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山东省部分学校2023-2024学年高三下学期4月金科大联考（二模）数学试题（原卷版+解析版）
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全卷满分，150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 5
3. 某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（ ）
A. 100B. 75C. 50D. 25
4. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 156B. 252C. 192D. 200
6. 在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7. 已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 2023
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A 直线恒过定点B. 直线与圆相交
C. 当直线平分圆时，D. 当点到直线距离最大值时，
10. 将正四棱锥和正四棱锥底面重合组成八面体，则（ ）
A. 平面B.
C. 的体积为D. 二面角的余弦值为
11. 已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ）
A. B. 直线过定点
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______．
13. 在数轴上，一个质点从坐标原点出发向轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有_______种．
14. 三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，．
（1）证明：；
（2）若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16. 甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
（1）求甲通过初试概率；
（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量为甲的得分成绩，求的数学期望．
17 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围．
18. 记为数列的前项和，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
19. 已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．
全卷满分，150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 5
3. 某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（ ）
A. 100B. 75C. 50D. 25
4. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 156B. 252C. 192D. 200
6. 在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7. 已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 2023
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A 直线恒过定点B. 直线与圆相交
C. 当直线平分圆时，D. 当点到直线距离最大值时，
10. 将正四棱锥和正四棱锥底面重合组成八面体，则（ ）
A. 平面B.
C. 的体积为D. 二面角的余弦值为
11. 已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ）
A. B. 直线过定点
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______．
13. 在数轴上，一个质点从坐标原点出发向轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有_______种．
14. 三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，．
（1）证明：；
（2）若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16. 甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
（1）求甲通过初试概率；
（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量为甲的得分成绩，求的数学期望．
17 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围．
18. 记为数列的前项和，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
19. 已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．
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