浙江省丽水市五校高中发展共同体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份浙江省丽水市五校高中发展共同体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，若复数，满足等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学试题
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．0B．1C．D．
2．若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．在空间几何中下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．过一点有且只有一个平面与已知直线平行
D．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
4．已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝2，BC边上的高等于，则的面积为（ ）
A．B．9C．D．
5．已知点O为所在平面内一点，且，，，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．已知m、n为异面直线，，，若直线l满足，，，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知A、B、C三点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，且，M为圆O所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值是1B．为定值
C．的最大值是10D．的最小值是8
8．设A、B、C是函数与数函的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分）
9．已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．若复数，满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A．动点M在侧面内轨迹的长度是
B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C．直线与BC所成的角为，则的最小值是
D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，且，则______．
13．高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为______．
14．已知在锐角中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）若，c＝1，求b；
（Ⅱ）求证：A＝2C．
16．（15分）如图在三棱台中，等腰梯形，，．
（Ⅰ）求三棱台的体积；
（Ⅱ）求平面与平面ABC夹角的余弦值．
17．（15分）欧拉公式：（i为虚数单位，），是由瑞土著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．
（Ⅰ）根据欧拉公式计算；
（Ⅱ）设函数，求函数在上的值域．
18．（17分）如图在平行四边形ABCD中，，AB＝2AD＝4，E、F分别为AB和BC上的动点（包含端点），且，．
（Ⅰ）若
①请用，表示
②设AF与DE相交于点G，求
（Ⅱ）若，求的取值范围．
19．（17分）“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，AD＝1，．现将此风筝的两个尾翼分别沿AD、CD折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结BS，得到如图（2）所示的四棱锥．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若E为棱SA上一点，记
①若求直线CE与平面SBD所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线CE与直线AD所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
图（1）图（2）
2023学年第二学期丽水五校高中发展共同体期中联考
高一年级数学学科参考答案
一．单选题
二．多选题
三．填空题
12．；13．2；14．
四．解答题
15．（1）由得：
∴，结合余弦定理得：．
∵，c＝1，∴b＝2．
（2）由（1）得，∴，
∴
∴，由可知，，
∴，即．
16．（1）记与的面积分别为和
则由题可得，．
如图过点作，垂足为O，
∵等腰梯形，∴易得
∵，，∴
∴
（2）过点O作，垂足为E，连结，
由（1）得
∴为平面与平面ABC夹角的平面角．
由题可得，∴
∴平面与平面ABC所成角的余弦值为．
17．（1） ．
（2）
∵，∴
∴，∴
∴．
18．（1）∵，
∴
∴．
设，则
∵D、G、E三点共线，∴，∴．
（2）∵
．
∵，∴．
19．（1）连结AC，交BD于点O
∵底面为菱形，∴
由题可得，，且于点D
∴，∴
∵于点D，∴．
（2）连结SO交CE于点G，由（1）得
∴为直线CE与平面SBD所成角
∵，AD＝CD＝1，
∴
∵，∴，，，
∴
∴，
∴直线CE与平面SBD所成角的正切值为．
连结BE，∵
∴或其补角为直线CE与直线AD所成角
由题得，．
∴
解得
∴存在使得直线CE与直线AD所成角为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
C
C
D
B
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
ABC