好分别落在函数 ， 的图象上，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A、B分别作轴于点D，轴于点E，根据反比例函数k的几何意义可以得到，，再根据，得到AO与OB的值，根据勾股定理即可求得结果．
【详解】过点A、B分别作轴于点D，轴于点E，
∵A、B正好落在， 的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=2m，OB=3m，
∴，
在Rt△AOB中，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，准确抓住直角三角形这一个特点是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据乘方、指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行化简，再计算加减即可；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，求出的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
当时，原式．
18. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；
（3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）图见解析，1，；
（2）；
（3）78人； （4）．
【解析】
【分析】（1）用“3部”人数除以对应的百分比即可求得本次调查的总人数，利用本次调查的总人数减去其余各部人数，即可得到“2部”人数，补全条形统计图，再根据众数，中位数概念求解即可；
（2）根据条形统计图得到“4部”人数所占比例，用乘以“4部”人数所占比例即可；
（3）根据调查人数中没有读过四大名著的学生所占比乘以总人数1560即可解题；
（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题知，（人），
（人），
补全的条形统计图如图所示：
本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部）；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校没有读过四大名著学生有人。
【小问4详解】
解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示：
由图知，一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
∴他们恰好选中同一名著的概率．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用、中位数、众数、用样本估计总体、利用树状图求概率等知识点，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键．
19. 6月1日是儿童节，为了迎接儿童节的到来，兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？
【答案】（1）甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）故商场共有四种进货方案：方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利润860元.
【解析】
【分析】(1)设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解；
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解；
(3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．
【详解】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，
根据题意，得，
解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
则40﹣x＝25，
答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，
由题意，得，
解得20≤m＜24，
∵m是整数，
∴m取20，21，22，23，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；
方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；
方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；
方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；
(3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具(48﹣m)件，
根据题意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，
∵比例系数k＝﹣5＜0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键．
20. 如图，菱形的边长为，点，分别是边， ．上的动点，， 连接，交于点．
（1）求证：；
（2）求周长的最小值；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，，可得是等边三角形，证明，即可得出结论；
（2）当最短时，周长有最小值，当与垂直时，最短，此时，根据三角形周长公式即可求解；
（3）证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．
【小问1详解】
，
，
又四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
的周长为，
当最短时，周长有最小值．
，，
是等边三角形，
当与垂直时，最短，此时，
周长的最小值；
【小问3详解】
过点作于点，如图所示，
，，
，
又，
，
，
当时，，又，
，，
，解得，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，，求OM的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．
【详解】（1）证明：连接OE，如图，
∵GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE，
而∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH=90°，
∴∠GEA+∠OAF=90°，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，
在Rt△OCH中，，
解得r=3，
在Rt△ACH中，AC= ，
∵AC∥GE，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴ ，
即，
解得：OM=．
【点睛】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理．
22. 如图1，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为与y轴交于点C，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线下方抛物线上一点，，轴，求周长的最大值；
（3）如图2，连接，点P在抛物线上，且满足，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）求出点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）表示出周长，求出直线解析式为，设，，得到，结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）在上截取，连接，过点E作，证明得到，再由三角形面积公式得出，从而得出，分两种情况：当点P在的下方时，设与y轴交于点N；当点P在的上方时；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵，点A的坐标为，
∴点C的坐标为，
将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，则，
解得：，，
，而，
∴，
轴，
∴，
，
，
周长，
设直线的解析式为，
将点C的坐标为，代入解析式得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设，，
，
当时，最大，
∴周长最大；
【小问3详解】
解：如图2，在上截取，连接，过点E作，
∵点，点，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点P在的下方时，设与y轴交于点N，
∵，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得或，
∴点P坐标为：，
当点P在的上方时，同理可求直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：，
综上所述：点P的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—周长问题、解直角三角形的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．