广东省河源市部分学校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2 已知，则（ ）
A 3B. C. 2D.
3. 在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则正整数的最小值为（ ）（参考数据：取）
A. 8B. 9C. 10D. 11
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上单调递减，且在中满足，则下列情况中，能唯一确定该三角形形状是（ ）
A. 角取最大值B. 角取最大值
C. 取最小值D. 取最小值
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为
B. 若为纯虚数，则为实数
C. 若为实数，则
D. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A. 该圆锥的体积为
B. 该圆锥的侧面积为
C.
D. 的面积为4
11. 设平面内共起点的向量的终点分别为，且满足，记与的夹角为，则（ ）
A.
B. 最大值为
C. 若，则三点共线
D. 若，当取得最大值时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________.
13. 科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的______倍.
14. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则__________.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，.
（1）求；
（2）设，求的长.
16. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求异面直线与所成角正切值.
17. 已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.
（1）求的取值范围；
（2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.
18. 阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式；请你结合阅读材料解答下面的问题：
（1）证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；
（2）已知的面积为24，其内切圆半径为，求.
19. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.